【培优版】北师大版数学八年级上册5.6-5.7二元一次方程与一次函数 同步练习
一、选择题
1．（2021八上·枣庄月考）已知直线l1：y=kx+b与直线l2：y=-2x+4交于点C（m，2），则方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：∵y=-2x+4过点C（m，2），
∴，
解得，
∴点C（1，2），
∴方程组的解．
故答案为：A．
【分析】根据一次函数与二元一次方程组的关系可得：两函数图象的交点即是方程组的解。
2．（2020八上·滕州月考）一次函数y1＝x＋4的图象与一次函数y2＝－x＋b的图象的交点不可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】因为一次函数y1=x+4的图象在第一，二，三象限上，
所以与一次函数y2=-x+b的图象的交点不可能在第四象限.
故答案为：D.
【分析】一次函数y=ax+k，当a>0，k＞0时，图象过一、二、三象限；当a>0，k＜0时，图象过一、三、四象限；当a<0时，k＞0时，图象经过一、二、四象限；当a＜0，k＜0，图象经过二、三、四象限.本题中y1=x+4的图象在第一，二，三象限上，即可得出答案.
3．（2021八上·拱墅月考）一次函数y1＝ax+b与y2＝cx+d的图象如图所示，下列说法：
①对于函数y＝ax+b来说，y随x的增大而减小；
②函数y＝ax+d的图象不经过第一象限；
③不等式ax+b＞cx+d的解集是x＞3；
④d﹣b＝3（a﹣c）.其中正确的有（ ）
A．①③ B．②③④ C．①②④ D．②③
【答案】C
【知识点】一次函数的图象；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：由图象可得：对于函数y1=ax+b来说，y随x的增大而减小，故①说法正确；
由于a＜0，d＜0，所以函数y2=ax+d的图象经过第二，三，四象限，即不经过第一象限，故②说法正确，
由图象可得当x＜3时，一次函数y1=ax+b图象在y2=cx+d的图象上方，
∴ax+b＞cx+d的解集是x＜3，故③说法不正确；
∵一次函数y1=ax+b与y2=cx+d的图象的交点的横坐标为3，
∴3a+b=3c+d
∴3a-3c=d-b，
∴d-b=3（a-c），故④说法正确.
故答案为：C.
【分析】由图象可得：对于函数y1=ax+b来说，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小，据此判断①；对于函数y1=ax+b来说，图象经过第二、四象限，得a＜0，对于y2＝cx+d图象交y轴的负半轴，得 d＜0，则函数y=ax+d的图象经过第二，三，四象限，据此判断②；找出函数y1在y2上方部分所对应的x的范围，据此判断③；根据交点的横坐标可得3a+b=3c+d，变形可判断④.
4．（2021八上·扶风期末）如果一次函数y=3x+6与y=2x-4的图象交点坐标为(a，b)，则 是方程组（ ）的解.
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：一次函数y=3x+6与y=2x-4的图象交点坐标为(a，b)
∴3x-y=-6，2x-4-y=0
∴ 是方程组 的解.
故答案为：C.
【分析】将两函数解析式组成方程组，利用两一次函数的交点坐标就是这个方程组的解，由此可得答案.
5．（2021八上·丹徒期末）如图，在平面直角坐标系中，线段AB的端点坐标为A（－3，－5），B（2，－3），若直线y＝kx＋1与线段AB有交点，则k的值不可能是（ ）
A．－5 B．－1 C．3 D．5
【答案】B
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：①当直线y＝kx＋1过点A时，将A（ 3，－5）代入解析式y＝kx＋1得，k＝2，
②当直线y＝kx＋1过点B时，将B（2，－3）代入解析式y＝kx＋1得，k＝－2，
∵|k|越大，它的图象离y轴越近，
∴当k≥2或k≤ 2时，直线y＝kx＋1与线段AB有交点.
故答案为：B.
【分析】当直线y＝kx＋1过点A时，求出k的值，当直线y＝kx＋1过点B时，求出k的值，由于|k|越大，它的图象离y轴越近，从而即可求出直线y＝kx＋1与线段AB有交点的x的值.
6．（2021八上·清涧期末）如图，已知直线 ，过点 作 轴的垂线交直线 于点 ，过点 作直线 的垂线交 轴于点 ，过点 作 轴的垂线交直线 于点 ，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵A（1，0）
∴OA=1
当y=1时， ，即x=2，
∴B（2，1）
∵BC⊥l
∴设直线BC的解析式为y=-2x+b，
把B（2，1）代入得，b=5，
∴CO=5，
当y=5时， ，解得，x=10，
∴点D的坐标为（10，5）.
故答案为：A.
【分析】由题意易知点A、B的纵坐标相等且都为1，把纵坐标1代入解析式可求得点B的横坐标，根据互相垂直的两条直线的k值互为负倒数可求得直线BC的解析式，令直线BC的解析式中的x=0可求得点C的坐标，再根据CD∥x轴可知这两点的纵坐标相等，把点C的纵坐标代入直线l的解析式计算即可求得点D的坐标.
7．（2020八上·温州期末）已知A，B两地相距12km，甲、乙两人沿同一条公路分别从A，B两地出发相向而行，甲、乙两人离B地的路程s(km)与时间t(h)的函数关系图象如图所示，则两人在甲出发后相遇所需的时间是（ ）
A．1.2h B．1.5h C．1.6h D．1.8h
【答案】C
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：如图，
设DC的函数解析式为y=kx+b，点C（2，0），点D（0，12）
∴
解之：
∴y=-6x+12，
设AB的函数解析式为y=mx+n，点A（1，0），B（4，12）
∴
解之：
∴y=4x-4
∴-6x+12=4x-4
解之：x=1.6.
∴两人在甲出发后相遇所需的时间是1.6小时
故答案为：C.
【分析】利用函数解析式可得到点A，B，C，D的坐标，再利用待定系数法分别求出AB，CD的函数解析式，然后将两函数解析式联立方程组，解方程组求出x的值，即可得到两人在甲出发后相遇所需的时间。
8．（2023八上·瑞昌月考）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数，，，的图象相交于点P，小逸根据图象得到如下结论：
①在一次函数中，y的值随着x值的增大而增大；
②在一次函数中，y的值随着x值的增大而减小；
③方程组与的解相同，都是④；⑤．其中结论正确的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】一次函数的图象；一次函数与二元一次方程（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：根据函数图象可得，，则y的值随着x值的增大而增大，故①正确；
，y的值随着x值的增大而减小，故②正确；
∵一次函数，，，的图象相交于点P，
∴方程组与的解相同，都是，故③正确；
∵观察，，，分别与轴的交点的位置，越在上方的b的值越大
∴，故④正确；
根据函数图象可得，故⑤错误．
故答案为：C
【分析】根据函数图象直接判断，，即可判断①②，根据一次函数交点为方程组的解即可判断③，根据一次函数与y轴的交点位置即可判断④，根据直线与x轴的夹角即可判断⑤．
二、填空题
9．（2022八上·保定期中）图，直角坐标系中，一次函数的图象分别与x，y轴交于A，B两点，正比例函数的图象与交于点，则m= ，一次函数的图象为，且，，不能围成三角形，则k的值为 .
