【提升版】北师大版数学八年级上册5.6二元一次方程与一次函数 同步练习
一、选择题
1．（2024八上·开化期末）直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则不等式的解为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024八上·余姚期末）我们规定：当k，b为常数，k≠0，b≠0，k≠b时，一次函数y＝kx+b与y＝bx+k互为交换函数，例如：y＝2x+3的交换函数为y＝3x+2．一次函数y＝kx+5与它的交换函数图象的交点横坐标为（ ）
A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5
3．（2020八上·西湖期末）把直线 向上平移m个单位后，与直线 的交点在第一象限，则m的取值范围是（ ）
A．1＜m＜7 B．3＜m＜4 C．m＞1 D．m＜4
4．（2020八上·马鞍山期末）若直线 和 相交于点 ，则方程组 的解为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023八上·兴宁期中）若一次函数的图象与直线平行，且过点，则该直线的表达式为（ ）
A． B． C． D．
6．（2021八上·胶州期末）已知一次函数y＝k1x+b1和一次函数y1＝k2x+b2的自变量x与因变量y1，y2的部分对应数值如表所示，则关于x、y的二元一次方程组的解为（ ）
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y1 … ﹣1 0 1 2 3 …
y2 … ﹣5 ﹣3 ﹣1 1 3 …
A． B． C． D．
7．（2021八上·西安期末）已知函数 和 ，且 ， ，则这两个一次函数图象的交点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．（2023八上·六安期中）在同一平面直角坐标系中，直线与直线的交点不可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
二、填空题
9．（2020八上·重庆期中）如图，直线 与直线 交于点 ，则关于 ， 的二元一次方程组 的解为 .
10．（2024八上·福田期末）如图，已知直线和直线交于点，则关于，的二元一次方程组的解是 ．
11．（2024八上·贵阳月考）用图象法解关于x，y的二元一次方程组时，小英所画图象如图所示，则该二元一次方程组的解为 .
12．（2024八上·深圳期末）如图所示，直线L1的解析式是y＝2x﹣1，直线L2的解析式是y＝x+1，则方程组的解是 ．
13．（2023八上·六安期中）对于三个数a、b、c，用表示这三个数中最小的数，例如，
.那么观察图象，可得到的最大值为 .
三、解答题
14．（2024八上·杭州月考）平面直角坐标系中，已知直线经过原点与点，直线．
（1）求证：点在直线上；
（2）当时，请判断直线与是否相交？
15．如图，已知直线与轴交于点，且和直线交于点，根据以上信息解答下列问题：
（1）求的值.
（2）不解关于x，y的方程组请你直接写出它的解.
（3）若直线表示的两个一次函数值都大于0时，恰好，求直线的函数表达式.
16．（2023八上·西安期中）如图，一次函数的图象分别与轴、轴的正半轴交于点、，一次函数的图象与直线交于点，且交于轴于点。
（1）求的值及点、的坐标；
（2）若点是轴上的一个动点，当时，求出点的坐标。
17．（2023八上·深圳期中）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y=x+1与x轴交于点A，直线l2：y=3x-3．与x轴交于点B，与l1相交于点C．
（1）请直接写出点A、点B、点C的坐标：A ，B ，C
（2）如图2，动直线y=t分别与直线l1，l2交于P，Q两点．
①若PQ=3，求t的值．
②若存在S△AQC：S△ABC=3：4，求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
18．（2023八上·包河期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与轴相交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为．
（1）求、的值；
（2）请直接写出方程组的解；
（3）若点在轴上，且满足，求点的坐标．
19．（2023八上·都昌期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象交y轴于点D，且它与正比例函数的图象交于点，设x轴上有一点P，过点P作x轴的垂线（垂线位于点A的右侧），分别交和的图象与点B、C.
（1）求m和n的值；
（2）若，求点P的坐标.
