【培优版】北师大版数学八年级上册第五章 二元一次方程组 同步测试卷
阅卷人 一、选择题（每题3分，共24分）
得分
1．（2019八上·萧山月考）若方程组 的解是 ，则方程组 的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】解：把 变为 ，
由题意得 ，
∴，
故答案为：D.
【分析】根据已知条件把原方程组变形使其形式上一致，则得 ，从而求得原方程组的解。
2．（2024八上·船山开学考）利用加减消元法解二元一次方程组时，下列做法，正确的是（ ）
A．要消去，可以将
B．要消去，可以将
C．要消去，可以将
D．要消去，可以将
【答案】D
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：对于方程组，
若要要消去，则可以将；
若要消去，可以将，
故答案为：D.
【分析】观察方程组中未知数x的系数的最小公倍数是10，且未知数x的系数的符号相同，所以用方程①×5-方程②×2可消去未知数x，可得关于未知数y的一元一次方程；观察方程组中未知数y的系数的最小公倍数是15，且未知数x的系数的符号相反，所以用方程①×3+方程②×5可消去未知数y，可得关于未知数x的一元一次方程；结合各选项即可判断求解.
3．（2020八上·拱墅期末）小聪去商店买笔记本和钢笔，共用了60元钱，已知每本笔记本2元，每支钢笔5元，若笔记本和钢笔都购买，且笔记本的数量多于钢笔的数量，则小聪的购买方案有（ ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
【答案】C
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【解答】解：设笔记本的数量为x, 钢笔的数量为y, (x,y为非负整数)
则2x+5y=60,
x=,
∴>y,
即7y<60,
y<,
∴当y=8时，x=10；当y=6, x=15； 当y=4, x=20；当y=2时，x=25；当y=0, x=30.
综上共有5种方案.
故答案为：C.
【分析】设笔记本的数量为x, 钢笔的数量为y, (x,y为非负整数), 根据总金额等于60列方程，把y用含x的关系式表示，结合笔记本的数量多于钢笔的数量，分别取值，则可确定符合条件的方案数.
4．（2024八上·市北区期末）某农场去年计划生产玉米和小麦共200吨，采用新技术后，实际产量为225吨，其中玉米超产，小麦超产，设该农场去年实际生产玉米x吨、小麦y吨，则所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意可得：
，
故答案为：D．
【分析】根据题中的两个相等关系“ 去年计划生产玉米的吨数+小麦的吨数=200吨， 采用新技术后玉米的实际产量+采用新技术后小麦的实际产量=225”可列关于x、y的方程组，结合各选项即可判断求解．
5．如图，根据直线l1和l2的交点坐标，可以得到下列哪个方程组的解 ( ).
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：设直线 l1 的解析式为y=kx+b，∵直线 l1 过（0，3）和（3，0），
∴，解得，∴直线 l1 的解析式为，观察四个选项，只有B中有一个方程为.
故答案为：B.
【分析】用排除法求解，求出直线 l1 的解析式即可.
6．（2024七下·赣州期末）如图，约定：上方相邻的左数与右数之差等于这两数下方箭头共同指向的数．有以下两个结论，结论I：若m的值为3，则y的值为4；结论Ⅱ：不论m，n取何值，的值一定为3．下列说法正确的是（ ）
A．I，Ⅱ都对 B．I对，Ⅱ不对 C．I不对，Ⅱ对 D．I，Ⅱ都不对
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的实际应用-图表信息问题
【解析】【解答】解：当时，，
解得，
∴，
解得，故结论I不正确；
由题意得，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即不论m，n取何值，的值一定为3，故结论Ⅱ正确，
故答案为：C．
【分析】先建立关于x、y的二元一次方程组，进而可得m-n=4x-4y，再根据m-n=12，可得4x-4y=12，进行求解即可．
7．（2024八上·渝北开学考）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，且，则的值为（ ）
A．1 B． C．0 D．2024
【答案】A
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解：关于，的二元一次方程组的解为， 且
，
，即，
，
故答案为：A．
【分析】利用已知关于，的二元一次方程组的解为，方程组可看着是关于（3m+n）和（m+3n）的二元一次方程组，由此可得到关于m，n的方程组，利用方程组中系数的特点可求出m+n的值，然后整体代入求值.