【答案】2；或2或
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：把点代入得，
，
，
如图，由题意得，
的解析式为，与相交于点，为正比例函数图象，
设的解析式为．
，解得．
的解析式为．
的解析式为，当时，，
恒过点．
、、不能围成三角形，
当与平行时，、、不能围成三角形，；
当与平行时，、、不能围成三角形，；
当经过点时，、、不能围成三角形，．
当，2或时，、、不能围成三角形．
故答案为：2；或2或．
【分析】将点C的坐标代入求出m的值，分情况讨论：①当与平行时，②当与平行时，③当经过点时，分别求出k的值即可。
10．（2024八上·大竹期末）一次函数与函数的图象恰好有两个交点，则实数k的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】一次函数的图象；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解： y=kx+2k=k（x+2），表明该一次函数图象必过定点（-2，0）.
①当k=0，此时一次函数的图象即为x轴，与有一个交点；
②当k=-1时，y=kx+2k与图象的右侧分支平行，有一个交点；
③当-1④当k<-1或k>1时，y=kx+2k与图象的左分支有一个交点，共一个交点；
⑤当0综上所述，当-1故答案为： -1【分析】本题中的一次函数带有参数，其必过定点（-2，0），是解题的关键；再结合另一个函数的图象，进行分类讨论，从而求解.
11．（2020八上·西安期中）已知直线 与直线 的交点坐标为 ，则直线 与直线 的交点坐标为 .
【答案】（-2,3）
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：∵
∴
∵直线 与直线 的交点坐标为
∴
得
∴
∴
将 代入 中得
∴交点坐标为（-2,3）
故答案为：（-2,3）.
【分析】由题意可知：将两条直线的解析式联立解方程组求得的x、y的值即为两直线的交点坐标，再结合已知的两直线的交点坐标可得关于k1、k2、b1、b2的方程组，整理并结合已知点的坐标即可求解.
12．（2020八上·坪山期末）如图，已知点A (4，6)，B(0，3)，一次函数y=3x + b图象经过点A，且与y轴相交于点C，若点P为线段AC上的一点，连接BP，将△ABP沿着直线BP翻折，使得点A的对应点恰好落在直线AB下方的y轴上，则点P的坐标为 。
【答案】（，）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；轴对称的性质
【解析】【解答】 解： ∵一次函数y=3x+b的图像经过点A（4，6），
∴12+b=6，
∴b=-6，
∴直线AC的解析式为y=3x-6，
∵A（4，6），B（0，3），
∴AB==5，
设将△ABP沿着直线BP翻折，点A的对应点为D，
∴BD=AB=5，
∴OD=BD-OB=5-3=2，
∴D（0，-2），
设直线AD的解析式为y=mx+n，
∴，
解得，
∴直线AD的解析式为y=2x-2，
∴直线BP的解析式为y=-x+3，
∴由解得，
∴ 点P的坐标为（，）.
故答案为：（，）.
【分析】先求出直线AC的解析式为y=3x-6，根据折叠的性质得出D（0，-2），求出直线AD的解析式为y=2x-2，从而得出直线BP的解析式为y=-x+3，联立方程组求出方程组的解，即可得出点P的坐标.
13．（2024八上·双流期末）如图，在中，，，以BC所在直线为x轴，过点A作BC的垂线为y轴建立直角坐标系，D，E分别为线段AO和线段AC上一动点，且．当的值最小时，点E的坐标为 ．
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系；两点之间线段最短；三角形全等及其性质
【解析】【解答】过点C作CF⊥BC于点C，且使CF=AB，连接EF，BF，BF交AC于点G
∵AO⊥BC，
∴AO∥FC，
∴∠CAO=∠ACF，
∵AB=AC，
∴∠BAO=∠CAO，
∴∠BAD=∠FCE，
∵AD=CE，
∴，
∴BD=FE，
∴BD+BE=FE+BE，
∴当B，E，F三点在同一直线上时(即点E与点G重合时），的值最小 ，此时的值为线段BF的长，
根据已知条件知：，，
∴OC=6，
∴OA=，
∴A(0，8），B(-6，0），C(6，0），
∴直线AC的解析时为：y=①，
∵CF=AB=AC=10，
∴点F的坐标为（6，10），
∴直线BF的解析式为：y=②，
联立①②，得到方程组：
解得：，
∴点G的坐标为（），
即点E 的坐标为（）。
【分析】首先根据SAS证明，得出BD=FE，从而得出BD+BE=FE+BE，即可得出当B，E，F三点在同一直线上时(即点E与点G重合时），的值最小 ，此时的值为线段BF的长，然后通过求直线AC和直线BF的解析式，进而得出连直线的交点G的坐标为（），即可得出点E 的坐标为（）。
三、解答题
14．（2024八上·邛崃期末）在平面直角坐标系中，直线：分别交x，y轴于B，A两点，直线过点，交x轴于点D，交直线于点C，其中点C的横坐标为1．
（1）求直线l2的函数表达式；
（2）若点G是y轴上一点，且，求点G的坐标；
（3）在（2）的条件下，点P为x轴上一点，且，直接写出点P的坐标．
【答案】（1）解：把代入中得：，
，
设直线的函数表达式为，
，
，
直线的函数表达式为；
（2）解：在中，令，则，
，
，
在中，令，则，
，，
，
设，
连接，过作轴于，如图，
，，，
，
，
，
，
解得或，
或；
（3）点的坐标为或，
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；全等三角形的应用；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（3）①当点在轴的正半轴时，
过点作于点，轴于点，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，设交轴于点，如图，
，
，，
，
．
，轴，，，，
四边形，，为矩形，
，，，，，
，
，，
为等腰直角三角形，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，．
设，则，，
，
，
，
，，
，，
设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的解析式为．
令，则，
，
，；
②当点在轴的负半轴时，
过点作于点，轴于点，过点作，交于点，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，设交轴于点，如图，
，
，，
，
．
，轴，，，，
四边形，，为矩形，
，，，，，
，
，，
为等腰直角三角形，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，．
设，则，，
，
，
，
，，
，，
设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的解析式为．
令，则，
．
．
综上，点为轴上一点，且，点的坐标为或，．
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）设 ，连接，过作轴于，利用点的坐标表示出相应线段的长度，利用，求得，再利用已知条件列出关于的方程，解方程即可得出结论；
（3）利用分类讨论的方法，分两种情况讨论解答：①当点在轴的正半轴时，过点作于点，轴于点，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，设交轴于点，利用矩形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质得到：，，设，则，，列出方程求得值，进而求得点的坐标，利用待定系数法求得直线的解析式，令，求得值，则结论可求；②当点在轴的负半轴时，过点作于点，轴于点，过点作，交于点，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，设交轴于点，利用同样的方法解答即可．