20．（2023八上·金安月考）如图，已知直线分别与，轴交于点、，与直线相交于点，点为直线上一点．
（1）求和的值；
（2）若点在射线上，且，求点的坐标；
（3）观察函数图象，请直接写出不等式的解集．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：由图知：直线y1和y2相交于点（-1，1），
∴kx＜ax+4的解集就是直线y1低于直线y2的x的取值范围，
即不等式的解集为：x＜-1.
故答案为：B.
【分析】根据两条直线的交点可求解.
2．【答案】A
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：由题意可得：一次函数的交换函数为，且，
∵ 两函数有交点，
∴，即，
∵，解得，
∴ 一次函数与它的交换函数图象的交点横坐标为1.
故答案为：A.
【分析】根据题意先写出交换函数的解析式，再列出等式，求出x的值即可.
3．【答案】C
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：直线 向上平移m个单位后可得： ，
联立两直线解析式得： ，解得： .
∴交点坐标为 .
∵交点在第一象限，
∴
解得：m>1.
故答案为：C.
【分析】直线 向上平移m个单位后可得： ，联立 与，求解得出其 交点的坐标，再由此点在第一象限列不等式组可得出m的取值范围：
4．【答案】D
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：直线 和 关于原点对称的直线为y=mx+3和 ，
∵直线 和 相交于点P（ 2，3），
∴直线y=mx+3和y=2x n相交于点（2， 3），
∴方程组 的解为 ；
故答案为：D．
【分析】求得直线 和 关于原点对称的直线为y=mx+3和 ，由题意得出点P的对应点，根据方程组的解和直线交点的关系即可得出答案。
5．【答案】C
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：设该直线的表达式为，
一次函数的图象与直线平行，
．
点在直线上，
，解得．
该直线的表达式为．
故选：C．
【分析】设一次函数的表达式为，根据两直线平行斜率相等可得k=-1，再将点代入y=-x+b中求出值，进而得出结论．
6．【答案】C
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：由表格可知，一次函数y1=k1x+b1和一次函数y2=k2x+b2的图象都经过点(2，3)，
∴一次函数y1=k1x与y=k2x+b的图象的交点坐标为(2，3)，
∴关于x，y的二元一次方程组的解为．
故答案为：C．
【分析】由表格可知，一次函数y1=k1x+b1和一次函数y2=k2x+b2的图象都经过点(2，3)，再根据一次函数与二元一次方程组的关系即可得到答案。
7．【答案】C
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴k+2＞0，a+6＜0，a＜0，ak＜0，ak-12＜0，
∴ ，
∴交点位于第三象限，
故答案为：C.
【分析】联立方程组解出交点坐标，再通过交点坐标进行判断在第几象限.
8．【答案】D
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵直线y=4x+1过一、二、三象限；
∴当b＞0时，直线y=﹣x+b过一、二、四象限，
两直线交点可能在一或二象限；
当b＜0时，直线y=﹣x+b过二、三、四象限，
两直线交点可能在二或三象限；
综上所述，直线y=4x+1与直线y=﹣x+b的交点不可能在第四象限，
故答案为：D.
【分析】根据一次函数的图象和性质求解。注意：分两种情况b>0和b<0讨论。
9．【答案】
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：有图象可知 的解为： ，
故答案为： .
【分析】根据一次函数与二元一次方程组的关系，可知方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标.
10．【答案】
【知识点】二元一次方程的解；一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：∵函数和的图象交于点，
∴点是二元一次方程组的解.
故答案为：．
【分析】利用图象法解二元一次方程组，一次函数图象的交点坐标，即为方程组的解．
11．【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：根据图象得，
代入x-y+2=0得1-y+2=0，
解得y=3，
∴A点坐标为(1，3)，
∴二元一次方程组的解为.
故答案为：.
【分析】先利用图象可得，代入x-y+2=0确定A点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解.
12．【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：以二元一次方程组的两个方程画出的两个一次函数图象的交点就是二元一次方程组的解，本题中的交点坐标为(2，3)，则方程组的解为：．
【分析】本题考查二元一次方程组和一次函数图象的关系.根据二元一次方程组的解就是两个一次函数的交点，观察图形可找出二元一次方程组的解.
