【提升版】北师大版数学八年级上册5.8三元一次方程组 同步练习
阅卷人 一、选择题
得分
1．（2020八上·郑州开学考）三元一次方程组 ，的解为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023八上·南川开学考）某社区活动中心要添置三样体育用品：大绳、小绳、毽子，王师傅准备用30元钱去买．根据要求，每样体育用品最少买1件，大绳最多买2条．大绳每条10元，小绳每条3元，毽子每个1元．在把钱用完的条件下，买法共有（ ）
A．6种 B．7种 C．8种 D．9种
3．（2018八上·启东开学考）桌面上有甲、乙、丙三个杯子，三杯内原本均装有一些水．先将甲杯的水全部倒入丙杯，此时丙杯的水量为原本甲杯内水量的2倍多40毫升；再将乙杯的水全部倒入丙杯，此时丙杯的水量为原本乙杯内水量的3倍少180毫升．若过程中水没有溢出，则原本甲、乙两杯内的水量相差多少毫升？（ ）
A．80 B．110 C．140 D．220
4．（2023八上·涪城开学考）小梦在某购物平台上购买甲、乙、丙三种商品，当购物车内选择3件甲，2件乙，1件丙时显示的价格为420元；当购物车内选择2件甲，3件乙，4件丙时显示的价格为580元，那么购买甲、乙、丙各两件应该付款 ( )
A．200元 B．400元
C．500元 D．600元
5．（2024八上·梓潼开学考）如图，前两个天平已保持平衡，现要求在第三个天平的右边只放△，要使之保持平衡，则应放△的数量为（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
6．（2024八上·重庆市月考）有A，B，C三种商品，单价都是正整数（元），若黄老师去买A商品3件，B商品7件，C商品1件，共付款24元：黄老师又去买A商品4件，B商品10件，C商品1件，共付款33元；那么黄老师买A，B，C三种商品各一件共需付款（ ）
A．10元 B．9元 C．8元 D．6元
7．（2019八上·和平月考）利用两块长方体木块测量两张桌子的高度.首先按图 方式放置，再交换两木块的位置，按图 方式放置.测量的数据如图，则桌子高度是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024八上·顺平期末）在学习了因式分解后，勤奋的琪琪同学通过课余的时间对因式分解的其他方法进行了探究，如：分解因式.设，利用多项式相等得，，故可分解.此时，我们就说多项式既能被整除，也能被整除.根据上述操作原理，下列说法正确的个数为（ ）
（1）能被整除；
（2）若能被整除，则或；
（3）若能被整除，则，.
A．0 B．1 C．2 D．3
阅卷人 二、填空题
得分
9．（2024八上·射洪开学考）已知是方程组的解，则a＋b＋c的值是 ．
10．（2019八上·简阳期末）已知实数a、b、c满足2a+13b+3c=90，3a+9b+c=72，则 = ．
11．（2023八上·九龙坡期末）近日，九龙坡区为积极应对复杂严峻的发展环境和疫情考验，在全区范围内开展“接二（2022）连三（2023）·向新而行”九龙坡区迎新消费促进季活动，某糖果销售商在该活动期间，向市场推出甲、乙、丙三种糖果进行销售，其中每包甲糖果的成本是每包丙糖果的2倍，每包乙糖果与每包丙糖果的成本之比为1：3，每包甲、乙、丙糖果的售价分别比成本高20%，20%，30%．该销售商12月份销售甲糖果与丙糖果的数量之比为1：4，为使三种糖果的总利润是总成本的25%，则该销售商12月份销售乙糖果与丙糖果的数量之比为 ．
12．（2023八上·江北期末）在2021年12月，重庆两江商务中心炫彩开业，某商家为了提升销售额推出了组合销售活动，将草莓芝士、樱桃奶油布丁、迷你榴莲慕斯搭配为A，B两种组合，其中一个A组合中有4个蓝莓芝士、7个撄桃奶油布丁、3个迷你榴莲慕斯；一个B组合中有6个蓝莓芝士、12个樱桃奶油布门、4个迷你榴莲慕斯．经核算，一个A组合的成本为120元，一个B组合的成本为180元（每种组合的成本为该组合中蓝莓芝士、樱桃奶油布丁、迷你榴莲慕斯的成本之和），已知蓝莓芝士、樱桃奶油布丁、迷你榴莲慕斯的成本单价均为整数且都超过5元，则迷你榴莲慕斯的成本为 元/个．
13．（2023八上·鄞州期末）若a、b、c、d为整数，且b是正整数，满足b+c＝d，c+d＝a，a+b=c，那么a+2b+3c+4d的最大值是 ．
阅卷人 三、解答题
得分
14．（2024八上·南宁月考）【阅读理解】
在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化繁为简．
（1）解方程组