8． 已知某速食店销售的套餐内容为一块鸡排和一杯可乐， 且一份套餐的价钱比单点一块鸡排再单点一杯可乐的总价钱便宜 4 元． 阿俊打算到该速食店买两份套餐， 若他发现店内有单点一块鸡排就再送一块鸡排的促销活动， 且单点一块鸡排再单点两杯可乐的总价钱，比两份套餐的总价钱便宜 1 元， 则根据题意， 下列结论正确的是（ ）
A．一份套餐的价钱为 14 元 B．一份套餐的价钱为 12 元
C．单点一块鸡排的价钱为 9 元 D．单点一块鸡排的价钱为 7 元
【答案】C
【知识点】三元一次方程组的应用
【解析】【解答】解：设一份套餐的价格是x元，单点一块鸡排的价格是y元，单点一杯可乐的价格是z元，依题意列方程组得：
整理方程组得：
①×2+②，得：
y=9.
∴一份鸡排的的价格是9元。
故正确答案选：C.
【分析】根据题意，分别设一份套餐的价格是x元，单点一块鸡排的价格是y元，单点一杯可乐的价格是z元，依题意列方程组得：通过分析，可以消x、z，求出y的值，即y=9.所以可以得到一份鸡排的的价格是9元。
阅卷人 二、填空题（每题3分，共15分）
得分
9．在直角坐标系内，一次函数.与y的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是 .
【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：观察图象可得，的解为
故答案为：
【分析】观察图形，两个一次函数的交点坐标写成解的形式即这两个一次函数式组成的二元一次方程组的解.
10．（2024八上·宁波开学考）已知方程组的解满足方程，则 ．
【答案】
【知识点】解二元一次方程组；二元一次方程（组）的同解问题
【解析】【解答】解：，
①②得：．
，
∵
，
解得．
故答案为：．
【分析】方程组中两方程相加得出，再由题意得，解方程即可求解.
11．（2024八上·岳阳开学考）已知和 是同类项，那么 .
【答案】1
【知识点】解二元一次方程组；同类项的概念；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵和 是同类项，
∴，
解得：，
∴
故答案为：1.
【分析】先用同类项的定义（同类项是指所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的两个单项式）可得，求出m、n的值，再求解即可.
12．（2023八上·江北开学考）若关于，的的解是，则关于，的方程组的解是 ．
【答案】
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：∵关于x、y的方程 的解是 ，
∴
∵关于m、n的方程组，
∴，
∴
故答案为：.
【分析】先把代入方程组得 ，再把关于m、n的方程组化成相同的形式，最后把对应值相等求得，求出m、n的值即可.
13．（2021八上·驻马店期末）如图，一次函数 x+4的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，C是x轴上的一动点，连接BC，将 沿BC所在的直线折叠，当点A落在y轴上时，点C的坐标为 .
【答案】（12，0）或（－ ，0）
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：当x=0时，y=4，当y=0时，x=－3，
∴A(－3，0)，B（0，4），
∴OA=3，OB=4，
∴ ，
设点A的对应点为A1，OC=x，
当点C在x轴正半轴时，如图，
根据轴对称性质得：BA1=AB=5，OA1=5+4=9，CA1=AC=3+x，
在Rt△A1OC中，由勾股定理得： ，
解得：x=12，即OC=12，
∴点C坐标为（12，0）；
当点C在x轴负半轴时，如图，
根据折叠性质得：BA1=AB=5，OA1=5－4=1，CA1=AC=3－x，
在Rt△A1OC中，由勾股定理得： ，
解得： ，即OC= ，
∴点C的坐标为（－ ，0），
综上，点C的坐标为（12，0）或（－ ，0），
故答案为：（12，0）或（－ ，0）.
【分析】由一次函数解析式求出点A、B的坐标，则可求得OA、OB和AB的长，设点A的对应点为A1，OC=x，然后分两种情况讨论，即点C在x轴正半轴和在x轴负半轴上，分别利用折叠性质和勾股定理求解OC，即可解答.
阅卷人 三、解答题（共7题，共61分）
得分
14．（2023八上·中山开学考）已知：(2x+5y+4) 2+|3x-4y-17|=0，求的平方根．
【答案】解：由题意，得：，
解得：，
∴==4，
则的平方根为±2．
【知识点】解二元一次方程组；偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；开平方（求平方根）；求算术平方根
【解析】【分析】根据偶数次幂及绝对值的非负性，由两个非负数的和为零，则每一个数都等于零，可得关于x、y的二元一次方程组，解方程组后把x、y的值，将x、y的值代入式子计算后，再根据平方根定义求解即可.