13．【答案】1
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；定义新运算
【解析】【解答】解：根据图示，联立方程求交点得，
①，解得，；②，解得，；③，解得，；
∴当时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
综上所述，的最大值为，
故答案为：1．
【分析】根据一次函数的图象，先联立方程组求出两直线的交点，根据交点的不同，一次函数值的大小不同，分类讨论即可求解．
14．【答案】（1）解：把代入得，，
点在直线上；
（2）解：直线经过原点与点，
直线为，
当时，则直线，
的系数相同，
直线与不相交．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【分析】（1）将x=-2代入函数解析式，可求出y的值，根据y的值可作出判断.
（2）利用直线经过原点与点及m=-2，代入可求出直线l1的函数解析式，根据两个函数的x的系数，可作出判断.
15．【答案】（1）解：∵y=3x+1经过点P(-2，a)，
∴3×(-2)+1=a，
解得a=-5；
（2）解：由（1）可得点P(-2，-5)，而直线l2与l1相交于点P，
∴关于x，y的方程组的解为；
（3）解：直线表示的两个一次函数值都大于0，此时恰好
∴直线过点.
又直线过点
解得
∴直线的函数表达式为.
【知识点】一次函数与一元一次方程的关系；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【分析】（1）将P(-2，a) 代入直线 y=3x+1，即可求出a的值；
（2）从图象看，两函数图象交点的坐标就是两函数解析式组成方程组的解，据此解题即可；
（3）分析此时直线l2过点（3，0），(-2，-5)，将两点坐标代入直线l2，可得关于字母m、n的方程组，求解得出m、n的值，从而求出直线l2的解析式.
16．【答案】（1）解：一次函数的图象经过点，
得，解得，
一次函数的图象分别与轴，轴的正半轴交于点、，
当时，，
解得，即，当时，，即，
，，；
（2）解：把点一次函数，得，解得，，
当时，，即．，
；
点是轴上的一个动点，设，
，，
，或0，
点的坐标为或。
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【分析】（1）直线的图像经过点C，则将点C坐标代入即可求得m的值，图像与x轴的交点纵坐标为0，与y轴的交点横坐标为0；
（2）由点C的坐标求出一次函数的表达式，即可求得点D的坐标，进而求出三角形ACD的面积，点P在x轴上，设出其坐标，表示出PD的长，根据已知的等量关系即可求出点P的坐标。
17．【答案】（1）(-1，0)；(1，0)；(2，3)
（2）解：①点P在直线l1上，则设点P(t-1，t)，同理点Q(，t)，
则PQ=|-(t-1)|=3，
解得t=或t=
②∵S△ABC=3，点A与点C纵坐标的差值为3，
则S△AQC=·PQ=，
∴PQ=
∴PQ=|-(t-1)|=
解得：t=或t=
∴Q(，)，Q（，）
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；平行线的性质
【解析】【解答】解：（1）解：根据已知条件，
令，
解得：，
点；
令，
解得：，
点；
联立，
解得：，
点，
故答案为：，，．
【分析】本题考查一次函数的应用，平行线的性质．
（1）因为直线与轴交于点，直线与轴交于点，所以令，，分别得到点，点的坐标，联立，可求出点的坐标．
（2）①当时，点，的坐标分别为：，，根据题意可列出方程，解方程可求出答案．
②在点下方取点使，则点，联立，可求出点的坐标，在点上方取点使，据此可求出点，由此得到点的坐标.
18．【答案】（1）解：当时，，
点坐标为．
直线经过和，
则，
解得
（2）解：
（3）解：当时，，
，
，
设点坐标为，
．
，
，
解得，
点的坐标为或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：（2）化简方程组得
，
由图像知：直线y=kx+b与直线y=3x的交点横坐标是x=1，
把x=1代入y=3x得
y=3
∴直线y=kx+b与直线y=3x的交点坐标是（1，3），
∴方程组的解是.
