【提升版】北师大版数学八年级上册第五章 二元一次方程组 章节测试卷
阅卷人 一、选择题（每题3分，共24分）
得分
1．（2021八上·福田期末）已知方程组 的解满足 ，则 的值为（ ）
A．7 B． C．1 D．
2．（2021八上·汕头开学考）若满足方程组 的 与 互为相反数，则 的值为（ ）
A．11 B．-1 C．1 D．-11
3．（2024八上·深圳期末）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余l尺，问木长多少尺？若设木长尺，绳子长尺，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024八上·信宜期末）九章算术是人类科学史上应用数学的“算经之首”，其书中卷八方程七中记载“今有牛五、羊二，直金十两牛二、羊五，直金八两牛、羊各直金几何？”题目大意是：“头牛、只羊共值金两头牛、只羊共值金两，每头牛、每只羊各值金多少两？”设每头牛值金两，每只羊值金两，那么下面列出的方程组中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（初中数学北师大版八年级上册第五章 二元一次方程组练习题 (3)）已知方程组 和 有相同的解，则a，b的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024八上·深圳期中）若方程组的解中，则等于（ ）
A．2024 B．2025 C．2026 D．2027
7．（2024七下·凉州期末）若二元一次联立方程式的解为，则之值为何？（ ）
A． B． C． D．14
8．（2023七下·长春期末）我国明代数学家程大位所著《算法统宗》中记载了一道有趣的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”题目大意是：100个和尚分100个馒头，刚好分完．大和尚1人分3个馒头，小和尚3人分一个馒头．问大、小和尚各有多少人？若大和尚有x人，小和尚有y人．则下列方程或方程组中，正确的有（ ）
①；②；③3x+（100-x）＝100；④y+3（100-y）＝100．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
阅卷人 二、填空题（每题3分，共15分）
得分
9．（2024八上·深圳期末）如图，函数和的图象相交于点P，则关于x，y的二元一次方程组的解是 ．
10．（2024八上·光明期末）若一次函数与的图象相交于点，则方程组的解是 ．
11．（2024·七下婺城期中）若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于a、b的二元一次方程组 的解是 ．
12．（2021八上·普宁期末）数形结合是解决数学问题常用的思想方法，如图，直线和直线相交于点P，根据图象可知，方程组的解是 ．
13．（2023七下·江津期中）一个两位数m的十位上的数字是a，个位上的数字是b，记为这个两位数m的“衍生数”．如．现有2个两位数x和y，且满足，则 ．
阅卷人 三、解答题（共7题，共61分）
得分
14．（2024七下·衡阳期末）解方程组
（1）
（2）
15．（2023八上·光明月考）某商场第1次用39万元购进A，B两种商品，销售完后获得利润6万元，它们的进价和售价如表（总利润＝单件利润×销售量）：
价格 商品 进价（元/件） 售价（元/件）
A 1200 1350
B 1000 1200
（1）该商场第1次购进A，B两种商品各多少件？
（2）商场第2次以原进价购进A，B两种商品，购进A商品的件数不变，而购进B商品的件数是第1次的2倍，A商品按原售价销售，而B商品打折销售，若两种商品销售完毕，要使得第2次经营活动获得利润等于5.4万元，则B种商品是按几折销售的？
16．（2023八上·广州期中）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，2），点B（-4，0），直线AB交y轴于点C．
（1）求直线AB的表达式和点C的坐标；
（2）在直线OA上有一点P，使得△BCP的面积为4，求点P的坐标．
17．某校为了做好大课间活动，计划用400元购买10件体育用品，备选体育用品及单价如下表（单位：元）
备用体育用品 篮球 排球 羽毛球拍
单位（元） 50 40 25
（1）若400元全部用来购买篮球和羽毛球拍共10件，问篮球和羽毛球拍各购买多少件？
（2）若400元全部用来购买篮球、排球和羽毛球拍三种共10件，能实现吗？若能，求出篮球、排球、羽毛球拍各购买多少件；若不能，请说明理由．
18．（2024八上·惠城开学考）阅读材料并回答下列问题：
当 都是实数， 且满足 ， 就称点 为"友好点". 例如： 点 ，令 ， 得 ， 所以 不是"友好点"， 点 ， 令 .