15．（2024八上·岳阳开学考）对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数已知，．
（1）求，的值；
（2）若，求的值；
（3）若关于，的方程组的解也满足方程，求的值；
（4）若关于，的方程组的解为，直接写出关于，的方程组的解．
【答案】（1）解：由题意，，，
．
．
（2）解：由题意，，
．
．
又，
．
（3）解：由题意，方程组可化为，
．
又，
．
．
（4）解：由题意，方程组可化为，方程组可化为，即，
又方程组的解为，
．
．
方程组的解为．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；二元一次方程（组）的同解问题；二元一次方程（组）的新定义问题
【解析】【分析】（1）根据题干中的定义及计算方法可得，再求解即可；
（2）根据题干中的定义及计算方法可得，再求解即可；
（3）根据题干中的定义及计算方法可得，再结合可得，再求解即可；
（4）根据题干中的定义及计算方法可得，再求解即可.
16．（2024八上·邛崃期末）如图，直线和直线相交于点A．
（1）求点A的坐标；
（2）在y轴上有一动点，过点P作y轴的垂线，分别交直线和于点B、C，若，求p的值；
（3）在（2）的条件下，点M为y轴正半轴上任意一点，当是以为斜边的直角三角形时，请直接写出点M的坐标．
【答案】（1）解：联立方程组得：，
解得：，
故点A的坐标为
（2）解：∵在y轴上有一动点，过点P作y轴的垂线，
∴点B、C的纵坐标是p，
令，解得，即，
令，解得，即，
又∵，即，
解得：或，
故p的值是4或；
（3）或或
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题；勾股定理的应用；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（3）设BC的中点为Q，，
①当时，即为，即为，
∴的中点为，
∵是以为斜边的直角三角形，
∴，即，
解得：，
∴或，
②当时，即为，即为，
∴的中点为，
∵是以为斜边的直角三角形，
∴，即，
解得：或(舍去)，
∴
综上所述：或或．
【分析】
（1）联立方程组得，再求解即可；
（2） 依题意可知，点B、C的纵坐标是p，令，求出点B、C的坐标，根据列出方程求解即可；
（3）设BC的中点为Q，，根据p的值求出点B、C的坐标，继而求出点Q的坐标，再根据“是以为斜边的直角三角形”得出，利用两点间的距离公式列方程求解即可．
17．（2024八上·青羊期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，且直线与直线平行．
（1） ；点的坐标 ；点的坐标是 ；
（2）若点，将线段水平向右平移个单位得到线段，连接，．若△是等腰三角形，求的值；
（3）点为轴上一动点，连接，若，请求出点坐标．
【答案】（1）；；
（2）解：点，且将线段水平向右平移个单位得到线段．
点的坐标为，点的坐标为．
．
．
．
△是等腰三角形，分情况讨论：
①当时，可得，解得或．
②当时，可得，解得（舍去）或（舍去）．
③当时，可得，解得．
综上所述，或或．
（3）解：分情况讨论：
① 过点作，且，连接交轴于点，过点作轴于点，如图所示：
则是等腰直角三角形．
．
点，点．
，．
．
．
．
．
．
在和中．
．
．
．
．
点的坐标为．
设直线的解析式为，为常数，．
代入点，点．
得．
解得．
直线的解析式为．
点的坐标为．
②过点作，且，连接交轴于点，过点作轴于点，如图所示：
则是等腰直角三角形．
．
．
．
．
．
．
在和中．
．
．
．
．
点的坐标为．
设直线的解析式为，为常数，．
代入点，点．
得．
解得．
直线的解析式为．
点的坐标为．
综上所述，满足条件的点的坐标为或．
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；等腰三角形的性质；一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数中的动态几何问题
【解析】【解答】解：（1）∵直线与直线平行
∴
∴直线AB的解析式为：
∵直线AB与轴交于点，与轴交于点
∴当y=0时，有，解得：x=-4，则点A坐标为（-4，0）
当x=0时，y=2，则点B坐标为（0，2）
故答案为：第1空、
第2空、
第3空、
【分析】（1）根据两直线平行，对应k值相等可得k，再根据直线与坐标轴的交点坐标的特征，分别将x=0，y=0代入直线方程即可求出答案；
（2）根据直线平移的性质可得点的坐标为，点的坐标为．再根据两点间的距离公式求出．．．再根据等腰三角形性质分情况讨论：①当时，②当时．③当时，列出方程，解方程即可求出答案；
（3）分情况讨论：