15．（2017八上·西安期末）在平面直角坐标系中，O为原点，直线l：x=1，点A（2，0），点E，点F，点M都在直线l上，且点E和点F关于点M对称，直线EA与直线OF交于点P．
（Ⅰ）若点M的坐标为（1，﹣1），
①当点F的坐标为（1，1）时，如图，求点P的坐标；
②当点F为直线l上的动点时，记点P（x，y），求y关于x的函数解析式．
（Ⅱ）若点M（1，m），点F（1，t），其中t≠0，过点P作PQ⊥l于点Q，当OQ=PQ时，试用含t的式子表示m．
【答案】解：（Ⅰ）①∵点O（0，0），F（1，1），∴直线OF的解析式为y=x．设直线EA的解析式为：y=kx+b（k≠0）、∵点E和点F关于点M（1，﹣1）对称，∴E（1，﹣3）．又∵A（2，0），点E在直线EA上，∴ ，解得 ，∴直线EA的解析式为：y=3x﹣6．∵点P是直线OF与直线EA的交点，则 ，解得 ，∴点P的坐标是（3，3）．②由已知可设点F的坐标是（1，t）．∴直线OF的解析式为y=tx．设直线EA的解析式为y=cx+d（c、d是常数，且c≠0）．由点E和点F关于点M（1，﹣1）对称，得点E（1，﹣2﹣t）．又点A、E在直线EA上，∴ ，解得 ，∴直线EA的解析式为：y=（2+t）x﹣2（2+t）．∵点P为直线OF与直线EA的交点，∴tx=（2+t）x﹣2（2+t），即t=x﹣2．则有 y=tx=（x﹣2）x=x2﹣2x；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，直线OF的解析式为y=tx．直线EA的解析式为y=（t﹣2m）x﹣2（t﹣2m）．∵点P为直线OF与直线EA的交点，∴tx=（t﹣2m）x﹣2（t﹣2m），化简，得 x=2﹣ ．有 y=tx=2t﹣ ．∴点P的坐标为（2﹣ ，2t﹣ ）．∵PQ⊥l于点Q，得点Q（1，2t﹣ ），∴OQ2=1+t2（2﹣ ）2，PQ2=（1﹣ ）2，∵OQ=PQ，∴1+t2（2﹣ ）2=（1﹣ ）2，化简，得 t（t﹣2m）（t2﹣2mt﹣1）=0．又∵t≠0，∴t﹣2m=0或t2﹣2mt﹣1=0，解得 m= 或m= ．则m= 或m= 即为所求．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数的实际应用；勾股定理；一次函数中的动态几何问题
【解析】【分析】（Ⅰ）①根据题意可知直线OF是正比例函数，根据点F的坐标，利用待定系数法可求出此函数的解析式；再根据点F、点M的坐标及点E和点F关于点M对称，可求出点E的坐标，利用待定系数法由点A、点E的坐标就可求得直线AE的函数解析式；再由两直线联立方程组，解方程组即可求出点P的坐标；②由已知可设点F的坐标是（1，t），设直线OF的解析式为y=tx，设直线EA的解析式为y=cx+d，再根据轴对称的性质得出点E的坐标，再将A、E的坐标代入函数解析式，即可求出直线AE的函数解析式；根据点P为直线OF与直线EA的交点，将两函数解析式联立方程组，即可求出t的值，就得到y关于x的函数解析式。
（Ⅱ）由直线OF的解析式和直线EA的解析式联立方程组，求出交点P的坐标，根据PQ⊥l于点Q，分别求出OQ2，PQ2，再根据OQ=PQ，即可求出m的值。
16．（2023八上·金华月考）定义：叫做关于直线x=m的“分边折叠函数”．
（1）已知“分边折叠函数”
①直接写出该函数与y轴的交点坐标；
②若直线y=2x+t与该函数只有一个交点，求t的取值范围；
（2）已知“分边折叠函数”的图像被直线x=m与y轴所夹的线段长为，则k的值为 ．
【答案】（1）①(0，-6)；
② 当x=4时，y=3x-6=12-6=6，当y=2x+t过（4，6）时，t=-2；
当x=4使，y=-3x-6=-12-6=-18，当y=2x+t过（4，-18）时，t=-26；
当直线y=2x+t与该函数只有一个交点时，
则；
（2）±2
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）①令x=0，则y=-3×0-6=-6，则函数与y轴的交点为（0.-6）；
故答案为：（0，-6）；
（2）当x=m时，y=-km+k，即函数与x=m的交点为（m，-km+k），
当x=0时，y=k，即函数与y轴的交点为（0，k），
∵ 函数图象被直线x=m与y轴的所夹的线段长为，
∴ m2+(km)2=（）2，
解得，k=±2；
故答案为：±2.
【分析】（1）①将x=0代入y=-3x-6，即可求得；
②先分别求出x=4时，两函数的点的坐标，再分别求出过此点时t的值，根据函数图象即可求得；
（2）先求出函数与x=m，y轴的交点，再根据勾股定理列出式子，求解即可.
17．（2024八上·顺德期末）综合应用
如图，直线：交轴于点，交轴于点．直线过点交轴于点．
（1）求直线的表达式；
（2）求出轴上的点的坐标，使得；
（3）求出第一象限内的点，使得．
【答案】（1）解：直线：交轴于点，当，则，则点，
设直线的解析式，
，
解得：，
则直线的解析式.
（2）解：在x轴正半轴取一点，使得，如图，
∵直线：交轴于点，当，则，
∴，
∴，
当D在B右侧时，
∵∠ABO=∠ADB+∠BAD，∠ABO=45°，∠ADB=22.5°，
∴∠BAD=22.5°=∠ADB，
∴BD=BA，
∵A（0，5），B（5，0），
∴，
∴；
当D'在B左侧时，作B关于y轴的对称点B'（-5，0），连接AB'，
由对称性可得∠AB'O=∠ABO=45°，，
同理可得，
故，
故点D的坐标为或.
（3）解：设直线与x轴交于点Q，过点Q作于点T，如图，
∵，，
∴，
则，
∵，，
∴，
设点，则，CQ=t+2.5，
∵TQ⊥AC，AO⊥CO，∠C=∠C，
∴△AOC∽△QTC，
∴，
故，
即，
解得：或（舍去），
则直线解析式为，
∵第一象限内的点，
∴点P在直线上，
，解得，
则点，
，解得，
则点，
∵点与点关于直线对称，
∴，解得，
则点，
故满足条件的点和．
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【分析】（1）先求出直线l1与y轴的交点坐标A（0，5），根据待定系数法可得直线l2的表达式为即可；
（2）先求出直线l1与x轴的交点坐标B（5，0），得出OA=OB，根据等腰直角三角形的性质可得∠ABO=45°，分两种情况：当D在B右侧时，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可得∠BAD=22.5°=∠ADB，根据等角对等边可得BD=BA，结合直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求得AB的值，即可求解，当D'在B左侧时，作B关于y轴的对称点B'（-5，0），连接AB'，根据对称的性质可得，结合图象即可求解；
（3）设直线与x轴交于点Q，过点Q作于点T，推得，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方可得，结合点C的坐标和勾股定理可求得，设点，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求得，根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形，相似三角形的对应边之比相等可求得，即可列出方程，求解得出t的值，根据待定系数法求出直线AQ的解析式，联立方程求出两直线的交点坐标得出点P1的坐标，点N的坐标，结合对称的性质可求得点P2的坐标.