得 ， 所以 是"友好点".
（1） 请判断点 是否为"友好点"， 并说明理由.
（2）以关于 的方程组 的解为坐标的点 是 "友好点"， 求t 的值.
19．（2024七下·南昌期末）由于连日大雨，某城市局部面临内涝，当地相关部门迅速组织防涝抗涝工作，抽调一批抽水泵紧急抽水排险．经在抽水现场测得A型和B型两款抽水泵抽水量情况如下：4台A型抽水泵和5台B型抽水泵同时工作，可抽水的水；2台A型抽水泵和10台B型抽水泵同时工作，可抽水的水．
（1）求A、B两款抽水泵每分钟分别能抽水多少立方米？
（2）该地防洪相关部门，为了以后抗涝需要，计划进购一批A型和B型两款抽水泵，要求这批抽水泵全部同时工作1分钟，能抽水150立方米的水．设购买A型抽水泵m台，B型抽水泵台，请用含n的代数式表示m．
（3）A型抽水泵每台标价2万元，若一次性购买不少于30台，可打九折，若少于30台则按标价销售；B型抽水泵每台标价3万元，若一次性购买不少于30台，可打八折，若少于30台则也按标价销售；在（2）的条件下，问如何购买使得总费用最小？请通过分析计算给予说明．
20．（2024八上·龙岗期中）如图（a）所示，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于，两点，直线经过点，并与轴交于点．
（1）求，两点的坐标及的值；
（2）如图（b）所示，动点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴正方向运动．过点作轴的垂线，分别交直线，于点，．设点运动的时间为．点的坐标为 ，点的坐标为 ；（均用含的式子表示）
（3）在（2）的条件下，当点在线段上时，探究是否存在某一时刻，使？若存在，求出此时的面积；若不存在，请说明理由．
（4）在（2）的条件下，点是线段上一点，当点在射线上时，探究是否存在某一时刻，使？若存在，求出此时的值，并直接写出此时为等腰三角形时点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二元一次方程的解；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
①+②得：3x+3y＝4+k，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
故答案为：D
【分析】先将k当作常数求出x、y的值，再将x、y的值代入可得，再求出k的值即可。
2．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意得：y= -x，
代入方程组得： ，
消去x得： ，即3m+9=4m-2，
解得：m=11．
故答案为：A．
【分析】由x与y互为相反数，得出y=x，代入方程组计算即可求出m的值。
3．【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】依题意可列方程组：
故选C
【分析】由题意，“绳长=木条+4.5”； 对折即为，则有“绳子=木条-1”列出方程组即可.
4．【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设1头牛值金两，1只羊值金两，
由题意可得，，
故答案为：A
【分析】根据“5头牛、2只羊共值金10两.2头牛、5只羊共值金8两”，得到2个等量关系，即可列出方程组．
5．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：解方程组 ，得 ，
代入方程组 ，得到 ，
解得 ，
故选A．
【分析】可以首先解方程组 ，求得方程组的解，再代入方程组 ，即可求得a，b的值．
6．【答案】B
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：，
①×6+②得：20x=25k－30
解得：x=1.25k－1.5.
把x=1.25k－1.5代入①得：3.75k－4.5－y=4k－5.
解得：y=0.5－0.25k.
∴x+y=k－1.
∵，
∴，
解得：，
故答案为：B．
【分析】利用加减消元法解二元一次方程组求出x和y，可得，代入求解即可．
7．【答案】C
【知识点】求代数式的值-直接代入求值；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：∵二元一次联立方程式的解为，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：C．
【分析】将x、y的值代入原方程组得到关于a、b的二元一次方程组，然后解方程组即可求出a、b的值，最后代入a、b的值即可得到答案.
8．【答案】D
【知识点】列一元一次方程；列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 大和尚有x人，小和尚有y人，
由题意可得： ，
由①可得：y=100-x③或x=100-y④，
将③代入②得：，
将④代入②得： y+3（100-y）＝100，
综上所述：正确的有②③④，共3个，
故答案为：D.
【分析】根据题意找出等量关系列方程求解即可。
9．【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：由图象可知
正比例函数 ， 当y=1时，x = -3，
则点P的坐标为(-3，1)，
把变形可得到二元一次方程组
所以关于x，y的二元一次方程组
中的解为
故答案为：
【分析】先利用正比例函数解析式确定P点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解.