解：把②代入①得，，
解得，
把代入②得
所以方程组的解为
（2）已知，求的值，
解：①+②，得，③
③，得．
【类比迁移】
（1）求方程组的解．
（2）若，求的值．
【实际应用】
（3）打折前，买39件商品，21件商品用了1080元．打折后，买52件商品，28件商品用了1152元，比不打折少花了多少钱？
15．（2024八上·朝阳开学考）阅读理解：
已知实数x，y满足，，求和的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①-②可得，由①+②×2可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用“整体思想”，解决下列问题：
（1）已知二元一次方程组，则 ， ；
（2）对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是实数运算．已知，，求的值．
16．（2023八上·永寿月考）数学课上，张老师给出了一个问题，已知实数，满足，求和的值．小红发现两个方程相同未知数系数之间的关系，通过适当变形，整体求得代数式的值，①，②，由可得，由可得．小红同学的思路体现了数学中“整体思想”的运用．请你参考她的做法，解决下面的问题：
（1）已知二元一次方程，求和的值；
（2）八（1）班开展安全教育知识竞赛需购买奖品，若买支铅笔、块橡皮、本笔记本共需元；若买支铅笔、块橡皮、本笔记本共需元，则购买支铅笔、块橡皮、本笔记本共需多少元？
17．（2022八上·历下期中）在求代数式的值时，可以用整体求值的方法，化难为易．
例：已知，求的值．
解：①得：③
②③得：
∴的值为2．
（1）已知，求的值；
（2）马上期中了，班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要元．通过还价，班委购买了本笔记本、支签字笔、支记号笔，只花了元，请问比原价购买节省了多少钱？
18．（2023八上·沙坪坝开学考）阅读以下材料：
斐波那契数列，…
卢卡斯数列，…
以上数列都有共同的特点：每一项都是整数，从第项开始，每一项都等于前两项之和，类似的数列还有无限多个，我们称之为斐波那契一卢卡斯数列、例如：，…是斐波那契一卢卡斯数列．
完成以下问题：
（1）若，…是斐波那契一卢卡斯数列，求的值．
（2）若，…是斐波那契一卢卡斯数列，其中与的和大于．且．求的值．
19．（2022八上·西安月考）解方程组
（1）
（2）
（3）
20．（2022八上·南宁开学考）【阅读理解】
在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化难为易．
（1）解方程组 解：（1）把②代入①得：解得：． 把代入②得：． 所以方程组的解为 （2）已知，求的值． 解：（2）得： 得；
（1）【类比迁移】若，则 ．
（2）运用整体代入的方法解方程组．
（3）【实际应用】“战疫情，我们在一起”，某公益组织计划为老年公寓捐赠一批防疫物资，已知打折前购买39瓶消毒液、12支测温枪、3套防护服共需2070元；打折后购买52瓶消毒液、16支测温枪、4套防护服共需2350元，比不打折时少花了多少钱？
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】 ，
得 ……④，
得 ，解得 .把 代入①，
得 ，解得 ，把 代入③，
得 ，解得 ，
所以原方程组的解为 .
故答案为：D.
【分析】根据接三元一次方程组的步骤“先将原方程组中的三元化为二元，解二元一次方程组，再求第三个未知数，然后写出结论”计算即可求解.
2．【答案】D
【知识点】三元一次方程组的应用
3．【答案】B
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】设甲、乙、丙三个杯子原来有水aml，bml.cml， .
故答案为：B.
【分析】设甲、乙、丙三个杯子原来有水aml，bml.cml，根据甲杯的水全部倒入丙杯，此时丙杯的水量为原本甲杯内水量的2倍多40毫升，列出方程a+c=2a+40，将乙杯的水全部倒入丙杯，此时丙杯的水量为原本乙杯内水量的3倍少180毫升．列出方程a+b+c=3b 180，组成方程组，再解即可得出a，b的关系。
4．【答案】B
【知识点】三元一次方程组的应用
【解析】【解答】解：设购买甲、乙、丙各两件应该付款x元、y元、z元，
由题意可得：，
①+②得：5x+5y+5z=1000，
∴x+y+z=200，
∴2x+2y+2z=400，
即购买甲、乙、丙各两件应该付款400元，
故答案为：B.