18．（2020八上·鄄城期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C（2，m）为直线 上一点，直线 过点C．
（1）求m和b的值；
（2）直线 与x轴交于点D，动点P在线段DA上从点D开始以每秒1个单位的速度向A点运动．设点P的运动时间为t秒．
①若△ACP的面积为10，求t的值；
②是否存在t的值，使△ACP为等腰三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：把点C（2，m）代入直线y＝x+2中得：m＝2+2＝4，
∴点C（2，4），
∵直线y x+b过点C，
4 b，b＝5
（2）解：①由题意得：PD＝t，
y＝x+2中，当y＝0时，x+2＝0，解得，x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），
y x+5中，当y＝0时， x+5＝0，解得，x＝10，
∴D（10，0），
∴AD＝10+2＝12，
∵△ACP的面积为10，
∴ 4＝10，解得，t＝7，
则t的值7秒；
②设点P（10﹣t，0），点A、C的坐标为：（﹣2，0）、（2，4），
(i)当AC＝CP时，如图1，过C作 于E，
∴
∴
∴t＝4
（ii）当AC＝AP时，如图2，
即：
∴ ，
（iii）当AP＝CP时，如图3，
∵
∴∠
∴∠
∴∠
∴ ，
∴ ，即t＝8；
故：当t＝4秒或（12﹣4 ）秒或（12+4 ）秒或8秒时，△ACP为等腰三角形．
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数中的动态几何问题
【解析】【分析】（1）将点C的坐标代入直线求出m的值，再将点C的坐标代入直线即可求出b的值；
（2）①先求出点A的坐标，再求出点D的坐标，最后利用三角形的面积公式列出方程求解即可；②分三种情况，分别求解即可。
19．（2023八上·宁波期末）在平面直角坐标系中，给出以下定义：对于x轴上点M（a，0）（其中a为正整数）与坐标平面内一点N，若y轴上存在点T，使得，且，则称点N为a宝点，如示例图，我们可知点N（-1，0）为1宝点，理由如下：在x轴上取点M（1，0），以MN为斜边作等腰直角三角形MNT，可以算得一个点T（0，1），它是在y轴上的，因此点N（-1，0）为1宝点．
（1）如图①，在点A（2，0），B（2，-2），C（0，1），D（-2，0）中，2宝点是点 ．（填“A”“B”“C”或“D”）
（2）如图①，点M（4，0），T（0，3），若N为4宝点，求点N的坐标．
（3）如图②，若一次函数的图象上存在2宝点，求这个2宝点的坐标
（4）若一次函数图象上存在无数个3宝点，请直接写出该一次函数的解析式．
【答案】（1）D
（2）解：如图，作直线MT，并过点T作HT⊥AM于点T，
设直线AM为y=kx+b，
将点 M（4，0），T（0，3） 代入，
得
解得
∴直线MT为：，
∵HT⊥AM于点T
∴直线TH为：，
根据题意易得点N一定在直线HT上，设点N，
则可得，
解得a=±3，
∴当a=3时，，
当a=-3时，，
∴N（-3，-1）或N（3，7）.
（3）解：设2宝点为点A'
①当A'在x轴上方时，过A'作AF'⊥y 轴于F，如图所示：
∵A'是2的宝点，
∴
∴
∵
∴
∴ ，
设 ，则
∴
将 代入 得：
，解得 ，
∴ （2，4）
②当A'在x轴下方时，过A'作A'H⊥y 轴于H，如图所示：
同①可证明 （AAS），
∴ ，
设 ，则
∴A'（-n，n-2），
将 （-n，n-2）代入 得：
，解得
∴A'（0，-2）
综上所述， A点的坐标为（2，4）或（0，-2）；
（4）解：y=x+3；y=-x-3
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（1）如图，取点T（0，2），连接DT，AT，
∵D（ 2，0），A（2，0），T（0，2），
∴OT＝OD＝OA＝2，
∴△ADT是等腰直角三角形，
∴在点B（2， 2），C（0，1），D（ 2，0）中，2宝点是点D，
故答案为：D；
（4） 若一次函数y=kx+b（k≠0）图象上存在无数个3宝点，分类讨论：
①当k＞0时，如图，
∵N是3宝点，
∴∠MTN＝90°，MT＝NT，
∴∠NTF＝90° ∠MTO＝∠TMO，
∵∠NFT＝∠TOM＝90°，
∴△NFT≌△TOM（AAS），
∴TF＝MO＝3，NF＝OT，
设OT＝NF＝m，则OF＝OT＋TF＝m＋3，
∴N（m，m＋3），
∵一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象上存在无数个无数个3宝点，
∴该一次函数的解析式为y＝x＋3；
②当k＜0时，如图，
同①可证明△MOT≌THN（AAS），
∴NH＝OT，TH＝OM＝3，
设NH＝OT＝n，则OH＝TH OT＝n 3，
∴N（ n，n 3），
∴该一次函数的解析式为y＝ x 3，
综上，该一次函数的所有解析式为y＝x＋3或y＝ x 3．
【分析】 （1）取点T（0，2），连接DT，AT，可得△ADT是等腰直角三角形，即知2宝点是点D；
若一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象上存在无数个无数个3宝点，
（2）作直线MT，并过点T作HT⊥AM于点T，利用待定系数法求出直线MT的解析式，根据互相垂直的直线中自变量的系数乘积为-1易得直线HT的解析式为，根据题干提供的信息可知点N一定在直线HT上，且满足TN=TM，设点N，据此结合两点间的距离公式建立方程，求解可得a的值，从而即可求出点N的坐标；
（3）①当A'在x轴上方时，过A'作AF'⊥y 轴于F，证明△A'FE≌△EOA（AAS），得EF＝AO＝2，A'F＝OE，设OE＝A'F＝m，则OF＝OE＋EF＝m＋2，则N（m，m＋2），将N（m，m＋2）代入y＝3x 2可得N（2，4）；②当A'在x轴下方时，过A'作A'H⊥y 轴于H，同理可得N（0， 2）；
（4）分两种情况：①当k＞0时，②当k＜0时，利用（2）的方法即可求解．
20．（2022八上·武义期末）如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行于x轴的直线与分段函数相交于点A，B两点（点B在点A的右边），点C在AB的延长线上，当点B的纵坐标为3.
（1）求AB的长.
（2）过点B，C的分段函数图象相交于点M.
①若，求a和k的值.
②如图2，若改为，其它条件不变，经过点B的直线与OA，ME分别交于点D，E，当DB＝BE时，求n的值.
【答案】（1）解：∵A、B两点是分段函数与直线的交点，且B的纵坐标为3.
∴A（-3，3），B（3，3）∴AB=3-（-3）=6.
（2）解：①∵AB=6，且
∴
∴C（6，3）将B（3，3）与C（6，3）代入得：
解得：；
②∵与相交于点D，
∴，
∴解得，
∴
设点E的坐标为
∵DB＝BE，且B（3，3）
∴
解得
∴
将B（3，3）与代入
可得，
解得，
∴分段函数为
将C 的纵坐标3代入可得
解得，
∴
∵，且AB=6
∴
∵
∴n=17，故答案为17.
【知识点】一次函数的图象；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【分析】（1）由题意可得A（-3，3），B（3，3），据此不难求出AB的长；
（2）①由已知条件可得BC=AB=3，则C（6，3），将B、C的坐标代入可求出k、a的值；
②联立y=x+与y=-x求出x、y的值，可得点D的坐标，设E（x1，y1），根据DB=BE结合中点坐标公式可得x1、y1的值，表示出点E的坐标，将B、E的坐标代入可求出k、a的值，然后将点C的纵坐标代入求出x的值，得到点C的坐标，然后求出BC，据此求解.