10．【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数y=k1x+b1的图象与y=k2x+b2的图象相交于点P(2，3)，
∴方程组的解是.
故答案为：.
【分析】根据二元一次方程组的解即为两直线的交点坐标解答.
11．【答案】
【知识点】二元一次方程（组）的同解问题
【解析】【解答】解：∵的解是，
∴ 的解是
∴ .
故答案为： .
【分析】根据二元一次方程组 与 同解可得再解二元一次方程组即可求得.
12．【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：直线和直线相交于点
方程组的解是．
故答案为．
【分析】根据两个一次函数的交点与二元一次方程组的解得关系可得答案。
13．【答案】10或19
【知识点】定义新运算；二元一次方程组的应用-数字问题
【解析】【解答】第一种情况：当2个两位数x和y个位数字为0，且满足x+y=100时，x和y的十位数字的和为10，个位数字的和为0，
∴；
第二种情况：当2个两位数x和y个位数字均不为0，且满足x+y=100时，x和y的十位数字的和为9，个位数字的和为10，
∴，
综上，的值为10或19，
故答案为：10或19.
【分析】根据题干中的定义，再分类讨论求解即可。
14．【答案】（1）解：，
得：，
解得：，
把代入得：，
则方程组的解为；
（2）解：，
得：，
得：，
得：，
解得：，
把代入得：，
把，代入得：，
则方程组的解为．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；三元一次方程组及其解法
【解析】【分析】（1）按照解二元一次方程组的一般步骤使用加减消元解之即可；
（2）利用加减消元先将三元方程组转化为二元，后按照加减消元法步骤解二元一次方程组即可.
15．【答案】（1）解：设该商场第1次购进A商品x件，购进B商品y件，
依题意，得：，
解得：．
答：该商场第1次购进A商品200件，B商品150件
（2）解：设B种商品是打m折销售，
依题意，得：200×（1350﹣1200）+150×2×（1200×﹣1000）＝54000，
解得：m＝9．
答：B种商品是打9折销售的
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设第1次购进A商品x件，B商品y件，根据该商场第1次用39万元购进A、B两种商品且销售完后获得利润6万元，及总利润＝A商品利润+B商品的利润可列出二元一次方程组，解方程组可求出答案；
（2）设B商品打m折出售，根据总利润＝单件利润×销售数量，结合题意可列出关于m的一元一次方程，解方程可求出答案.
16．【答案】（1）解：设直线AB的解析式为y＝kx+b，
把A（2，2），B（-4，0）分别代入得，解得，
∴直线AB的解析式为y＝x+；
当x＝0时，y＝x+＝
∴C点坐标为（0，）；
（2）解：易得直线OA的解析式为y＝x，
作PQ∥y轴交直线AB于Q，如图，
设P（t，t），则Q（t，t+），
∵△BCP的面积为4，
∴×PQ×4＝4，即|t+-t|＝2，
∴t＝-1或t＝5，
∴P点坐标为（-1，-1）或（5，5）．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【分析】（1）先利用待定系数法求出直线AB的解析式；然后再求出直线AB与y轴的交点坐标，即点C的坐标；
（2）先由待定系数法求出直线OA的解析式为y=x，然后作PQ∥y轴交直线AB于Q，如图，设P（t，t），则Q（t，t+），利用三角形面积公式S△BCP=×PQ×4＝4，即可得到关于t的方程|t+-t|＝2，然后求出t，得即可求出点P的坐标．
17．【答案】解：（1）设买篮球x个，则买羽毛球拍（10﹣x）件，由题意，得
50x+25（10﹣x）=400
解得：x=6，
则10﹣x=4．
答：买篮球6个，买羽毛球拍4件．
（2）设买篮球x个，买排球y个，则买羽毛球拍（10﹣x﹣y）件，由题意，得
50x+40y+25（10﹣x﹣y）=400，
x=，
∵x、y都是整数，
∴当y=0时，x=6，羽毛球拍为4件；
当y=1时，不符合题意，舍去，
当y=2时，不符合题意，舍去，
当y=3时，不符合题意，舍去，
当y=4时，不符合题意，舍去，
当y=5时，x=3，羽毛球拍为2件，
当y=6时，不符合题意，舍去，
当y=7时，不符合题意，舍去
当y=8时，不符合题意，舍去
当y=9时，不符合题意，舍去
当y=10时，x=0，羽毛球拍为0件．
∴篮球、排球和羽毛球拍各3，5，2个
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【分析】（1）设买篮球x个，则买羽毛球拍（10﹣x）件，根据买篮球的费用+买羽毛球拍的费用=400建立方程求出其解即可；
（2）设买篮球x个，卖排球y个，则买羽毛球拍（10﹣x﹣y）件，由题意建立方程求出其解即可；
18．【答案】（1）解：点，令，
得，
，
不是“友好点”，
点，令，
得，
，
是“友好点”；
（2）解：方程组的解为，
点，是“友好点”，
，
，
，
，
解得
的值为10
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【分析】（1）根据题意代入点A和点B，进而即可求出m和n，从而根据“友好点”的定义即可求解；
（2）先根据题意解二元一次方程组得到方程组的解为，进而根据“友好点”的定义表示出，再根据解一元一次方程即可求解.