① 过点作，且，连接交轴于点，过点作轴于点，根据等腰直角三角形性质可得，根据A，B点坐标求出OA，OB长，再根据全等三角形判定定理可得，则，，所以点的坐标为．设直线的解析式为，为常数，．根据待定系数法将点A，D坐标代入直线解析式可得直线的解析式为．则点的坐标为．
②过点作，且，连接交轴于点，过点作轴于点，根据等腰直角三角形性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，，所以点的坐标为．设直线的解析式为，为常数，．根据待定系数法将点A，M坐标代入直线解析式可得直线M的解析式为，则点的坐标为．
18．（2024八上·青羊期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线过点，与轴交于点．
（1）点的坐标是 ；直线的函数表达式 ；
（2）若点是直线上一动点，且，求点的坐标；
（3）点在第二象限，当时，动点从点出发，先运动到点，再从点运动到点后停止运动．点的运动速度始终为每秒1个单位长度，运动的总时间为（秒，请求出的最小值．
【答案】（1）；
（2）解：设点坐标为，
直线过点，与轴交于点，
令，得，
点坐标为，
点，点，
，，，
，
，
，解得或，
点的坐标为，或，；
（3）解：点在第二象限，当时，如图，
在过点且平行于的线段（不含端点）上，
直线的函数表达式为，
，
，
，
作点关于线段的对称点，连接，，，交线段点，连接，则的最小值即为的长，
，，，
，
，
，
，
点的运动速度始终为每秒1个单位长度，
运动的总时间为（秒，
的最小值为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数中的动态几何问题
【解析】【解答】（1）解：∵直线过点
令x=0，可得y=4
∴点A坐标为（0，4）
将点A，B坐标代入可得：
解得：
故直线AB表达式为：
故答案为：第1空、
第2空、
【分析】（1）根据y轴上点的坐标特征，令x=0代入直线即可求出点A坐标，再根据待定系数法将A，B点坐标代入直线即可求出答案；
（2）设点坐标为，根据x轴上点的坐标特征可求出点C坐标，可得，，，根据三角形面积可得，列出方程，解方程即可求出答案；
（3）根据题意求出直线的函数表达式为，则，可得，作点关于线段的对称点，连接，，，交线段点，连接，则的最小值即为的长，根据边之间的关系可得，再根据勾股定理可得，再根据时间=路程÷速度即可求出答案.
19．（2024八上·深圳期中）根据如表素材，探索完成任务．
背景 深圳某学校在组织开展知识竞赛活动，去奶茶店购买A、B两种款式的奶茶作为奖品．
素材1 若买10杯A款奶茶，5杯B款奶茶，共需160元：若买15杯A型奶茶，10杯B型奶茶，共需270元．
素材2 为了满足市场的需求，奶茶店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料一份或者不加料．
问题解决
任务1 问A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元？
任务2 在不加料的情况下，购买A、B两种款式的奶茶（两种都要），刚好花220元，请问有几种购买方案？
任务3 根据素材2，小华恰好用了380元购买A、B两款奶茶，其中A款不加料的杯数是总杯数的．则其中 B型加料的奶茶买了多少杯？
【答案】解：任务1：设每杯款奶茶元，每杯款奶茶元，由题意得：
，
解得：，
答：每杯款奶茶10元，每杯款奶茶12元.
任务2：设购买种款式的奶茶杯，购买种款式的奶茶杯，由题意得：，
整理得：，
、均为正整数，
∴或或，
有3种购买方案；
任务3：∵奶茶加料后，每杯A款奶茶10+2=12（元），每杯B款奶茶12+2=14（元），
设小华购买的奶茶中，款不加料的奶茶买了杯，款加料的奶茶和款不加料的奶茶共买了杯，则总奶茶杯数为3a杯，故款加料的奶茶买了杯，即杯，由题意得：
，
整理得：，
、、均为正整数，
（杯），
答：款加料的奶茶买了3杯．
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务1：设每杯款奶茶元，每杯款奶茶元，根据题意列出二元一次方程组，求解即可；
任务2：设购买种款式的奶茶杯，购买种款式的奶茶杯，根据题意列出二元一次方程，整理得，可得(m+2)是6的倍数，据此即可确定正整数m和n的值；
任务3：由题意得：奶茶加料后，每杯A款奶茶10+2=12（元），每杯B款奶茶12+2=14（元），设小华购买的奶茶中，款不加料的奶茶买了杯，款加料的奶茶和款不加料的奶茶买了杯，则总奶茶杯数为3a杯，款加料的奶茶买了杯，即杯，根据题意列出二元一次方程，求解即可．
20．（2023八上·青羊月考）如图，在平面直角坐标系中，点，点C在y轴的负半轴上，连接，满足．
（1）求直线的解析式；
（2）已知直线经过点B．
①若点D为直线上一点，若，求点D的坐标；
②过点O作直线，若点M、N分别是直线和上的点，且满足．请问是否存在这样的点，使得为直角三角形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵点C在y轴的负半轴，