【分析】根据题意找出等量关系求出，再求出5x+5y+5z=1000，最后计算求解即可。
5．【答案】B
【知识点】三元一次方程组的应用
【解析】【解答】解：根据题意，设圆形为，三角形为，正方形为，
∴，
∴由①得，
把③代入②，，整理得，，
∴，
∴应方△的数量为6个，
故选：B ．
【分析】设圆形为，三角形为，正方形为，根据“两个三角形和三个圆形的和等于一个正方形和五个三角形的和，两个正方形等于一个圆和四个三角形的和”列出方程组，解方程组求出x=2y，即可求解.
6．【答案】D
【知识点】三元一次方程组的应用
7．【答案】B
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设桌子的高度为hcm，第一个长方体的长为xcm，第二个长方体的宽为ycm，
由第一个图形可知桌子的高度为：h-y+x=80，
由第二个图形可知桌子的高度为：h-x+y=70，
两个方程相加得：（h-y+x）+（h-x+y）=150，
解得：h=75.
故答案为：B.
【分析】设桌子的高度为hcm，第一个长方体的长为xcm，第二个长方体的宽为ycm，建立关于h，x，y的方程组求解.
8．【答案】D
【知识点】因式分解的应用；多项式除以单项式；三元一次方程组及其解法
9．【答案】3
【知识点】三元一次方程组及其解法
10．【答案】1
【知识点】代数式求值；三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】由
2a+13b+3c=90得2（a+2b）+3（3b+c）=90，
由3a+9b+c=72得3（a+2b）+（3b+c）=72，
由
解得
，
所以
=1。
故答案为：1。
【分析】根据所求分式的特点，把分子分母均看成整体，从而求出a+2b与3b+c，继而可求出代数式的值。
11．【答案】3：2
【知识点】三元一次方程组的应用
12．【答案】18
【知识点】一元一次不等式组的应用；三元一次方程组的应用
13．【答案】-11
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：∵b＋c＝d①，c＋d＝a②，a＋b＝c③
由②＋③，得（a＋b）＋（c＋d）＝a＋c，
∴b＋d＝0④，
由④＋①，得2b＋c＝0，
∴c＝ 2b⑤；
由③⑤，得a＝ 3b⑥，
将④⑤⑥代入a＋2b＋3c＋4d得a＋2b＋3c＋4d＝ 11b，
∵b是正整数，其最小值为1，
∴a＋2b＋3c＋4d的最大值是 11．
故答案为： 11．
【分析】由a＋b＝c，c＋d＝a，可得b＋d＝0，再由b＋c＝d可得2b＋c＝0，进而得出c＝ 2b，a＝ 3b，代入a＋2b＋3c＋4d＝ 11b，已知b是正整数，其最小值为1，于是a＋2b＋3c＋4d＝ 11b的最大值是 11．
14．【答案】（1） （2） （3）比不打折少花了元
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；三元一次方程组及其解法
15．【答案】（1）-1；3
（2）解：∵，，，
则
由④-③可得：
即
∴．
【知识点】解二元一次方程组；三元一次方程组及其解法
【解析】【解答】（1）解：
由①②得：，
由①②得：，
∴，
∴．
故答案为：，3．
【分析】（1）根据加减消元法即可求出答案.
（2）根据题意列出方程组，根据加减消元法化简可得，即可求出答案.