19．【答案】（1）解：设1台A型抽水泵每分钟抽水，1台B型抽水泵每分钟抽水，
由题意可知：，
解得：，
答：1台A型抽水泵每分钟抽水，1台B型抽水泵每分钟抽水.
（2）解：由（1）可知，1台A型抽水泵每分钟抽水，1台B型抽水泵每分钟抽水
结合题目可列等式：，
.
（3）解：由题意得，当n=50时，此时，则A型抽水泵至少要买40台，因此A型抽水泵价格始终是标价的九折.
设购买总费用为W，则
当时，W=，
∵k=0.84＞0
∴当时，W最小，W最小=（万元），
当时，W=，
∵k=0.24＞0
∴当时，W最小，W最小=（万元），
答：当选购B型抽水泵30台，A型抽水泵64台时，购买总费用最少，最少费用为万元．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设1台A型抽水泵和1台B型抽水泵每分钟各抽水和，根据题意列方程组求解即可得到答案；
（2）结合（1）中答案，根据题意可知，变形后即可求出用含n的代数式表示m ；
（3）分析n的取值范围可知，A型抽水泵价格始终是标价的九折，则分情况讨论：设总费用为W，当时，列出W和n的关系式：W=；当时，列出W和n的关系式：，上述两式都满足一次函数且k都大于零，则分别求出最小值进行比较即可得到满足要求的购买方案．
20．【答案】（1）解：将代入，得.
解得.
所以点的坐标为.
将代入中，解得.
所以点的坐标为.
将代入中，得.
解得.
所以点的坐标为，点的坐标为，.
（2）；
（3）解：存在，理由如下：
由（2）得，，
因为点在线段上，
所以.
因为，
所以.
因为，
所以.
解得.
所以.
所以.
（4）解：存在.理由如下：
由（2）得的坐标为，的坐标为.
因为，.
①当点在线段上时，，
所以.
解得.
故点，的坐标分别为和.
设点的坐标为，
则，，.
当时，即.解得.
因为点是线段上一点，点的坐标为，
所以.
所以舍去.
当时，同理，得（舍去）.
所以点的坐标为或.
②当点在线段的延长线上时，，
所以.
解得.
同理，得点的坐标为或.
综上所述，当时，点的坐标为或；当时，点的坐标为或.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数中的动态几何问题
【解析】【解答】解：（2）由（1）知，直线的函数表达式为.
因为点，
所以当时，，即.
同理，得.
故答案为：，.
【分析】（1）根据x轴上点的坐标特征令y=0，代入直线可得点的坐标为，根据y轴上点的坐标特征令x=0，代入直线可得点的坐标为，再根据待定系数法将点A坐标代入直线即可求出答案.
（2）由题意可得点，间x=t代入直线，则，同理，得，即可求出答案.
（3）根据两点间距离可得，，根据题意建立方程，解方程可得，则，再根据三角形面积即可求出答案.
（4）由（2）可得，，分情况讨论：①当点在线段上时，根据题意建立方程，解方程可得点，的坐标分别为和，设点的坐标为，根据题意建立方程，解方程即可求出答案；②当点在线段的延长线上时，，根据题意建立方程可得，同理，得点的坐标为或，即可求出答案.