【分析】（1）由点C在正比例函数y=3x的图像上求出C的坐标（1，3），根据A、C的坐标，利用待定系数法即可求出k和b的值；
（2）由（1）可知： 一次函数y=-x+4的图象和 正比例函数y=3x的图象的交点横坐标是x=1，把x=1代入y=3x，求出直线y=kx+b与直线y=3x的交点坐标是（1，3），根据一次函数和二元一次方程组的关系，结合图像知方程组的解为 ；
（3）根据图像，解方程-x+4=0，可得B（4，0），设D坐标为（0，a），则OD=|a|，根据三角形的面积公式列方程即可求解。
19．【答案】（1）解：将代入中，得：
，
再将代入中，得：
解得：
（2）解：设P点坐标为
过点P作x轴的垂线（垂线位于点A的右侧），分别交和的图象于点B、C
点B的坐标为，点C的坐标为：
把代入中，解得，
故点D的坐标为，
，，解得：
点坐标为
【知识点】一次函数的图象；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入求出n的值，再将点A的坐标代入求出m的值即可；
（2）设P点坐标为，先求出，，再结合，可得，求出a的值，即可得到点P的坐标.
20．【答案】（1）解：把点代入解析式中，得，
，
把点的坐标代入中，则，解得
（2）解：直线分别与，轴交于点、，
，，
过点作轴于点，
，，
，
，
点在射线上，
，
过点作轴于点，
，
，
，
令，则，
解得，
；
（3）解：
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：（3）由题意可得：
当直线的图象在直线的图象上方时，有
∵
则当，有
故答案为：
【分析】（1）将点C坐标代入直线可求出，再代入直线即可求出答案.
（2）求出直线与坐标轴的交点A，B坐标，过点作轴于点，则，，根据三角形面积可求出，过点作轴于点，则，可得，则，再代入直线解析式即可求出答案.
（3）当直线的图象在直线的图象上方时，有，结合函数图象即可求出答案.
1 / 1【提升版】北师大版数学八年级上册5.6二元一次方程与一次函数 同步练习
一、选择题
1．（2024八上·开化期末）直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则不等式的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：由图知：直线y1和y2相交于点（-1，1），
∴kx＜ax+4的解集就是直线y1低于直线y2的x的取值范围，
即不等式的解集为：x＜-1.
故答案为：B.
【分析】根据两条直线的交点可求解.
2．（2024八上·余姚期末）我们规定：当k，b为常数，k≠0，b≠0，k≠b时，一次函数y＝kx+b与y＝bx+k互为交换函数，例如：y＝2x+3的交换函数为y＝3x+2．一次函数y＝kx+5与它的交换函数图象的交点横坐标为（ ）
A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5
【答案】A
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：由题意可得：一次函数的交换函数为，且，
∵ 两函数有交点，
∴，即，
∵，解得，
∴ 一次函数与它的交换函数图象的交点横坐标为1.
故答案为：A.
【分析】根据题意先写出交换函数的解析式，再列出等式，求出x的值即可.
3．（2020八上·西湖期末）把直线 向上平移m个单位后，与直线 的交点在第一象限，则m的取值范围是（ ）
A．1＜m＜7 B．3＜m＜4 C．m＞1 D．m＜4
【答案】C
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：直线 向上平移m个单位后可得： ，
联立两直线解析式得： ，解得： .
∴交点坐标为 .
∵交点在第一象限，
∴
解得：m>1.
故答案为：C.