（1）解：
由①②得：，
由①②得：，
∴，
∴．
故答案为：，3．
（2）∵，，，
则
由④-③可得：
即
∴．
16．【答案】（1），；
（2）购买支铅笔、块橡皮、本笔记本共需元．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；三元一次方程组的应用
17．【答案】（1）解：，
①②得：，
则
（2）解：设笔记本、签字笔、记号笔的价格分别为x元，y元，z元，
根据题意得：，
∴，
（元），
则比原价购买节省了元．
【知识点】三元一次方程组解法及应用；定义新运算
【解析】【分析】（1）参考题干中的计算方法利用加减法可得；
（2）设笔记本、签字笔、记号笔的价格分别为x元，y元，z元，根据题意列出方程，再求解即可。
18．【答案】（1）；
（2）．
【知识点】解二元一次方程组；解一元一次不等式组；探索数与式的规律；三元一次方程组及其解法
19．【答案】（1）解： ，
得： ，解得： ，
把 代入① ，解得： ，
∴原方程组解为：
（2）解：
原方程组可变为 ，
得： ，解得： ，
把 代入①得： ，解得： ，
∴原方程组的解为：
（3）解： ，
得： ，
得： ，
把 代入 得： ，解得： ，
把 ， 代入①得： ，解得： ，
∴原方程组的解为：
【知识点】三元一次方程组解法及应用；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）利用加减消元法，用①×2+②消去y求出x的值，将x的值代入①求出y的值，从而即可求出方程组的解；
（2）首先将方程组整理成一般形式，然后u利用加减消元法，用①×3+②×2消去y求出x的值，将x的值代入①求出y的值，从而即可求出方程组的解；
（3）用③-①求出y的值，再用①×2+②消去z得出关于x、y的方程，进而将y的值代入即可算出x的值，最后将x、y的值代入①方程求出z的值，从而即可求出方程组的解.
20．【答案】（1）23
（2）解：由①可得：，
把③代入②得：，
解得：，
方程组的解为；
（3）解：设打折前消毒液、测温枪和防护服的单价为元，元，元，
打折后消毒液、测温枪和防护服的单价为元，元，元，
则、、分别为每瓶消毒液、每支额温枪、每套防护服少花的钱，
由题意可得，
，
，得：
，
得：
，
左右两边乘得，
，
比不打折时少花了410元．
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：（1），
得：．
故答案为：23；
【分析】（1）将两个方程相加，然后除以2可得2x+3y+4z的值；
（2）由①可得2x-y=5，代入②中可得y的值，将y的值代入2x-y=5中可得x的值，据此可得方程组的解；
（3）设打折前消毒液、测温枪和防护服的单价为x元，y元，z元，打折后消毒液、测温枪和防护服的单价为a元，b元，c元，根据题意可得关于xyz、abc的方程组，化简可得52(x-a)+16(y-b)+4(z-c)的值，据此解答.
1 / 1【提升版】北师大版数学八年级上册5.8三元一次方程组 同步练习
阅卷人 一、选择题
得分
1．（2020八上·郑州开学考）三元一次方程组 ，的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】 ，
得 ……④，
得 ，解得 .把 代入①，
得 ，解得 ，把 代入③，
得 ，解得 ，
所以原方程组的解为 .
故答案为：D.
【分析】根据接三元一次方程组的步骤“先将原方程组中的三元化为二元，解二元一次方程组，再求第三个未知数，然后写出结论”计算即可求解.
2．（2023八上·南川开学考）某社区活动中心要添置三样体育用品：大绳、小绳、毽子，王师傅准备用30元钱去买．根据要求，每样体育用品最少买1件，大绳最多买2条．大绳每条10元，小绳每条3元，毽子每个1元．在把钱用完的条件下，买法共有（ ）
A．6种 B．7种 C．8种 D．9种
【答案】D
【知识点】三元一次方程组的应用
3．（2018八上·启东开学考）桌面上有甲、乙、丙三个杯子，三杯内原本均装有一些水．先将甲杯的水全部倒入丙杯，此时丙杯的水量为原本甲杯内水量的2倍多40毫升；再将乙杯的水全部倒入丙杯，此时丙杯的水量为原本乙杯内水量的3倍少180毫升．若过程中水没有溢出，则原本甲、乙两杯内的水量相差多少毫升？（ ）
A．80 B．110 C．140 D．220
【答案】B
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】设甲、乙、丙三个杯子原来有水aml，bml.cml， .
故答案为：B.