1 / 1【提升版】北师大版数学八年级上册第五章 二元一次方程组 章节测试卷
阅卷人 一、选择题（每题3分，共24分）
得分
1．（2021八上·福田期末）已知方程组 的解满足 ，则 的值为（ ）
A．7 B． C．1 D．
【答案】D
【知识点】二元一次方程的解；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
①+②得：3x+3y＝4+k，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
故答案为：D
【分析】先将k当作常数求出x、y的值，再将x、y的值代入可得，再求出k的值即可。
2．（2021八上·汕头开学考）若满足方程组 的 与 互为相反数，则 的值为（ ）
A．11 B．-1 C．1 D．-11
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意得：y= -x，
代入方程组得： ，
消去x得： ，即3m+9=4m-2，
解得：m=11．
故答案为：A．
【分析】由x与y互为相反数，得出y=x，代入方程组计算即可求出m的值。
3．（2024八上·深圳期末）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余l尺，问木长多少尺？若设木长尺，绳子长尺，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】依题意可列方程组：
故选C
【分析】由题意，“绳长=木条+4.5”； 对折即为，则有“绳子=木条-1”列出方程组即可.
4．（2024八上·信宜期末）九章算术是人类科学史上应用数学的“算经之首”，其书中卷八方程七中记载“今有牛五、羊二，直金十两牛二、羊五，直金八两牛、羊各直金几何？”题目大意是：“头牛、只羊共值金两头牛、只羊共值金两，每头牛、每只羊各值金多少两？”设每头牛值金两，每只羊值金两，那么下面列出的方程组中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设1头牛值金两，1只羊值金两，
由题意可得，，
故答案为：A
【分析】根据“5头牛、2只羊共值金10两.2头牛、5只羊共值金8两”，得到2个等量关系，即可列出方程组．
5．（初中数学北师大版八年级上册第五章 二元一次方程组练习题 (3)）已知方程组 和 有相同的解，则a，b的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：解方程组 ，得 ，
代入方程组 ，得到 ，
解得 ，
故选A．
【分析】可以首先解方程组 ，求得方程组的解，再代入方程组 ，即可求得a，b的值．
6．（2024八上·深圳期中）若方程组的解中，则等于（ ）
A．2024 B．2025 C．2026 D．2027
【答案】B
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：，
①×6+②得：20x=25k－30
解得：x=1.25k－1.5.
把x=1.25k－1.5代入①得：3.75k－4.5－y=4k－5.
解得：y=0.5－0.25k.
∴x+y=k－1.
∵，
∴，
解得：，
故答案为：B．
【分析】利用加减消元法解二元一次方程组求出x和y，可得，代入求解即可．
7．（2024七下·凉州期末）若二元一次联立方程式的解为，则之值为何？（ ）
A． B． C． D．14
【答案】C
【知识点】求代数式的值-直接代入求值；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：∵二元一次联立方程式的解为，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：C．
【分析】将x、y的值代入原方程组得到关于a、b的二元一次方程组，然后解方程组即可求出a、b的值，最后代入a、b的值即可得到答案.
8．（2023七下·长春期末）我国明代数学家程大位所著《算法统宗》中记载了一道有趣的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”题目大意是：100个和尚分100个馒头，刚好分完．大和尚1人分3个馒头，小和尚3人分一个馒头．问大、小和尚各有多少人？若大和尚有x人，小和尚有y人．则下列方程或方程组中，正确的有（ ）
①；②；③3x+（100-x）＝100；④y+3（100-y）＝100．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【知识点】列一元一次方程；列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 大和尚有x人，小和尚有y人，
由题意可得： ，
由①可得：y=100-x③或x=100-y④，
将③代入②得：，
将④代入②得： y+3（100-y）＝100，
综上所述：正确的有②③④，共3个，
故答案为：D.
【分析】根据题意找出等量关系列方程求解即可。
阅卷人 二、填空题（每题3分，共15分）
得分
9．（2024八上·深圳期末）如图，函数和的图象相交于点P，则关于x，y的二元一次方程组的解是 ．
【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：由图象可知
正比例函数 ， 当y=1时，x = -3，
则点P的坐标为(-3，1)，
把变形可得到二元一次方程组
所以关于x，y的二元一次方程组
中的解为
故答案为：
【分析】先利用正比例函数解析式确定P点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解.
