2024-2025学年云南省文山州丘北一中高一（上）质检数学试卷（二）（含答案）

2024-2025 学年云南省文山州丘北一中高一（上）质检数学试卷（二）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { 1,0,1,2,3}， = { | 2 ≤ 2}，则 ∩ =( )
A. { 1,0,1,2,3} B. { 1,0,1,2} C. {0} D. { 1,0,1}
2.已知 ： ∈ ， 2 2 + < 0，则￢ 为( )
A. ， 2 2 + > 0 B. ∈ ， 2 2 + ≥ 0
C. ， 2 2 + ≥ 0 D. ∈ ， 2 2 + ≥ 0
3.已知 ∈ ，若集合 = { 1, }， = { 1,1,2}，则“ ”是“ = 1”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
(2 +1)
4.已知函数 = ( )的定义域是[ 8,1]，则函数 ( ) = 的定义域是( )
+3
9
A. [ , 3) ∪ ( 3,0] B. [ 8, 3) ∪ ( 3,1]
2
9
C. ( ∞, 3) ∪ ( 3,3] D. [ , 3]
2
2
5.已知幂函数 ( ) = ( 2 + 2 2) 3 4( ∈ )的图象在(0, +∞)上单调递减，则 的取值是( )
A. 1 B. 3 C. 1或 3 D. 2
3 6
6.若 > 0， > 0，2 + = 3，则 + 的最小值为( )

A. 8 B. 9 C. 18 D. 24
7.已知函数 ( )为定义在 上的偶函数， (0) = (2) = 0，且在[0,1)上为减函数，在[1, +∞)上为增函数，
则不等式 ( ) ≥ 0的解集为( )
A. ( ∞, 2] ∪ [0,2] B. [ 2,0] ∪ [2, +∞)
C. ( ∞, 2] ∪ {0} ∪ [2, +∞) D. [ 2,2]
2 + 2( 2) + , < 2,
8.已知 ( ) = { 满足对任意的实数 1 ≠ 2，都有( 1 2)[ ( 1) ( )] < 0成立，( 3) 12, ≥ 2, 2
则实数 的取值范围为( )
A. [ 3,0] B. [ 3, 2] C. [ 4, 2] D. [ 2,0]
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列两个函数是相同函数的有( )
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2
2
1 (√ )
A. ( ) = 1与 ( ) = B. ( ) = 与 ( ) =
+1 2(√ )
C. ( ) = 0与 ( ) = 1 D. ( ) = | |与 ( ) = √ 2
10.下列命题为真命题的是( )
A. 若 > > 0，则 2 > 2
B. 若 2 < < 3，1 < < 2，则 4 < < 2

C. 若 > > 0且 < 0，则
2
> 2


D. 若 > > ，则 >

11.已知定义在 上的函数 ( )满足 ( + ) = ( ) + ( )，当 > 0时， ( ) > 0， (2) = 6，则下面有关
结论正确的有( )
A. (1) = 3 B. ( )是奇函数
1
C. ( )在(0, +∞)上单调递减 D. 当 > 时， ( ) 3 < (3 )
2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知函数 ( ) = √ 3 + 1，则 [ (2)] = ______．
+1
13.若不等式 2 + 1 > 0的解集是{ |1 < < 2}，则不等式 > 0的解集为______．
1
, < ,
14.已知 { , } = { 设 ( ) = { + 1, 2 4 5}，则函数 ( )的值域为______．
, ≤ ,
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知集合 = { |2 3 ≤ ≤ 2 + 1}， = { |(2 )( + 3) ≥ 0}．
(1)当 = 1时，求 ∪ ；
(2)若 ∩ = ，求实数 的取值范围．
16.(本小题15分)
1
已知幂函数 ( ) = 2+ ( ∈ )的图象经过点(4,2)．
(1)试求 的值并写出该幂函数的解析式，指出其定义域；
(2)试求满足 (1 + ) > (4 2 )的实数 的取值范围．
17.(本小题15分)
3
已知函数 ( ) =
2
， ∈ 是奇函数．
+1
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(1)求实数 的值；
(2)讨论函数 ( )在[2,3]上的单调性，并求函数 ( )在[2,3]上的最大值和最小值．
18.(本小题17分)
为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创
业.经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为2万元，每生产 万件，需另投入流动成本为 ( )
1 81
万元.在年产量不足7万件时， ( ) = 2 + 3(万元)；在年产量不小于7万件时， ( ) = 7 + 37(万
2
元).每件产品售价为6元.假设小王生产的产品当年全部售完．
(1)写出年利润 ( )(万元)关于年产量 (万件)的函数解析式(注：年利润=年销售收入 固定成本 流动成本
)；
(2)年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
19.(本小题17分)
对于定义域为 的函数 ( )，如果存在区间[ , ] ，使得 ( )在区间[ , ]上是单调函数，且函数 = ( )，
∈ [ , ]的值域是[ , ]，则称区间[ , ]是函数 ( )的一个“优美区间”．
3
(1)判断函数 = 2 + 2 ( ∈ )和函数 = 2 ( > 0)是否存在“优美区间”？如果存在，写出一个符合