∴，
设直线的解析式为，
将点B、点C的坐标代入可得，
解得，
∴直线的解析式为；
（2）解：∵直线经过点B，
∴，解得，
∴直线，
设直线与y轴交于一点E，
则当时，，
此时点，
①当点D在第四象限时，设点，在直线上找到任意一点D，连接，如图所示：
，
由（1）可得，
∵，
∴，
即，
解得：，
代入的直线方程可得：，
∴；
当点D在第一象限时，连接，过点D作y轴的垂线于一点G，连接，如图所示：
，
此时设点，
，
即，
解得：，
∴，
综上，点D的坐标为：或；
②当时，此时有两个点都符合题意，但点N只有一个，设直线与y轴的交点为点D，过点D作交直线于点E，如图所示：
则，
故；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，将点代入，得，
解得，
∴直线的解析式为，
∵，直线的解析式为，
∴直线的解析式为：，
根据题意，得，
解得，
∴；
当时，此时有1个点都符合题意，设直线与直线：的交点为点F，如图所示：
根据题意，得，
解得，
∴；
过点F作交直线于点G，
∵，
∴，
∴，
设直线的解析式为，将点代入，得，
解得，
∴直线的解析式为，
设，
根据题意，得，
解得，
设直线的解析式为，将点代入，得，
解得，
∴直线的解析式为，
∵，直线的解析式为，
∴直线的解析式为：，
根据题意，得，
解得，
∴；
综上所述，存在这样的点N，且或．
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）先根据题意得到，进而运用待定系数法即可得到直线BC的解析式；
（2）①先根据点B的坐标得到直线的解析式，进而根据一次函数与坐标轴的交点问题得到点E的坐标，进而分类讨论：当点D在第四象限时，设点，在直线上找到任意一点D，连接，当点D在第一象限时，连接，过点D作y轴的垂线于一点G，连接，根据题意运用三角形的面积即可求解；
②根据题意分类讨论：当时，此时有两个点都符合题意，但点N只有一个，设直线与y轴的交点为点D，过点D作交直线于点E，当时，此时有1个点都符合题意，设直线与直线：的交点为点F，进而根据三角形全等的判定与性质，待定系数法求一次函数的解析数，结合两个一次函数的交点问题，进而运用勾股定理即可求解。
1 / 1【培优版】北师大版数学八年级上册第五章 二元一次方程组 同步测试卷
阅卷人 一、选择题（每题3分，共24分）
得分
1．（2019八上·萧山月考）若方程组 的解是 ，则方程组 的解是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024八上·船山开学考）利用加减消元法解二元一次方程组时，下列做法，正确的是（ ）
A．要消去，可以将
B．要消去，可以将
C．要消去，可以将
D．要消去，可以将
3．（2020八上·拱墅期末）小聪去商店买笔记本和钢笔，共用了60元钱，已知每本笔记本2元，每支钢笔5元，若笔记本和钢笔都购买，且笔记本的数量多于钢笔的数量，则小聪的购买方案有（ ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
4．（2024八上·市北区期末）某农场去年计划生产玉米和小麦共200吨，采用新技术后，实际产量为225吨，其中玉米超产，小麦超产，设该农场去年实际生产玉米x吨、小麦y吨，则所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，根据直线l1和l2的交点坐标，可以得到下列哪个方程组的解 ( ).
A． B．
C． D．
6．（2024七下·赣州期末）如图，约定：上方相邻的左数与右数之差等于这两数下方箭头共同指向的数．有以下两个结论，结论I：若m的值为3，则y的值为4；结论Ⅱ：不论m，n取何值，的值一定为3．下列说法正确的是（ ）
A．I，Ⅱ都对 B．I对，Ⅱ不对 C．I不对，Ⅱ对 D．I，Ⅱ都不对
7．（2024八上·渝北开学考）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，且，则的值为（ ）
A．1 B． C．0 D．2024
8． 已知某速食店销售的套餐内容为一块鸡排和一杯可乐， 且一份套餐的价钱比单点一块鸡排再单点一杯可乐的总价钱便宜 4 元． 阿俊打算到该速食店买两份套餐， 若他发现店内有单点一块鸡排就再送一块鸡排的促销活动， 且单点一块鸡排再单点两杯可乐的总价钱，比两份套餐的总价钱便宜 1 元， 则根据题意， 下列结论正确的是（ ）
A．一份套餐的价钱为 14 元 B．一份套餐的价钱为 12 元
C．单点一块鸡排的价钱为 9 元 D．单点一块鸡排的价钱为 7 元
阅卷人 二、填空题（每题3分，共15分）
得分
9．在直角坐标系内，一次函数.与y的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是 .