1 / 1【培优版】北师大版数学八年级上册5.6-5.7二元一次方程与一次函数 同步练习
一、选择题
1．（2021八上·枣庄月考）已知直线l1：y=kx+b与直线l2：y=-2x+4交于点C（m，2），则方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
2．（2020八上·滕州月考）一次函数y1＝x＋4的图象与一次函数y2＝－x＋b的图象的交点不可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2021八上·拱墅月考）一次函数y1＝ax+b与y2＝cx+d的图象如图所示，下列说法：
①对于函数y＝ax+b来说，y随x的增大而减小；
②函数y＝ax+d的图象不经过第一象限；
③不等式ax+b＞cx+d的解集是x＞3；
④d﹣b＝3（a﹣c）.其中正确的有（ ）
A．①③ B．②③④ C．①②④ D．②③
4．（2021八上·扶风期末）如果一次函数y=3x+6与y=2x-4的图象交点坐标为(a，b)，则 是方程组（ ）的解.
A． B．
C． D．
5．（2021八上·丹徒期末）如图，在平面直角坐标系中，线段AB的端点坐标为A（－3，－5），B（2，－3），若直线y＝kx＋1与线段AB有交点，则k的值不可能是（ ）
A．－5 B．－1 C．3 D．5
6．（2021八上·清涧期末）如图，已知直线 ，过点 作 轴的垂线交直线 于点 ，过点 作直线 的垂线交 轴于点 ，过点 作 轴的垂线交直线 于点 ，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．（2020八上·温州期末）已知A，B两地相距12km，甲、乙两人沿同一条公路分别从A，B两地出发相向而行，甲、乙两人离B地的路程s(km)与时间t(h)的函数关系图象如图所示，则两人在甲出发后相遇所需的时间是（ ）
A．1.2h B．1.5h C．1.6h D．1.8h
8．（2023八上·瑞昌月考）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数，，，的图象相交于点P，小逸根据图象得到如下结论：
①在一次函数中，y的值随着x值的增大而增大；
②在一次函数中，y的值随着x值的增大而减小；
③方程组与的解相同，都是④；⑤．其中结论正确的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
9．（2022八上·保定期中）图，直角坐标系中，一次函数的图象分别与x，y轴交于A，B两点，正比例函数的图象与交于点，则m= ，一次函数的图象为，且，，不能围成三角形，则k的值为 .
10．（2024八上·大竹期末）一次函数与函数的图象恰好有两个交点，则实数k的取值范围是 ．
11．（2020八上·西安期中）已知直线 与直线 的交点坐标为 ，则直线 与直线 的交点坐标为 .
12．（2020八上·坪山期末）如图，已知点A (4，6)，B(0，3)，一次函数y=3x + b图象经过点A，且与y轴相交于点C，若点P为线段AC上的一点，连接BP，将△ABP沿着直线BP翻折，使得点A的对应点恰好落在直线AB下方的y轴上，则点P的坐标为 。
13．（2024八上·双流期末）如图，在中，，，以BC所在直线为x轴，过点A作BC的垂线为y轴建立直角坐标系，D，E分别为线段AO和线段AC上一动点，且．当的值最小时，点E的坐标为 ．
三、解答题
14．（2024八上·邛崃期末）在平面直角坐标系中，直线：分别交x，y轴于B，A两点，直线过点，交x轴于点D，交直线于点C，其中点C的横坐标为1．
（1）求直线l2的函数表达式；
（2）若点G是y轴上一点，且，求点G的坐标；
（3）在（2）的条件下，点P为x轴上一点，且，直接写出点P的坐标．
15．（2017八上·西安期末）在平面直角坐标系中，O为原点，直线l：x=1，点A（2，0），点E，点F，点M都在直线l上，且点E和点F关于点M对称，直线EA与直线OF交于点P．
（Ⅰ）若点M的坐标为（1，﹣1），
①当点F的坐标为（1，1）时，如图，求点P的坐标；
②当点F为直线l上的动点时，记点P（x，y），求y关于x的函数解析式．
（Ⅱ）若点M（1，m），点F（1，t），其中t≠0，过点P作PQ⊥l于点Q，当OQ=PQ时，试用含t的式子表示m．
16．（2023八上·金华月考）定义：叫做关于直线x=m的“分边折叠函数”．
（1）已知“分边折叠函数”
①直接写出该函数与y轴的交点坐标；
②若直线y=2x+t与该函数只有一个交点，求t的取值范围；
（2）已知“分边折叠函数”的图像被直线x=m与y轴所夹的线段长为，则k的值为 ．
17．（2024八上·顺德期末）综合应用
如图，直线：交轴于点，交轴于点．直线过点交轴于点．
（1）求直线的表达式；
（2）求出轴上的点的坐标，使得；
（3）求出第一象限内的点，使得．
18．（2020八上·鄄城期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C（2，m）为直线 上一点，直线 过点C．
（1）求m和b的值；
（2）直线 与x轴交于点D，动点P在线段DA上从点D开始以每秒1个单位的速度向A点运动．设点P的运动时间为t秒．
①若△ACP的面积为10，求t的值；
②是否存在t的值，使△ACP为等腰三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
19．（2023八上·宁波期末）在平面直角坐标系中，给出以下定义：对于x轴上点M（a，0）（其中a为正整数）与坐标平面内一点N，若y轴上存在点T，使得，且，则称点N为a宝点，如示例图，我们可知点N（-1，0）为1宝点，理由如下：在x轴上取点M（1，0），以MN为斜边作等腰直角三角形MNT，可以算得一个点T（0，1），它是在y轴上的，因此点N（-1，0）为1宝点．
（1）如图①，在点A（2，0），B（2，-2），C（0，1），D（-2，0）中，2宝点是点 ．（填“A”“B”“C”或“D”）
（2）如图①，点M（4，0），T（0，3），若N为4宝点，求点N的坐标．
（3）如图②，若一次函数的图象上存在2宝点，求这个2宝点的坐标
（4）若一次函数图象上存在无数个3宝点，请直接写出该一次函数的解析式．
20．（2022八上·武义期末）如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行于x轴的直线与分段函数相交于点A，B两点（点B在点A的右边），点C在AB的延长线上，当点B的纵坐标为3.
（1）求AB的长.
（2）过点B，C的分段函数图象相交于点M.
①若，求a和k的值.
②如图2，若改为，其它条件不变，经过点B的直线与OA，ME分别交于点D，E，当DB＝BE时，求n的值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：∵y=-2x+4过点C（m，2），
∴，
解得，
∴点C（1，2），
∴方程组的解．
故答案为：A．
【分析】根据一次函数与二元一次方程组的关系可得：两函数图象的交点即是方程组的解。
2．【答案】D
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】因为一次函数y1=x+4的图象在第一，二，三象限上，
所以与一次函数y2=-x+b的图象的交点不可能在第四象限.
故答案为：D.
【分析】一次函数y=ax+k，当a>0，k＞0时，图象过一、二、三象限；当a>0，k＜0时，图象过一、三、四象限；当a<0时，k＞0时，图象经过一、二、四象限；当a＜0，k＜0，图象经过二、三、四象限.本题中y1=x+4的图象在第一，二，三象限上，即可得出答案.