【分析】设甲、乙、丙三个杯子原来有水aml，bml.cml，根据甲杯的水全部倒入丙杯，此时丙杯的水量为原本甲杯内水量的2倍多40毫升，列出方程a+c=2a+40，将乙杯的水全部倒入丙杯，此时丙杯的水量为原本乙杯内水量的3倍少180毫升．列出方程a+b+c=3b 180，组成方程组，再解即可得出a，b的关系。
4．（2023八上·涪城开学考）小梦在某购物平台上购买甲、乙、丙三种商品，当购物车内选择3件甲，2件乙，1件丙时显示的价格为420元；当购物车内选择2件甲，3件乙，4件丙时显示的价格为580元，那么购买甲、乙、丙各两件应该付款 ( )
A．200元 B．400元
C．500元 D．600元
【答案】B
【知识点】三元一次方程组的应用
【解析】【解答】解：设购买甲、乙、丙各两件应该付款x元、y元、z元，
由题意可得：，
①+②得：5x+5y+5z=1000，
∴x+y+z=200，
∴2x+2y+2z=400，
即购买甲、乙、丙各两件应该付款400元，
故答案为：B.
【分析】根据题意找出等量关系求出，再求出5x+5y+5z=1000，最后计算求解即可。
5．（2024八上·梓潼开学考）如图，前两个天平已保持平衡，现要求在第三个天平的右边只放△，要使之保持平衡，则应放△的数量为（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【答案】B
【知识点】三元一次方程组的应用
【解析】【解答】解：根据题意，设圆形为，三角形为，正方形为，
∴，
∴由①得，
把③代入②，，整理得，，
∴，
∴应方△的数量为6个，
故选：B ．
【分析】设圆形为，三角形为，正方形为，根据“两个三角形和三个圆形的和等于一个正方形和五个三角形的和，两个正方形等于一个圆和四个三角形的和”列出方程组，解方程组求出x=2y，即可求解.
6．（2024八上·重庆市月考）有A，B，C三种商品，单价都是正整数（元），若黄老师去买A商品3件，B商品7件，C商品1件，共付款24元：黄老师又去买A商品4件，B商品10件，C商品1件，共付款33元；那么黄老师买A，B，C三种商品各一件共需付款（ ）
A．10元 B．9元 C．8元 D．6元
【答案】D
【知识点】三元一次方程组的应用
7．（2019八上·和平月考）利用两块长方体木块测量两张桌子的高度.首先按图 方式放置，再交换两木块的位置，按图 方式放置.测量的数据如图，则桌子高度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设桌子的高度为hcm，第一个长方体的长为xcm，第二个长方体的宽为ycm，
由第一个图形可知桌子的高度为：h-y+x=80，
由第二个图形可知桌子的高度为：h-x+y=70，
两个方程相加得：（h-y+x）+（h-x+y）=150，
解得：h=75.
故答案为：B.
【分析】设桌子的高度为hcm，第一个长方体的长为xcm，第二个长方体的宽为ycm，建立关于h，x，y的方程组求解.
8．（2024八上·顺平期末）在学习了因式分解后，勤奋的琪琪同学通过课余的时间对因式分解的其他方法进行了探究，如：分解因式.设，利用多项式相等得，，故可分解.此时，我们就说多项式既能被整除，也能被整除.根据上述操作原理，下列说法正确的个数为（ ）
（1）能被整除；
（2）若能被整除，则或；
（3）若能被整除，则，.
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【知识点】因式分解的应用；多项式除以单项式；三元一次方程组及其解法
阅卷人 二、填空题
得分
9．（2024八上·射洪开学考）已知是方程组的解，则a＋b＋c的值是 ．
【答案】3
【知识点】三元一次方程组及其解法
10．（2019八上·简阳期末）已知实数a、b、c满足2a+13b+3c=90，3a+9b+c=72，则 = ．
【答案】1
【知识点】代数式求值；三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】由
2a+13b+3c=90得2（a+2b）+3（3b+c）=90，
由3a+9b+c=72得3（a+2b）+（3b+c）=72，
由
解得
，
所以
=1。
故答案为：1。