10．（2024八上·光明期末）若一次函数与的图象相交于点，则方程组的解是 ．
【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数y=k1x+b1的图象与y=k2x+b2的图象相交于点P(2，3)，
∴方程组的解是.
故答案为：.
【分析】根据二元一次方程组的解即为两直线的交点坐标解答.
11．（2024·七下婺城期中）若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于a、b的二元一次方程组 的解是 ．
【答案】
【知识点】二元一次方程（组）的同解问题
【解析】【解答】解：∵的解是，
∴ 的解是
∴ .
故答案为： .
【分析】根据二元一次方程组 与 同解可得再解二元一次方程组即可求得.
12．（2021八上·普宁期末）数形结合是解决数学问题常用的思想方法，如图，直线和直线相交于点P，根据图象可知，方程组的解是 ．
【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：直线和直线相交于点
方程组的解是．
故答案为．
【分析】根据两个一次函数的交点与二元一次方程组的解得关系可得答案。
13．（2023七下·江津期中）一个两位数m的十位上的数字是a，个位上的数字是b，记为这个两位数m的“衍生数”．如．现有2个两位数x和y，且满足，则 ．
【答案】10或19
【知识点】定义新运算；二元一次方程组的应用-数字问题
【解析】【解答】第一种情况：当2个两位数x和y个位数字为0，且满足x+y=100时，x和y的十位数字的和为10，个位数字的和为0，
∴；
第二种情况：当2个两位数x和y个位数字均不为0，且满足x+y=100时，x和y的十位数字的和为9，个位数字的和为10，
∴，
综上，的值为10或19，
故答案为：10或19.
【分析】根据题干中的定义，再分类讨论求解即可。
阅卷人 三、解答题（共7题，共61分）
得分
14．（2024七下·衡阳期末）解方程组
（1）
（2）
【答案】（1）解：，
得：，
解得：，
把代入得：，
则方程组的解为；
（2）解：，
得：，
得：，
得：，
解得：，
把代入得：，
把，代入得：，
则方程组的解为．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；三元一次方程组及其解法
【解析】【分析】（1）按照解二元一次方程组的一般步骤使用加减消元解之即可；
（2）利用加减消元先将三元方程组转化为二元，后按照加减消元法步骤解二元一次方程组即可.
15．（2023八上·光明月考）某商场第1次用39万元购进A，B两种商品，销售完后获得利润6万元，它们的进价和售价如表（总利润＝单件利润×销售量）：
价格 商品 进价（元/件） 售价（元/件）
A 1200 1350
B 1000 1200
（1）该商场第1次购进A，B两种商品各多少件？
（2）商场第2次以原进价购进A，B两种商品，购进A商品的件数不变，而购进B商品的件数是第1次的2倍，A商品按原售价销售，而B商品打折销售，若两种商品销售完毕，要使得第2次经营活动获得利润等于5.4万元，则B种商品是按几折销售的？
【答案】（1）解：设该商场第1次购进A商品x件，购进B商品y件，
依题意，得：，
解得：．
答：该商场第1次购进A商品200件，B商品150件
（2）解：设B种商品是打m折销售，
依题意，得：200×（1350﹣1200）+150×2×（1200×﹣1000）＝54000，
解得：m＝9．
答：B种商品是打9折销售的
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设第1次购进A商品x件，B商品y件，根据该商场第1次用39万元购进A、B两种商品且销售完后获得利润6万元，及总利润＝A商品利润+B商品的利润可列出二元一次方程组，解方程组可求出答案；
（2）设B商品打m折出售，根据总利润＝单件利润×销售数量，结合题意可列出关于m的一元一次方程，解方程可求出答案.