10．（2024八上·宁波开学考）已知方程组的解满足方程，则 ．
11．（2024八上·岳阳开学考）已知和 是同类项，那么 .
12．（2023八上·江北开学考）若关于，的的解是，则关于，的方程组的解是 ．
13．（2021八上·驻马店期末）如图，一次函数 x+4的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，C是x轴上的一动点，连接BC，将 沿BC所在的直线折叠，当点A落在y轴上时，点C的坐标为 .
阅卷人 三、解答题（共7题，共61分）
得分
14．（2023八上·中山开学考）已知：(2x+5y+4) 2+|3x-4y-17|=0，求的平方根．
15．（2024八上·岳阳开学考）对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数已知，．
（1）求，的值；
（2）若，求的值；
（3）若关于，的方程组的解也满足方程，求的值；
（4）若关于，的方程组的解为，直接写出关于，的方程组的解．
16．（2024八上·邛崃期末）如图，直线和直线相交于点A．
（1）求点A的坐标；
（2）在y轴上有一动点，过点P作y轴的垂线，分别交直线和于点B、C，若，求p的值；
（3）在（2）的条件下，点M为y轴正半轴上任意一点，当是以为斜边的直角三角形时，请直接写出点M的坐标．
17．（2024八上·青羊期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，且直线与直线平行．
（1） ；点的坐标 ；点的坐标是 ；
（2）若点，将线段水平向右平移个单位得到线段，连接，．若△是等腰三角形，求的值；
（3）点为轴上一动点，连接，若，请求出点坐标．
18．（2024八上·青羊期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线过点，与轴交于点．
（1）点的坐标是 ；直线的函数表达式 ；
（2）若点是直线上一动点，且，求点的坐标；
（3）点在第二象限，当时，动点从点出发，先运动到点，再从点运动到点后停止运动．点的运动速度始终为每秒1个单位长度，运动的总时间为（秒，请求出的最小值．
19．（2024八上·深圳期中）根据如表素材，探索完成任务．
背景 深圳某学校在组织开展知识竞赛活动，去奶茶店购买A、B两种款式的奶茶作为奖品．
素材1 若买10杯A款奶茶，5杯B款奶茶，共需160元：若买15杯A型奶茶，10杯B型奶茶，共需270元．
素材2 为了满足市场的需求，奶茶店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料一份或者不加料．
问题解决
任务1 问A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元？
任务2 在不加料的情况下，购买A、B两种款式的奶茶（两种都要），刚好花220元，请问有几种购买方案？
任务3 根据素材2，小华恰好用了380元购买A、B两款奶茶，其中A款不加料的杯数是总杯数的．则其中 B型加料的奶茶买了多少杯？
20．（2023八上·青羊月考）如图，在平面直角坐标系中，点，点C在y轴的负半轴上，连接，满足．
（1）求直线的解析式；
（2）已知直线经过点B．
①若点D为直线上一点，若，求点D的坐标；
②过点O作直线，若点M、N分别是直线和上的点，且满足．请问是否存在这样的点，使得为直角三角形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】解：把 变为 ，
由题意得 ，
∴，
故答案为：D.
【分析】根据已知条件把原方程组变形使其形式上一致，则得 ，从而求得原方程组的解。
2．【答案】D
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：对于方程组，
若要要消去，则可以将；
若要消去，可以将，
故答案为：D.
【分析】观察方程组中未知数x的系数的最小公倍数是10，且未知数x的系数的符号相同，所以用方程①×5-方程②×2可消去未知数x，可得关于未知数y的一元一次方程；观察方程组中未知数y的系数的最小公倍数是15，且未知数x的系数的符号相反，所以用方程①×3+方程②×5可消去未知数y，可得关于未知数x的一元一次方程；结合各选项即可判断求解.
3．【答案】C
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【解答】解：设笔记本的数量为x, 钢笔的数量为y, (x,y为非负整数)
则2x+5y=60,
x=,
∴>y,
即7y<60,
y<,
∴当y=8时，x=10；当y=6, x=15； 当y=4, x=20；当y=2时，x=25；当y=0, x=30.
综上共有5种方案.