【分析】直线 向上平移m个单位后可得： ，联立 与，求解得出其 交点的坐标，再由此点在第一象限列不等式组可得出m的取值范围：
4．（2020八上·马鞍山期末）若直线 和 相交于点 ，则方程组 的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：直线 和 关于原点对称的直线为y=mx+3和 ，
∵直线 和 相交于点P（ 2，3），
∴直线y=mx+3和y=2x n相交于点（2， 3），
∴方程组 的解为 ；
故答案为：D．
【分析】求得直线 和 关于原点对称的直线为y=mx+3和 ，由题意得出点P的对应点，根据方程组的解和直线交点的关系即可得出答案。
5．（2023八上·兴宁期中）若一次函数的图象与直线平行，且过点，则该直线的表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：设该直线的表达式为，
一次函数的图象与直线平行，
．
点在直线上，
，解得．
该直线的表达式为．
故选：C．
【分析】设一次函数的表达式为，根据两直线平行斜率相等可得k=-1，再将点代入y=-x+b中求出值，进而得出结论．
6．（2021八上·胶州期末）已知一次函数y＝k1x+b1和一次函数y1＝k2x+b2的自变量x与因变量y1，y2的部分对应数值如表所示，则关于x、y的二元一次方程组的解为（ ）
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y1 … ﹣1 0 1 2 3 …
y2 … ﹣5 ﹣3 ﹣1 1 3 …
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：由表格可知，一次函数y1=k1x+b1和一次函数y2=k2x+b2的图象都经过点(2，3)，
∴一次函数y1=k1x与y=k2x+b的图象的交点坐标为(2，3)，
∴关于x，y的二元一次方程组的解为．
故答案为：C．
【分析】由表格可知，一次函数y1=k1x+b1和一次函数y2=k2x+b2的图象都经过点(2，3)，再根据一次函数与二元一次方程组的关系即可得到答案。
7．（2021八上·西安期末）已知函数 和 ，且 ， ，则这两个一次函数图象的交点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴k+2＞0，a+6＜0，a＜0，ak＜0，ak-12＜0，
∴ ，
∴交点位于第三象限，
故答案为：C.
【分析】联立方程组解出交点坐标，再通过交点坐标进行判断在第几象限.
8．（2023八上·六安期中）在同一平面直角坐标系中，直线与直线的交点不可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵直线y=4x+1过一、二、三象限；
∴当b＞0时，直线y=﹣x+b过一、二、四象限，
两直线交点可能在一或二象限；
当b＜0时，直线y=﹣x+b过二、三、四象限，
两直线交点可能在二或三象限；
综上所述，直线y=4x+1与直线y=﹣x+b的交点不可能在第四象限，
故答案为：D.
【分析】根据一次函数的图象和性质求解。注意：分两种情况b>0和b<0讨论。
二、填空题
9．（2020八上·重庆期中）如图，直线 与直线 交于点 ，则关于 ， 的二元一次方程组 的解为 .
【答案】
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：有图象可知 的解为： ，
故答案为： .
【分析】根据一次函数与二元一次方程组的关系，可知方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标.
10．（2024八上·福田期末）如图，已知直线和直线交于点，则关于，的二元一次方程组的解是 ．
【答案】
【知识点】二元一次方程的解；一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：∵函数和的图象交于点，
∴点是二元一次方程组的解.
故答案为：．
【分析】利用图象法解二元一次方程组，一次函数图象的交点坐标，即为方程组的解．
11．（2024八上·贵阳月考）用图象法解关于x，y的二元一次方程组时，小英所画图象如图所示，则该二元一次方程组的解为 .
【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：根据图象得，
代入x-y+2=0得1-y+2=0，
解得y=3，
∴A点坐标为(1，3)，
∴二元一次方程组的解为.
故答案为：.
【分析】先利用图象可得，代入x-y+2=0确定A点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解.
12．（2024八上·深圳期末）如图所示，直线L1的解析式是y＝2x﹣1，直线L2的解析式是y＝x+1，则方程组的解是 ．
【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：以二元一次方程组的两个方程画出的两个一次函数图象的交点就是二元一次方程组的解，本题中的交点坐标为(2，3)，则方程组的解为：．
【分析】本题考查二元一次方程组和一次函数图象的关系.根据二元一次方程组的解就是两个一次函数的交点，观察图形可找出二元一次方程组的解.