16．（2023八上·广州期中）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，2），点B（-4，0），直线AB交y轴于点C．
（1）求直线AB的表达式和点C的坐标；
（2）在直线OA上有一点P，使得△BCP的面积为4，求点P的坐标．
【答案】（1）解：设直线AB的解析式为y＝kx+b，
把A（2，2），B（-4，0）分别代入得，解得，
∴直线AB的解析式为y＝x+；
当x＝0时，y＝x+＝
∴C点坐标为（0，）；
（2）解：易得直线OA的解析式为y＝x，
作PQ∥y轴交直线AB于Q，如图，
设P（t，t），则Q（t，t+），
∵△BCP的面积为4，
∴×PQ×4＝4，即|t+-t|＝2，
∴t＝-1或t＝5，
∴P点坐标为（-1，-1）或（5，5）．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【分析】（1）先利用待定系数法求出直线AB的解析式；然后再求出直线AB与y轴的交点坐标，即点C的坐标；
（2）先由待定系数法求出直线OA的解析式为y=x，然后作PQ∥y轴交直线AB于Q，如图，设P（t，t），则Q（t，t+），利用三角形面积公式S△BCP=×PQ×4＝4，即可得到关于t的方程|t+-t|＝2，然后求出t，得即可求出点P的坐标．
17．某校为了做好大课间活动，计划用400元购买10件体育用品，备选体育用品及单价如下表（单位：元）
备用体育用品 篮球 排球 羽毛球拍
单位（元） 50 40 25
（1）若400元全部用来购买篮球和羽毛球拍共10件，问篮球和羽毛球拍各购买多少件？
（2）若400元全部用来购买篮球、排球和羽毛球拍三种共10件，能实现吗？若能，求出篮球、排球、羽毛球拍各购买多少件；若不能，请说明理由．
【答案】解：（1）设买篮球x个，则买羽毛球拍（10﹣x）件，由题意，得
50x+25（10﹣x）=400
解得：x=6，
则10﹣x=4．
答：买篮球6个，买羽毛球拍4件．
（2）设买篮球x个，买排球y个，则买羽毛球拍（10﹣x﹣y）件，由题意，得
50x+40y+25（10﹣x﹣y）=400，
x=，
∵x、y都是整数，
∴当y=0时，x=6，羽毛球拍为4件；
当y=1时，不符合题意，舍去，
当y=2时，不符合题意，舍去，
当y=3时，不符合题意，舍去，
当y=4时，不符合题意，舍去，
当y=5时，x=3，羽毛球拍为2件，
当y=6时，不符合题意，舍去，
当y=7时，不符合题意，舍去
当y=8时，不符合题意，舍去
当y=9时，不符合题意，舍去
当y=10时，x=0，羽毛球拍为0件．
∴篮球、排球和羽毛球拍各3，5，2个
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【分析】（1）设买篮球x个，则买羽毛球拍（10﹣x）件，根据买篮球的费用+买羽毛球拍的费用=400建立方程求出其解即可；
（2）设买篮球x个，卖排球y个，则买羽毛球拍（10﹣x﹣y）件，由题意建立方程求出其解即可；
18．（2024八上·惠城开学考）阅读材料并回答下列问题：
当 都是实数， 且满足 ， 就称点 为"友好点". 例如： 点 ，令 ， 得 ， 所以 不是"友好点"， 点 ， 令 .
得 ， 所以 是"友好点".
（1） 请判断点 是否为"友好点"， 并说明理由.
（2）以关于 的方程组 的解为坐标的点 是 "友好点"， 求t 的值.
【答案】（1）解：点，令，
得，
，
不是“友好点”，
点，令，
得，
，
是“友好点”；
（2）解：方程组的解为，
点，是“友好点”，
，
，
，
，
解得
的值为10
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【分析】（1）根据题意代入点A和点B，进而即可求出m和n，从而根据“友好点”的定义即可求解；
（2）先根据题意解二元一次方程组得到方程组的解为，进而根据“友好点”的定义表示出，再根据解一元一次方程即可求解.
19．（2024七下·南昌期末）由于连日大雨，某城市局部面临内涝，当地相关部门迅速组织防涝抗涝工作，抽调一批抽水泵紧急抽水排险．经在抽水现场测得A型和B型两款抽水泵抽水量情况如下：4台A型抽水泵和5台B型抽水泵同时工作，可抽水的水；2台A型抽水泵和10台B型抽水泵同时工作，可抽水的水．
（1）求A、B两款抽水泵每分钟分别能抽水多少立方米？
（2）该地防洪相关部门，为了以后抗涝需要，计划进购一批A型和B型两款抽水泵，要求这批抽水泵全部同时工作1分钟，能抽水150立方米的水．设购买A型抽水泵m台，B型抽水泵台，请用含n的代数式表示m．
（3）A型抽水泵每台标价2万元，若一次性购买不少于30台，可打九折，若少于30台则按标价销售；B型抽水泵每台标价3万元，若一次性购买不少于30台，可打八折，若少于30台则也按标价销售；在（2）的条件下，问如何购买使得总费用最小？请通过分析计算给予说明．
【答案】（1）解：设1台A型抽水泵每分钟抽水，1台B型抽水泵每分钟抽水，
由题意可知：，
解得：，
答：1台A型抽水泵每分钟抽水，1台B型抽水泵每分钟抽水.