故答案为：C.
【分析】设笔记本的数量为x, 钢笔的数量为y, (x,y为非负整数), 根据总金额等于60列方程，把y用含x的关系式表示，结合笔记本的数量多于钢笔的数量，分别取值，则可确定符合条件的方案数.
4．【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意可得：
，
故答案为：D．
【分析】根据题中的两个相等关系“ 去年计划生产玉米的吨数+小麦的吨数=200吨， 采用新技术后玉米的实际产量+采用新技术后小麦的实际产量=225”可列关于x、y的方程组，结合各选项即可判断求解．
5．【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：设直线 l1 的解析式为y=kx+b，∵直线 l1 过（0，3）和（3，0），
∴，解得，∴直线 l1 的解析式为，观察四个选项，只有B中有一个方程为.
故答案为：B.
【分析】用排除法求解，求出直线 l1 的解析式即可.
6．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的实际应用-图表信息问题
【解析】【解答】解：当时，，
解得，
∴，
解得，故结论I不正确；
由题意得，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即不论m，n取何值，的值一定为3，故结论Ⅱ正确，
故答案为：C．
【分析】先建立关于x、y的二元一次方程组，进而可得m-n=4x-4y，再根据m-n=12，可得4x-4y=12，进行求解即可．
7．【答案】A
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解：关于，的二元一次方程组的解为， 且
，
，即，
，
故答案为：A．
【分析】利用已知关于，的二元一次方程组的解为，方程组可看着是关于（3m+n）和（m+3n）的二元一次方程组，由此可得到关于m，n的方程组，利用方程组中系数的特点可求出m+n的值，然后整体代入求值.
8．【答案】C
【知识点】三元一次方程组的应用
【解析】【解答】解：设一份套餐的价格是x元，单点一块鸡排的价格是y元，单点一杯可乐的价格是z元，依题意列方程组得：
整理方程组得：
①×2+②，得：
y=9.
∴一份鸡排的的价格是9元。
故正确答案选：C.
【分析】根据题意，分别设一份套餐的价格是x元，单点一块鸡排的价格是y元，单点一杯可乐的价格是z元，依题意列方程组得：通过分析，可以消x、z，求出y的值，即y=9.所以可以得到一份鸡排的的价格是9元。
9．【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：观察图象可得，的解为
故答案为：
【分析】观察图形，两个一次函数的交点坐标写成解的形式即这两个一次函数式组成的二元一次方程组的解.
10．【答案】
【知识点】解二元一次方程组；二元一次方程（组）的同解问题
【解析】【解答】解：，
①②得：．
，
∵
，
解得．
故答案为：．
【分析】方程组中两方程相加得出，再由题意得，解方程即可求解.
11．【答案】1
【知识点】解二元一次方程组；同类项的概念；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵和 是同类项，
∴，
解得：，
∴
故答案为：1.
【分析】先用同类项的定义（同类项是指所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的两个单项式）可得，求出m、n的值，再求解即可.
12．【答案】
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：∵关于x、y的方程 的解是 ，
∴
∵关于m、n的方程组，
∴，
∴
故答案为：.
【分析】先把代入方程组得 ，再把关于m、n的方程组化成相同的形式，最后把对应值相等求得，求出m、n的值即可.
13．【答案】（12，0）或（－ ，0）
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：当x=0时，y=4，当y=0时，x=－3，
∴A(－3，0)，B（0，4），
∴OA=3，OB=4，
∴ ，
设点A的对应点为A1，OC=x，
当点C在x轴正半轴时，如图，
根据轴对称性质得：BA1=AB=5，OA1=5+4=9，CA1=AC=3+x，
在Rt△A1OC中，由勾股定理得： ，
解得：x=12，即OC=12，
∴点C坐标为（12，0）；
当点C在x轴负半轴时，如图，
根据折叠性质得：BA1=AB=5，OA1=5－4=1，CA1=AC=3－x，
在Rt△A1OC中，由勾股定理得： ，
解得： ，即OC= ，
∴点C的坐标为（－ ，0），
综上，点C的坐标为（12，0）或（－ ，0），
故答案为：（12，0）或（－ ，0）.
【分析】由一次函数解析式求出点A、B的坐标，则可求得OA、OB和AB的长，设点A的对应点为A1，OC=x，然后分两种情况讨论，即点C在x轴正半轴和在x轴负半轴上，分别利用折叠性质和勾股定理求解OC，即可解答.