3．【答案】C
【知识点】一次函数的图象；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：由图象可得：对于函数y1=ax+b来说，y随x的增大而减小，故①说法正确；
由于a＜0，d＜0，所以函数y2=ax+d的图象经过第二，三，四象限，即不经过第一象限，故②说法正确，
由图象可得当x＜3时，一次函数y1=ax+b图象在y2=cx+d的图象上方，
∴ax+b＞cx+d的解集是x＜3，故③说法不正确；
∵一次函数y1=ax+b与y2=cx+d的图象的交点的横坐标为3，
∴3a+b=3c+d
∴3a-3c=d-b，
∴d-b=3（a-c），故④说法正确.
故答案为：C.
【分析】由图象可得：对于函数y1=ax+b来说，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小，据此判断①；对于函数y1=ax+b来说，图象经过第二、四象限，得a＜0，对于y2＝cx+d图象交y轴的负半轴，得 d＜0，则函数y=ax+d的图象经过第二，三，四象限，据此判断②；找出函数y1在y2上方部分所对应的x的范围，据此判断③；根据交点的横坐标可得3a+b=3c+d，变形可判断④.
4．【答案】C
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：一次函数y=3x+6与y=2x-4的图象交点坐标为(a，b)
∴3x-y=-6，2x-4-y=0
∴ 是方程组 的解.
故答案为：C.
【分析】将两函数解析式组成方程组，利用两一次函数的交点坐标就是这个方程组的解，由此可得答案.
5．【答案】B
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：①当直线y＝kx＋1过点A时，将A（ 3，－5）代入解析式y＝kx＋1得，k＝2，
②当直线y＝kx＋1过点B时，将B（2，－3）代入解析式y＝kx＋1得，k＝－2，
∵|k|越大，它的图象离y轴越近，
∴当k≥2或k≤ 2时，直线y＝kx＋1与线段AB有交点.
故答案为：B.
【分析】当直线y＝kx＋1过点A时，求出k的值，当直线y＝kx＋1过点B时，求出k的值，由于|k|越大，它的图象离y轴越近，从而即可求出直线y＝kx＋1与线段AB有交点的x的值.
6．【答案】A
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵A（1，0）
∴OA=1
当y=1时， ，即x=2，
∴B（2，1）
∵BC⊥l
∴设直线BC的解析式为y=-2x+b，
把B（2，1）代入得，b=5，
∴CO=5，
当y=5时， ，解得，x=10，
∴点D的坐标为（10，5）.
故答案为：A.
【分析】由题意易知点A、B的纵坐标相等且都为1，把纵坐标1代入解析式可求得点B的横坐标，根据互相垂直的两条直线的k值互为负倒数可求得直线BC的解析式，令直线BC的解析式中的x=0可求得点C的坐标，再根据CD∥x轴可知这两点的纵坐标相等，把点C的纵坐标代入直线l的解析式计算即可求得点D的坐标.
7．【答案】C
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：如图，
设DC的函数解析式为y=kx+b，点C（2，0），点D（0，12）
∴
解之：
∴y=-6x+12，
设AB的函数解析式为y=mx+n，点A（1，0），B（4，12）
∴
解之：
∴y=4x-4
∴-6x+12=4x-4
解之：x=1.6.
∴两人在甲出发后相遇所需的时间是1.6小时
故答案为：C.
【分析】利用函数解析式可得到点A，B，C，D的坐标，再利用待定系数法分别求出AB，CD的函数解析式，然后将两函数解析式联立方程组，解方程组求出x的值，即可得到两人在甲出发后相遇所需的时间。
8．【答案】C
【知识点】一次函数的图象；一次函数与二元一次方程（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：根据函数图象可得，，则y的值随着x值的增大而增大，故①正确；
，y的值随着x值的增大而减小，故②正确；
∵一次函数，，，的图象相交于点P，
∴方程组与的解相同，都是，故③正确；
∵观察，，，分别与轴的交点的位置，越在上方的b的值越大
∴，故④正确；
根据函数图象可得，故⑤错误．
故答案为：C
【分析】根据函数图象直接判断，，即可判断①②，根据一次函数交点为方程组的解即可判断③，根据一次函数与y轴的交点位置即可判断④，根据直线与x轴的夹角即可判断⑤．
9．【答案】2；或2或
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：把点代入得，
，
，
如图，由题意得，
的解析式为，与相交于点，为正比例函数图象，
设的解析式为．
，解得．
的解析式为．
的解析式为，当时，，
恒过点．
、、不能围成三角形，
当与平行时，、、不能围成三角形，；
当与平行时，、、不能围成三角形，；
当经过点时，、、不能围成三角形，．
当，2或时，、、不能围成三角形．
故答案为：2；或2或．
【分析】将点C的坐标代入求出m的值，分情况讨论：①当与平行时，②当与平行时，③当经过点时，分别求出k的值即可。
10．【答案】
【知识点】一次函数的图象；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解： y=kx+2k=k（x+2），表明该一次函数图象必过定点（-2，0）.
①当k=0，此时一次函数的图象即为x轴，与有一个交点；
②当k=-1时，y=kx+2k与图象的右侧分支平行，有一个交点；
③当-1④当k<-1或k>1时，y=kx+2k与图象的左分支有一个交点，共一个交点；
⑤当0综上所述，当-1故答案为： -1【分析】本题中的一次函数带有参数，其必过定点（-2，0），是解题的关键；再结合另一个函数的图象，进行分类讨论，从而求解.
11．【答案】（-2,3）
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：∵
∴
∵直线 与直线 的交点坐标为
∴
得
∴
∴
将 代入 中得
∴交点坐标为（-2,3）
故答案为：（-2,3）.
【分析】由题意可知：将两条直线的解析式联立解方程组求得的x、y的值即为两直线的交点坐标，再结合已知的两直线的交点坐标可得关于k1、k2、b1、b2的方程组，整理并结合已知点的坐标即可求解.
12．【答案】（，）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；轴对称的性质
【解析】【解答】 解： ∵一次函数y=3x+b的图像经过点A（4，6），
∴12+b=6，
∴b=-6，
∴直线AC的解析式为y=3x-6，
∵A（4，6），B（0，3），
∴AB==5，
设将△ABP沿着直线BP翻折，点A的对应点为D，
∴BD=AB=5，
∴OD=BD-OB=5-3=2，
∴D（0，-2），
设直线AD的解析式为y=mx+n，
∴，
解得，
∴直线AD的解析式为y=2x-2，
∴直线BP的解析式为y=-x+3，
∴由解得，
∴ 点P的坐标为（，）.
故答案为：（，）.
【分析】先求出直线AC的解析式为y=3x-6，根据折叠的性质得出D（0，-2），求出直线AD的解析式为y=2x-2，从而得出直线BP的解析式为y=-x+3，联立方程组求出方程组的解，即可得出点P的坐标.