13．（2023八上·六安期中）对于三个数a、b、c，用表示这三个数中最小的数，例如，
.那么观察图象，可得到的最大值为 .
【答案】1
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；定义新运算
【解析】【解答】解：根据图示，联立方程求交点得，
①，解得，；②，解得，；③，解得，；
∴当时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
综上所述，的最大值为，
故答案为：1．
【分析】根据一次函数的图象，先联立方程组求出两直线的交点，根据交点的不同，一次函数值的大小不同，分类讨论即可求解．
三、解答题
14．（2024八上·杭州月考）平面直角坐标系中，已知直线经过原点与点，直线．
（1）求证：点在直线上；
（2）当时，请判断直线与是否相交？
【答案】（1）解：把代入得，，
点在直线上；
（2）解：直线经过原点与点，
直线为，
当时，则直线，
的系数相同，
直线与不相交．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【分析】（1）将x=-2代入函数解析式，可求出y的值，根据y的值可作出判断.
（2）利用直线经过原点与点及m=-2，代入可求出直线l1的函数解析式，根据两个函数的x的系数，可作出判断.
15．如图，已知直线与轴交于点，且和直线交于点，根据以上信息解答下列问题：
（1）求的值.
（2）不解关于x，y的方程组请你直接写出它的解.
（3）若直线表示的两个一次函数值都大于0时，恰好，求直线的函数表达式.
【答案】（1）解：∵y=3x+1经过点P(-2，a)，
∴3×(-2)+1=a，
解得a=-5；
（2）解：由（1）可得点P(-2，-5)，而直线l2与l1相交于点P，
∴关于x，y的方程组的解为；
（3）解：直线表示的两个一次函数值都大于0，此时恰好
∴直线过点.
又直线过点
解得
∴直线的函数表达式为.
【知识点】一次函数与一元一次方程的关系；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【分析】（1）将P(-2，a) 代入直线 y=3x+1，即可求出a的值；
（2）从图象看，两函数图象交点的坐标就是两函数解析式组成方程组的解，据此解题即可；
（3）分析此时直线l2过点（3，0），(-2，-5)，将两点坐标代入直线l2，可得关于字母m、n的方程组，求解得出m、n的值，从而求出直线l2的解析式.
16．（2023八上·西安期中）如图，一次函数的图象分别与轴、轴的正半轴交于点、，一次函数的图象与直线交于点，且交于轴于点。
（1）求的值及点、的坐标；
（2）若点是轴上的一个动点，当时，求出点的坐标。
【答案】（1）解：一次函数的图象经过点，
得，解得，
一次函数的图象分别与轴，轴的正半轴交于点、，
当时，，
解得，即，当时，，即，
，，；
（2）解：把点一次函数，得，解得，，
当时，，即．，
；
点是轴上的一个动点，设，
，，
，或0，
点的坐标为或。
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【分析】（1）直线的图像经过点C，则将点C坐标代入即可求得m的值，图像与x轴的交点纵坐标为0，与y轴的交点横坐标为0；
（2）由点C的坐标求出一次函数的表达式，即可求得点D的坐标，进而求出三角形ACD的面积，点P在x轴上，设出其坐标，表示出PD的长，根据已知的等量关系即可求出点P的坐标。
17．（2023八上·深圳期中）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y=x+1与x轴交于点A，直线l2：y=3x-3．与x轴交于点B，与l1相交于点C．
（1）请直接写出点A、点B、点C的坐标：A ，B ，C
（2）如图2，动直线y=t分别与直线l1，l2交于P，Q两点．
①若PQ=3，求t的值．
②若存在S△AQC：S△ABC=3：4，求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）(-1，0)；(1，0)；(2，3)
（2）解：①点P在直线l1上，则设点P(t-1，t)，同理点Q(，t)，
则PQ=|-(t-1)|=3，
解得t=或t=
②∵S△ABC=3，点A与点C纵坐标的差值为3，
则S△AQC=·PQ=，
∴PQ=
∴PQ=|-(t-1)|=
解得：t=或t=
∴Q(，)，Q（，）
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；平行线的性质
【解析】【解答】解：（1）解：根据已知条件，
令，
解得：，
点；
令，
解得：，
点；
联立，
解得：，
点，
故答案为：，，．
【分析】本题考查一次函数的应用，平行线的性质．
（1）因为直线与轴交于点，直线与轴交于点，所以令，，分别得到点，点的坐标，联立，可求出点的坐标．
（2）①当时，点，的坐标分别为：，，根据题意可列出方程，解方程可求出答案．
②在点下方取点使，则点，联立，可求出点的坐标，在点上方取点使，据此可求出点，由此得到点的坐标.