（2）解：由（1）可知，1台A型抽水泵每分钟抽水，1台B型抽水泵每分钟抽水
结合题目可列等式：，
.
（3）解：由题意得，当n=50时，此时，则A型抽水泵至少要买40台，因此A型抽水泵价格始终是标价的九折.
设购买总费用为W，则
当时，W=，
∵k=0.84＞0
∴当时，W最小，W最小=（万元），
当时，W=，
∵k=0.24＞0
∴当时，W最小，W最小=（万元），
答：当选购B型抽水泵30台，A型抽水泵64台时，购买总费用最少，最少费用为万元．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设1台A型抽水泵和1台B型抽水泵每分钟各抽水和，根据题意列方程组求解即可得到答案；
（2）结合（1）中答案，根据题意可知，变形后即可求出用含n的代数式表示m ；
（3）分析n的取值范围可知，A型抽水泵价格始终是标价的九折，则分情况讨论：设总费用为W，当时，列出W和n的关系式：W=；当时，列出W和n的关系式：，上述两式都满足一次函数且k都大于零，则分别求出最小值进行比较即可得到满足要求的购买方案．
20．（2024八上·龙岗期中）如图（a）所示，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于，两点，直线经过点，并与轴交于点．
（1）求，两点的坐标及的值；
（2）如图（b）所示，动点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴正方向运动．过点作轴的垂线，分别交直线，于点，．设点运动的时间为．点的坐标为 ，点的坐标为 ；（均用含的式子表示）
（3）在（2）的条件下，当点在线段上时，探究是否存在某一时刻，使？若存在，求出此时的面积；若不存在，请说明理由．
（4）在（2）的条件下，点是线段上一点，当点在射线上时，探究是否存在某一时刻，使？若存在，求出此时的值，并直接写出此时为等腰三角形时点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：将代入，得.
解得.
所以点的坐标为.
将代入中，解得.
所以点的坐标为.
将代入中，得.
解得.
所以点的坐标为，点的坐标为，.
（2）；
（3）解：存在，理由如下：
由（2）得，，
因为点在线段上，
所以.
因为，
所以.
因为，
所以.
解得.
所以.
所以.
（4）解：存在.理由如下：
由（2）得的坐标为，的坐标为.
因为，.
①当点在线段上时，，
所以.
解得.
故点，的坐标分别为和.
设点的坐标为，
则，，.
当时，即.解得.
因为点是线段上一点，点的坐标为，
所以.
所以舍去.
当时，同理，得（舍去）.
所以点的坐标为或.
②当点在线段的延长线上时，，
所以.
解得.
同理，得点的坐标为或.
综上所述，当时，点的坐标为或；当时，点的坐标为或.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数中的动态几何问题
【解析】【解答】解：（2）由（1）知，直线的函数表达式为.
因为点，
所以当时，，即.
同理，得.
故答案为：，.
【分析】（1）根据x轴上点的坐标特征令y=0，代入直线可得点的坐标为，根据y轴上点的坐标特征令x=0，代入直线可得点的坐标为，再根据待定系数法将点A坐标代入直线即可求出答案.
（2）由题意可得点，间x=t代入直线，则，同理，得，即可求出答案.
（3）根据两点间距离可得，，根据题意建立方程，解方程可得，则，再根据三角形面积即可求出答案.
（4）由（2）可得，，分情况讨论：①当点在线段上时，根据题意建立方程，解方程可得点，的坐标分别为和，设点的坐标为，根据题意建立方程，解方程即可求出答案；②当点在线段的延长线上时，，根据题意建立方程可得，同理，得点的坐标为或，即可求出答案.
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