【分析】根据所求分式的特点，把分子分母均看成整体，从而求出a+2b与3b+c，继而可求出代数式的值。
11．（2023八上·九龙坡期末）近日，九龙坡区为积极应对复杂严峻的发展环境和疫情考验，在全区范围内开展“接二（2022）连三（2023）·向新而行”九龙坡区迎新消费促进季活动，某糖果销售商在该活动期间，向市场推出甲、乙、丙三种糖果进行销售，其中每包甲糖果的成本是每包丙糖果的2倍，每包乙糖果与每包丙糖果的成本之比为1：3，每包甲、乙、丙糖果的售价分别比成本高20%，20%，30%．该销售商12月份销售甲糖果与丙糖果的数量之比为1：4，为使三种糖果的总利润是总成本的25%，则该销售商12月份销售乙糖果与丙糖果的数量之比为 ．
【答案】3：2
【知识点】三元一次方程组的应用
12．（2023八上·江北期末）在2021年12月，重庆两江商务中心炫彩开业，某商家为了提升销售额推出了组合销售活动，将草莓芝士、樱桃奶油布丁、迷你榴莲慕斯搭配为A，B两种组合，其中一个A组合中有4个蓝莓芝士、7个撄桃奶油布丁、3个迷你榴莲慕斯；一个B组合中有6个蓝莓芝士、12个樱桃奶油布门、4个迷你榴莲慕斯．经核算，一个A组合的成本为120元，一个B组合的成本为180元（每种组合的成本为该组合中蓝莓芝士、樱桃奶油布丁、迷你榴莲慕斯的成本之和），已知蓝莓芝士、樱桃奶油布丁、迷你榴莲慕斯的成本单价均为整数且都超过5元，则迷你榴莲慕斯的成本为 元/个．
【答案】18
【知识点】一元一次不等式组的应用；三元一次方程组的应用
13．（2023八上·鄞州期末）若a、b、c、d为整数，且b是正整数，满足b+c＝d，c+d＝a，a+b=c，那么a+2b+3c+4d的最大值是 ．
【答案】-11
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：∵b＋c＝d①，c＋d＝a②，a＋b＝c③
由②＋③，得（a＋b）＋（c＋d）＝a＋c，
∴b＋d＝0④，
由④＋①，得2b＋c＝0，
∴c＝ 2b⑤；
由③⑤，得a＝ 3b⑥，
将④⑤⑥代入a＋2b＋3c＋4d得a＋2b＋3c＋4d＝ 11b，
∵b是正整数，其最小值为1，
∴a＋2b＋3c＋4d的最大值是 11．
故答案为： 11．
【分析】由a＋b＝c，c＋d＝a，可得b＋d＝0，再由b＋c＝d可得2b＋c＝0，进而得出c＝ 2b，a＝ 3b，代入a＋2b＋3c＋4d＝ 11b，已知b是正整数，其最小值为1，于是a＋2b＋3c＋4d＝ 11b的最大值是 11．
阅卷人 三、解答题
得分
14．（2024八上·南宁月考）【阅读理解】
在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化繁为简．
（1）解方程组
解：把②代入①得，，
解得，
把代入②得
所以方程组的解为
（2）已知，求的值，
解：①+②，得，③
③，得．
【类比迁移】
（1）求方程组的解．
（2）若，求的值．
【实际应用】
（3）打折前，买39件商品，21件商品用了1080元．打折后，买52件商品，28件商品用了1152元，比不打折少花了多少钱？
【答案】（1） （2） （3）比不打折少花了元
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；三元一次方程组及其解法
15．（2024八上·朝阳开学考）阅读理解：
已知实数x，y满足，，求和的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①-②可得，由①+②×2可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用“整体思想”，解决下列问题：
（1）已知二元一次方程组，则 ， ；
（2）对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是实数运算．已知，，求的值．
【答案】（1）-1；3
（2）解：∵，，，
则
由④-③可得：
即
∴．
【知识点】解二元一次方程组；三元一次方程组及其解法
【解析】【解答】（1）解：
由①②得：，
由①②得：，
∴，
∴．
故答案为：，3．
【分析】（1）根据加减消元法即可求出答案.
（2）根据题意列出方程组，根据加减消元法化简可得，即可求出答案.