18．（2023八上·包河期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与轴相交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为．
（1）求、的值；
（2）请直接写出方程组的解；
（3）若点在轴上，且满足，求点的坐标．
【答案】（1）解：当时，，
点坐标为．
直线经过和，
则，
解得
（2）解：
（3）解：当时，，
，
，
设点坐标为，
．
，
，
解得，
点的坐标为或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：（2）化简方程组得
，
由图像知：直线y=kx+b与直线y=3x的交点横坐标是x=1，
把x=1代入y=3x得
y=3
∴直线y=kx+b与直线y=3x的交点坐标是（1，3），
∴方程组的解是.
【分析】（1）由点C在正比例函数y=3x的图像上求出C的坐标（1，3），根据A、C的坐标，利用待定系数法即可求出k和b的值；
（2）由（1）可知： 一次函数y=-x+4的图象和 正比例函数y=3x的图象的交点横坐标是x=1，把x=1代入y=3x，求出直线y=kx+b与直线y=3x的交点坐标是（1，3），根据一次函数和二元一次方程组的关系，结合图像知方程组的解为 ；
（3）根据图像，解方程-x+4=0，可得B（4，0），设D坐标为（0，a），则OD=|a|，根据三角形的面积公式列方程即可求解。
19．（2023八上·都昌期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象交y轴于点D，且它与正比例函数的图象交于点，设x轴上有一点P，过点P作x轴的垂线（垂线位于点A的右侧），分别交和的图象与点B、C.
（1）求m和n的值；
（2）若，求点P的坐标.
【答案】（1）解：将代入中，得：
，
再将代入中，得：
解得：
（2）解：设P点坐标为
过点P作x轴的垂线（垂线位于点A的右侧），分别交和的图象于点B、C
点B的坐标为，点C的坐标为：
把代入中，解得，
故点D的坐标为，
，，解得：
点坐标为
【知识点】一次函数的图象；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入求出n的值，再将点A的坐标代入求出m的值即可；
（2）设P点坐标为，先求出，，再结合，可得，求出a的值，即可得到点P的坐标.
20．（2023八上·金安月考）如图，已知直线分别与，轴交于点、，与直线相交于点，点为直线上一点．
（1）求和的值；
（2）若点在射线上，且，求点的坐标；
（3）观察函数图象，请直接写出不等式的解集．
【答案】（1）解：把点代入解析式中，得，
，
把点的坐标代入中，则，解得
（2）解：直线分别与，轴交于点、，
，，
过点作轴于点，
，，
，
，
点在射线上，
，
过点作轴于点，
，
，
，
令，则，
解得，
；
（3）解：
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：（3）由题意可得：
当直线的图象在直线的图象上方时，有
∵
则当，有
故答案为：
【分析】（1）将点C坐标代入直线可求出，再代入直线即可求出答案.
（2）求出直线与坐标轴的交点A，B坐标，过点作轴于点，则，，根据三角形面积可求出，过点作轴于点，则，可得，则，再代入直线解析式即可求出答案.
（3）当直线的图象在直线的图象上方时，有，结合函数图象即可求出答案.
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