条件的“优美区间”(直接写出结论，不要求证明)；如果不存在，请说明理由；
( 2+ ) 1
(2)如果[ , ]是函数 ( ) = 2 ( ≠ 0)的一个“优美区间”，求 的最大值．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】2√ 7
2
13.【答案】( , 2)
3
14.【答案】( ∞, 1]
15.【答案】解：(1)当 = 1时， = { | 1 ≤ ≤ 3}，
∵ = { |(2 )( + 3) ≥ 0} = { |( 2)( + 3) ≤ 0} = { | 3 ≤ ≤ 2}，
∴ ∪ = { | 3 ≤ ≤ 3}．
(2)由(1) = { | 3 ≤ ≤ 2}，
由 = { |2 3 ≤ ≤ 2 + 1}可知 ≠ ，
∵ ∩ = ，
∴ 2 + 1 < 3或2 3 > 2，
5 5
解得 < 2或 > ，实数 的取值范围( ∞, 2) ∪ ( , +∞)．
2 2
16.【答案】解：(1)因为 ( )的图象经过点(4,2)，
1 1 1
所以4 2+ = 2 = 42，所以( 2 + ) 1 = ，
2
所以 2 + = 2，解得 = 1或 = 2，又 ∈ ，所以 = 1，
1
则 ( ) = 2 = √ ，故其定义域为[0, +∞)．
1
(2)因为 ( ) = 2 = √ ，
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所以 ( )的定义域为[0, +∞)，且在[0, +∞)上单调递增，
1 + ≥ 0
故由 (1 + ) > (4 2 )，得{4 2 ≥ 0 ，解得1 < ≤ 2，
1 + > 4 2
所以 的取值范围为{ |1 < ≤ 2}．
17.【答案】解：(1)函数 ( )的定义域为 ，
又函数为奇函数，
3 3
所以 ( ) = 2 = ( ) = ， +1 2+1
3
解得 = 0，此时 ( ) = ，符合题意，
2+1
故实数 的值为0．
(2)任取 1、 2 ∈ [2,3]，且 1 < 2，
3 3 3 ( 2 2
则 ( ) ( ) = 1 2 = 1 2
+1) 3 2( 1+1)
1 2 2
1+1
2
2+1 (
2
1+1)(
2
2+1)
3( 1 = 2
)(1 1 2)
2 2 ， ( 1+1)( 2+1)
又因为 1、 2 ∈ [2,3]，且 1 < 2，
所以 1 2 0， 1 2 1，1 1 2 < 0，
又( 21 + 1)(
2
2 + 1) > 0，
所以 ( 1) ( 2) > 0，即 ( 1) > ( 2)，
3
所以函数 ( ) = 2 在[2,3]上单调递减， +1
6 9
故 ( ) = (2) = ； ( )5 = (3) = ． 10
18.【答案】解：(1)因为每件产品售价为6元，
1 1
依题意：当0 < < 7， ∈ 时， ( ) = 6 ( 2 + 3) 2 = 2 + 5 + 1，
2 2
81 81
当 ≥ 7， ∈ 时， ( ) = 6 (7 + 37) 2 = 35 ( + )，

1
2 + 5 + 1,0 < < 7, ∈ ,
所以 ( ) = { 2 ；
81
35 , ≥ 7, ∈ .

1
(2)当0 < < 7， ( ) = 2 + 5 + 1，
2
27
当 = 5时， ( )取得最大值 (5) = (万元)；
2
81 81
当 ≥ 7， ( ) = 35 ( + ) ≤ 35 2√ = 17，

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81
当且仅当 = ，即 = 9时，等号成立，

即当 = 9时， ( )取得最大值17(万元)，
所以当产量为9(万件)时，利润最大为17万元．
19.【答案】解：(1)根据题意， = 2 + 2 是二次函数，
而 = 2 + 2 = ( + 1)2 1 ≥ 1，在区间[ 1, +∞)上单调递增，
若 2 + 2 = ，解可得 = 1或0，
故函数 = 2 + 2 ( ∈ )存在“优美区间”，该“优美区间”为[ 1,0]，
3
函数， = 2 ，在区间( ∞, 0)和(0, +∞)上是增函数，

3
2 = ,
若存在“优美区间”[ , ]，则有{
3
2 = ,

3
即方程2 = 有同号的两个根，

3
方程2 = ，变形可得 2 2 + 3 = 0，该方程无实数解，

3
故函数 = 2 ( > 0)不存在“优美区间”．

( 2+ ) 1 1 1
(2) ( ) = 2 = 1 + 2 在( ∞, 0)和(0, +∞)上都是增函数，
因此“优美区间”[ , ] ( ∞，0)或[ , ] (0，+∞)．
( ) = ,
由题意可知：{ 所以 ( ) = 有两个同号的不等实根，
( ) = ,
即 2 2 ( 2 + ) + 1 = 0有两个同号的不等实根 ， ( < )，
∴ = ( 2 + )2 4 2 > 0，即 2( + 3)( 1) > 0，解得 < 3或 > 1．
1 2+
∵ = 2 > 0( , 同号，满足题意)， + = 2 ，
22 + 4 3 2 1 1 4∴ = | | = √ ( + ) 4 = √ ( 2 )
2 2 = √ 2 + + 1 = √ 3( )
2 + ．
3 3
∵ < 3或 > 1，
1 1 2√ 3
∴当 = ，即 = 3时，( )
3
= ．
3
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