（1）解：
由①②得：，
由①②得：，
∴，
∴．
故答案为：，3．
（2）∵，，，
则
由④-③可得：
即
∴．
16．（2023八上·永寿月考）数学课上，张老师给出了一个问题，已知实数，满足，求和的值．小红发现两个方程相同未知数系数之间的关系，通过适当变形，整体求得代数式的值，①，②，由可得，由可得．小红同学的思路体现了数学中“整体思想”的运用．请你参考她的做法，解决下面的问题：
（1）已知二元一次方程，求和的值；
（2）八（1）班开展安全教育知识竞赛需购买奖品，若买支铅笔、块橡皮、本笔记本共需元；若买支铅笔、块橡皮、本笔记本共需元，则购买支铅笔、块橡皮、本笔记本共需多少元？
【答案】（1），；
（2）购买支铅笔、块橡皮、本笔记本共需元．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；三元一次方程组的应用
17．（2022八上·历下期中）在求代数式的值时，可以用整体求值的方法，化难为易．
例：已知，求的值．
解：①得：③
②③得：
∴的值为2．
（1）已知，求的值；
（2）马上期中了，班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要元．通过还价，班委购买了本笔记本、支签字笔、支记号笔，只花了元，请问比原价购买节省了多少钱？
【答案】（1）解：，
①②得：，
则
（2）解：设笔记本、签字笔、记号笔的价格分别为x元，y元，z元，
根据题意得：，
∴，
（元），
则比原价购买节省了元．
【知识点】三元一次方程组解法及应用；定义新运算
【解析】【分析】（1）参考题干中的计算方法利用加减法可得；
（2）设笔记本、签字笔、记号笔的价格分别为x元，y元，z元，根据题意列出方程，再求解即可。
18．（2023八上·沙坪坝开学考）阅读以下材料：
斐波那契数列，…
卢卡斯数列，…
以上数列都有共同的特点：每一项都是整数，从第项开始，每一项都等于前两项之和，类似的数列还有无限多个，我们称之为斐波那契一卢卡斯数列、例如：，…是斐波那契一卢卡斯数列．
完成以下问题：
（1）若，…是斐波那契一卢卡斯数列，求的值．
（2）若，…是斐波那契一卢卡斯数列，其中与的和大于．且．求的值．
【答案】（1）；
（2）．
【知识点】解二元一次方程组；解一元一次不等式组；探索数与式的规律；三元一次方程组及其解法
19．（2022八上·西安月考）解方程组
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）解： ，
得： ，解得： ，
把 代入① ，解得： ，
∴原方程组解为：
（2）解：
原方程组可变为 ，
得： ，解得： ，
把 代入①得： ，解得： ，
∴原方程组的解为：
（3）解： ，
得： ，
得： ，
把 代入 得： ，解得： ，
把 ， 代入①得： ，解得： ，
∴原方程组的解为：
【知识点】三元一次方程组解法及应用；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）利用加减消元法，用①×2+②消去y求出x的值，将x的值代入①求出y的值，从而即可求出方程组的解；
（2）首先将方程组整理成一般形式，然后u利用加减消元法，用①×3+②×2消去y求出x的值，将x的值代入①求出y的值，从而即可求出方程组的解；
（3）用③-①求出y的值，再用①×2+②消去z得出关于x、y的方程，进而将y的值代入即可算出x的值，最后将x、y的值代入①方程求出z的值，从而即可求出方程组的解.
20．（2022八上·南宁开学考）【阅读理解】
在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化难为易．
（1）解方程组 解：（1）把②代入①得：解得：． 把代入②得：． 所以方程组的解为 （2）已知，求的值． 解：（2）得： 得；
（1）【类比迁移】若，则 ．
（2）运用整体代入的方法解方程组．
（3）【实际应用】“战疫情，我们在一起”，某公益组织计划为老年公寓捐赠一批防疫物资，已知打折前购买39瓶消毒液、12支测温枪、3套防护服共需2070元；打折后购买52瓶消毒液、16支测温枪、4套防护服共需2350元，比不打折时少花了多少钱？
【答案】（1）23
（2）解：由①可得：，
把③代入②得：，
解得：，
方程组的解为；
（3）解：设打折前消毒液、测温枪和防护服的单价为元，元，元，
打折后消毒液、测温枪和防护服的单价为元，元，元，
则、、分别为每瓶消毒液、每支额温枪、每套防护服少花的钱，
由题意可得，
，
，得：
，
得：
，
左右两边乘得，
，
比不打折时少花了410元．
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：（1），
得：．
故答案为：23；
【分析】（1）将两个方程相加，然后除以2可得2x+3y+4z的值；
（2）由①可得2x-y=5，代入②中可得y的值，将y的值代入2x-y=5中可得x的值，据此可得方程组的解；
（3）设打折前消毒液、测温枪和防护服的单价为x元，y元，z元，打折后消毒液、测温枪和防护服的单价为a元，b元，c元，根据题意可得关于xyz、abc的方程组，化简可得52(x-a)+16(y-b)+4(z-c)的值，据此解答.
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