13．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系；两点之间线段最短；三角形全等及其性质
【解析】【解答】过点C作CF⊥BC于点C，且使CF=AB，连接EF，BF，BF交AC于点G
∵AO⊥BC，
∴AO∥FC，
∴∠CAO=∠ACF，
∵AB=AC，
∴∠BAO=∠CAO，
∴∠BAD=∠FCE，
∵AD=CE，
∴，
∴BD=FE，
∴BD+BE=FE+BE，
∴当B，E，F三点在同一直线上时(即点E与点G重合时），的值最小 ，此时的值为线段BF的长，
根据已知条件知：，，
∴OC=6，
∴OA=，
∴A(0，8），B(-6，0），C(6，0），
∴直线AC的解析时为：y=①，
∵CF=AB=AC=10，
∴点F的坐标为（6，10），
∴直线BF的解析式为：y=②，
联立①②，得到方程组：
解得：，
∴点G的坐标为（），
即点E 的坐标为（）。
【分析】首先根据SAS证明，得出BD=FE，从而得出BD+BE=FE+BE，即可得出当B，E，F三点在同一直线上时(即点E与点G重合时），的值最小 ，此时的值为线段BF的长，然后通过求直线AC和直线BF的解析式，进而得出连直线的交点G的坐标为（），即可得出点E 的坐标为（）。
14．【答案】（1）解：把代入中得：，
，
设直线的函数表达式为，
，
，
直线的函数表达式为；
（2）解：在中，令，则，
，
，
在中，令，则，
，，
，
设，
连接，过作轴于，如图，
，，，
，
，
，
，
解得或，
或；
（3）点的坐标为或，
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；全等三角形的应用；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（3）①当点在轴的正半轴时，
过点作于点，轴于点，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，设交轴于点，如图，
，
，，
，
．
，轴，，，，
四边形，，为矩形，
，，，，，
，
，，
为等腰直角三角形，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，．
设，则，，
，
，
，
，，
，，
设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的解析式为．
令，则，
，
，；
②当点在轴的负半轴时，
过点作于点，轴于点，过点作，交于点，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，设交轴于点，如图，
，
，，
，
．
，轴，，，，
四边形，，为矩形，
，，，，，
，
，，
为等腰直角三角形，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，．
设，则，，
，
，
，
，，
，，
设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的解析式为．
令，则，
．
．
综上，点为轴上一点，且，点的坐标为或，．
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）设 ，连接，过作轴于，利用点的坐标表示出相应线段的长度，利用，求得，再利用已知条件列出关于的方程，解方程即可得出结论；
（3）利用分类讨论的方法，分两种情况讨论解答：①当点在轴的正半轴时，过点作于点，轴于点，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，设交轴于点，利用矩形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质得到：，，设，则，，列出方程求得值，进而求得点的坐标，利用待定系数法求得直线的解析式，令，求得值，则结论可求；②当点在轴的负半轴时，过点作于点，轴于点，过点作，交于点，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，设交轴于点，利用同样的方法解答即可．
15．【答案】解：（Ⅰ）①∵点O（0，0），F（1，1），∴直线OF的解析式为y=x．设直线EA的解析式为：y=kx+b（k≠0）、∵点E和点F关于点M（1，﹣1）对称，∴E（1，﹣3）．又∵A（2，0），点E在直线EA上，∴ ，解得 ，∴直线EA的解析式为：y=3x﹣6．∵点P是直线OF与直线EA的交点，则 ，解得 ，∴点P的坐标是（3，3）．②由已知可设点F的坐标是（1，t）．∴直线OF的解析式为y=tx．设直线EA的解析式为y=cx+d（c、d是常数，且c≠0）．由点E和点F关于点M（1，﹣1）对称，得点E（1，﹣2﹣t）．又点A、E在直线EA上，∴ ，解得 ，∴直线EA的解析式为：y=（2+t）x﹣2（2+t）．∵点P为直线OF与直线EA的交点，∴tx=（2+t）x﹣2（2+t），即t=x﹣2．则有 y=tx=（x﹣2）x=x2﹣2x；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，直线OF的解析式为y=tx．直线EA的解析式为y=（t﹣2m）x﹣2（t﹣2m）．∵点P为直线OF与直线EA的交点，∴tx=（t﹣2m）x﹣2（t﹣2m），化简，得 x=2﹣ ．有 y=tx=2t﹣ ．∴点P的坐标为（2﹣ ，2t﹣ ）．∵PQ⊥l于点Q，得点Q（1，2t﹣ ），∴OQ2=1+t2（2﹣ ）2，PQ2=（1﹣ ）2，∵OQ=PQ，∴1+t2（2﹣ ）2=（1﹣ ）2，化简，得 t（t﹣2m）（t2﹣2mt﹣1）=0．又∵t≠0，∴t﹣2m=0或t2﹣2mt﹣1=0，解得 m= 或m= ．则m= 或m= 即为所求．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数的实际应用；勾股定理；一次函数中的动态几何问题
【解析】【分析】（Ⅰ）①根据题意可知直线OF是正比例函数，根据点F的坐标，利用待定系数法可求出此函数的解析式；再根据点F、点M的坐标及点E和点F关于点M对称，可求出点E的坐标，利用待定系数法由点A、点E的坐标就可求得直线AE的函数解析式；再由两直线联立方程组，解方程组即可求出点P的坐标；②由已知可设点F的坐标是（1，t），设直线OF的解析式为y=tx，设直线EA的解析式为y=cx+d，再根据轴对称的性质得出点E的坐标，再将A、E的坐标代入函数解析式，即可求出直线AE的函数解析式；根据点P为直线OF与直线EA的交点，将两函数解析式联立方程组，即可求出t的值，就得到y关于x的函数解析式。
（Ⅱ）由直线OF的解析式和直线EA的解析式联立方程组，求出交点P的坐标，根据PQ⊥l于点Q，分别求出OQ2，PQ2，再根据OQ=PQ，即可求出m的值。
16．【答案】（1）①(0，-6)；
② 当x=4时，y=3x-6=12-6=6，当y=2x+t过（4，6）时，t=-2；
当x=4使，y=-3x-6=-12-6=-18，当y=2x+t过（4，-18）时，t=-26；
当直线y=2x+t与该函数只有一个交点时，
则；
（2）±2
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）①令x=0，则y=-3×0-6=-6，则函数与y轴的交点为（0.-6）；
故答案为：（0，-6）；
（2）当x=m时，y=-km+k，即函数与x=m的交点为（m，-km+k），
当x=0时，y=k，即函数与y轴的交点为（0，k），
∵ 函数图象被直线x=m与y轴的所夹的线段长为，
∴ m2+(km)2=（）2，
解得，k=±2；
故答案为：±2.
【分析】（1）①将x=0代入y=-3x-6，即可求得；
②先分别求出x=4时，两函数的点的坐标，再分别求出过此点时t的值，根据函数图象即可求得；
（2）先求出函数与x=m，y轴的交点，再根据勾股定理列出式子，求解即可.
17．【答案】（1）解：直线：交轴于点，当，则，则点，
设直线的解析式，
，
解得：，
则直线的解析式.
（2）解：在x轴正半轴取一点，使得，如图，
∵直线：交轴于点，当，则，
∴，
∴，
当D在B右侧时，
∵∠ABO=∠ADB+∠BAD，∠ABO=45°，∠ADB=22.5°，
∴∠BAD=22.5°=∠ADB，
∴BD=BA，
∵A（0，5），B（5，0），
∴，
∴；
当D'在B左侧时，作B关于y轴的对称点B'（-5，0），连接AB'，
由对称性可得∠AB'O=∠ABO=45°，，
同理可得，
故，
故点D的坐标为或.
（3）解：设直线与x轴交于点Q，过点Q作于点T，如图，
∵，，
∴，
则，
∵，，
∴，
设点，则，CQ=t+2.5，
∵TQ⊥AC，AO⊥CO，∠C=∠C，
∴△AOC∽△QTC，
∴，
故，
即，
解得：或（舍去），
则直线解析式为，
∵第一象限内的点，
∴点P在直线上，
，解得，
则点，
，解得，
则点，
∵点与点关于直线对称，
∴，解得，
则点，
故满足条件的点和．
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【分析】（1）先求出直线l1与y轴的交点坐标A（0，5），根据待定系数法可得直线l2的表达式为即可；
（2）先求出直线l1与x轴的交点坐标B（5，0），得出OA=OB，根据等腰直角三角形的性质可得∠ABO=45°，分两种情况：当D在B右侧时，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可得∠BAD=22.5°=∠ADB，根据等角对等边可得BD=BA，结合直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求得AB的值，即可求解，当D'在B左侧时，作B关于y轴的对称点B'（-5，0），连接AB'，根据对称的性质可得，结合图象即可求解；
（3）设直线与x轴交于点Q，过点Q作于点T，推得，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方可得，结合点C的坐标和勾股定理可求得，设点，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求得，根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形，相似三角形的对应边之比相等可求得，即可列出方程，求解得出t的值，根据待定系数法求出直线AQ的解析式，联立方程求出两直线的交点坐标得出点P1的坐标，点N的坐标，结合对称的性质可求得点P2的坐标.
18．【答案】（1）解：把点C（2，m）代入直线y＝x+2中得：m＝2+2＝4，
∴点C（2，4），
∵直线y x+b过点C，
4 b，b＝5
（2）解：①由题意得：PD＝t，
y＝x+2中，当y＝0时，x+2＝0，解得，x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），
y x+5中，当y＝0时， x+5＝0，解得，x＝10，
∴D（10，0），
∴AD＝10+2＝12，
∵△ACP的面积为10，
∴ 4＝10，解得，t＝7，
则t的值7秒；
②设点P（10﹣t，0），点A、C的坐标为：（﹣2，0）、（2，4），
(i)当AC＝CP时，如图1，过C作 于E，
∴
∴
∴t＝4
（ii）当AC＝AP时，如图2，
即：
∴ ，
（iii）当AP＝CP时，如图3，
∵
∴∠
∴∠
∴∠
∴ ，
∴ ，即t＝8；
故：当t＝4秒或（12﹣4 ）秒或（12+4 ）秒或8秒时，△ACP为等腰三角形．
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数中的动态几何问题
【解析】【分析】（1）将点C的坐标代入直线求出m的值，再将点C的坐标代入直线即可求出b的值；
（2）①先求出点A的坐标，再求出点D的坐标，最后利用三角形的面积公式列出方程求解即可；②分三种情况，分别求解即可。
19．【答案】（1）D
（2）解：如图，作直线MT，并过点T作HT⊥AM于点T，
设直线AM为y=kx+b，
将点 M（4，0），T（0，3） 代入，
得
解得
∴直线MT为：，
∵HT⊥AM于点T
∴直线TH为：，
根据题意易得点N一定在直线HT上，设点N，
则可得，
解得a=±3，
∴当a=3时，，
当a=-3时，，
∴N（-3，-1）或N（3，7）.
（3）解：设2宝点为点A'
①当A'在x轴上方时，过A'作AF'⊥y 轴于F，如图所示：
∵A'是2的宝点，
∴
∴
∵
∴
∴ ，
设 ，则
∴
将 代入 得：
，解得 ，
∴ （2，4）
②当A'在x轴下方时，过A'作A'H⊥y 轴于H，如图所示：
同①可证明 （AAS），
∴ ，
设 ，则
∴A'（-n，n-2），
将 （-n，n-2）代入 得：
，解得
∴A'（0，-2）
综上所述， A点的坐标为（2，4）或（0，-2）；
（4）解：y=x+3；y=-x-3
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（1）如图，取点T（0，2），连接DT，AT，
∵D（ 2，0），A（2，0），T（0，2），
∴OT＝OD＝OA＝2，
∴△ADT是等腰直角三角形，
∴在点B（2， 2），C（0，1），D（ 2，0）中，2宝点是点D，
故答案为：D；
（4） 若一次函数y=kx+b（k≠0）图象上存在无数个3宝点，分类讨论：
①当k＞0时，如图，
∵N是3宝点，
∴∠MTN＝90°，MT＝NT，
∴∠NTF＝90° ∠MTO＝∠TMO，
∵∠NFT＝∠TOM＝90°，
∴△NFT≌△TOM（AAS），
∴TF＝MO＝3，NF＝OT，
设OT＝NF＝m，则OF＝OT＋TF＝m＋3，
∴N（m，m＋3），
∵一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象上存在无数个无数个3宝点，
∴该一次函数的解析式为y＝x＋3；
②当k＜0时，如图，
同①可证明△MOT≌THN（AAS），
∴NH＝OT，TH＝OM＝3，
设NH＝OT＝n，则OH＝TH OT＝n 3，
∴N（ n，n 3），
∴该一次函数的解析式为y＝ x 3，
综上，该一次函数的所有解析式为y＝x＋3或y＝ x 3．
【分析】 （1）取点T（0，2），连接DT，AT，可得△ADT是等腰直角三角形，即知2宝点是点D；
若一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象上存在无数个无数个3宝点，
（2）作直线MT，并过点T作HT⊥AM于点T，利用待定系数法求出直线MT的解析式，根据互相垂直的直线中自变量的系数乘积为-1易得直线HT的解析式为，根据题干提供的信息可知点N一定在直线HT上，且满足TN=TM，设点N，据此结合两点间的距离公式建立方程，求解可得a的值，从而即可求出点N的坐标；
（3）①当A'在x轴上方时，过A'作AF'⊥y 轴于F，证明△A'FE≌△EOA（AAS），得EF＝AO＝2，A'F＝OE，设OE＝A'F＝m，则OF＝OE＋EF＝m＋2，则N（m，m＋2），将N（m，m＋2）代入y＝3x 2可得N（2，4）；②当A'在x轴下方时，过A'作A'H⊥y 轴于H，同理可得N（0， 2）；
（4）分两种情况：①当k＞0时，②当k＜0时，利用（2）的方法即可求解．
20．【答案】（1）解：∵A、B两点是分段函数与直线的交点，且B的纵坐标为3.
∴A（-3，3），B（3，3）∴AB=3-（-3）=6.
（2）解：①∵AB=6，且
∴
∴C（6，3）将B（3，3）与C（6，3）代入得：
解得：；
②∵与相交于点D，
∴，
∴解得，
∴
设点E的坐标为
∵DB＝BE，且B（3，3）
∴
解得
∴
将B（3，3）与代入
可得，
解得，
∴分段函数为
将C 的纵坐标3代入可得
解得，
∴
∵，且AB=6
∴
∵
∴n=17，故答案为17.
【知识点】一次函数的图象；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【分析】（1）由题意可得A（-3，3），B（3，3），据此不难求出AB的长；
（2）①由已知条件可得BC=AB=3，则C（6，3），将B、C的坐标代入可求出k、a的值；
②联立y=x+与y=-x求出x、y的值，可得点D的坐标，设E（x1，y1），根据DB=BE结合中点坐标公式可得x1、y1的值，表示出点E的坐标，将B、E的坐标代入可求出k、a的值，然后将点C的纵坐标代入求出x的值，得到点C的坐标，然后求出BC，据此求解.
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