14．【答案】解：由题意，得：，
解得：，
∴==4，
则的平方根为±2．
【知识点】解二元一次方程组；偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；开平方（求平方根）；求算术平方根
【解析】【分析】根据偶数次幂及绝对值的非负性，由两个非负数的和为零，则每一个数都等于零，可得关于x、y的二元一次方程组，解方程组后把x、y的值，将x、y的值代入式子计算后，再根据平方根定义求解即可.
15．【答案】（1）解：由题意，，，
．
．
（2）解：由题意，，
．
．
又，
．
（3）解：由题意，方程组可化为，
．
又，
．
．
（4）解：由题意，方程组可化为，方程组可化为，即，
又方程组的解为，
．
．
方程组的解为．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；二元一次方程（组）的同解问题；二元一次方程（组）的新定义问题
【解析】【分析】（1）根据题干中的定义及计算方法可得，再求解即可；
（2）根据题干中的定义及计算方法可得，再求解即可；
（3）根据题干中的定义及计算方法可得，再结合可得，再求解即可；
（4）根据题干中的定义及计算方法可得，再求解即可.
16．【答案】（1）解：联立方程组得：，
解得：，
故点A的坐标为
（2）解：∵在y轴上有一动点，过点P作y轴的垂线，
∴点B、C的纵坐标是p，
令，解得，即，
令，解得，即，
又∵，即，
解得：或，
故p的值是4或；
（3）或或
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题；勾股定理的应用；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（3）设BC的中点为Q，，
①当时，即为，即为，
∴的中点为，
∵是以为斜边的直角三角形，
∴，即，
解得：，
∴或，
②当时，即为，即为，
∴的中点为，
∵是以为斜边的直角三角形，
∴，即，
解得：或(舍去)，
∴
综上所述：或或．
【分析】
（1）联立方程组得，再求解即可；
（2） 依题意可知，点B、C的纵坐标是p，令，求出点B、C的坐标，根据列出方程求解即可；
（3）设BC的中点为Q，，根据p的值求出点B、C的坐标，继而求出点Q的坐标，再根据“是以为斜边的直角三角形”得出，利用两点间的距离公式列方程求解即可．
17．【答案】（1）；；
（2）解：点，且将线段水平向右平移个单位得到线段．
点的坐标为，点的坐标为．
．
．
．
△是等腰三角形，分情况讨论：
①当时，可得，解得或．
②当时，可得，解得（舍去）或（舍去）．
③当时，可得，解得．
综上所述，或或．
（3）解：分情况讨论：
① 过点作，且，连接交轴于点，过点作轴于点，如图所示：
则是等腰直角三角形．
．
点，点．
，．
．
．
．
．
．
在和中．
．
．
．
．
点的坐标为．
设直线的解析式为，为常数，．
代入点，点．
得．
解得．
直线的解析式为．
点的坐标为．
②过点作，且，连接交轴于点，过点作轴于点，如图所示：
则是等腰直角三角形．
．
．
．
．
．
．
在和中．
．
．
．
．
点的坐标为．
设直线的解析式为，为常数，．
代入点，点．
得．
解得．
直线的解析式为．
点的坐标为．
综上所述，满足条件的点的坐标为或．
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；等腰三角形的性质；一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数中的动态几何问题
【解析】【解答】解：（1）∵直线与直线平行
∴
∴直线AB的解析式为：
∵直线AB与轴交于点，与轴交于点
∴当y=0时，有，解得：x=-4，则点A坐标为（-4，0）
当x=0时，y=2，则点B坐标为（0，2）
故答案为：第1空、
第2空、
第3空、
【分析】（1）根据两直线平行，对应k值相等可得k，再根据直线与坐标轴的交点坐标的特征，分别将x=0，y=0代入直线方程即可求出答案；
（2）根据直线平移的性质可得点的坐标为，点的坐标为．再根据两点间的距离公式求出．．．再根据等腰三角形性质分情况讨论：①当时，②当时．③当时，列出方程，解方程即可求出答案；
（3）分情况讨论：
① 过点作，且，连接交轴于点，过点作轴于点，根据等腰直角三角形性质可得，根据A，B点坐标求出OA，OB长，再根据全等三角形判定定理可得，则，，所以点的坐标为．设直线的解析式为，为常数，．根据待定系数法将点A，D坐标代入直线解析式可得直线的解析式为．则点的坐标为．
②过点作，且，连接交轴于点，过点作轴于点，根据等腰直角三角形性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，，所以点的坐标为．设直线的解析式为，为常数，．根据待定系数法将点A，M坐标代入直线解析式可得直线M的解析式为，则点的坐标为．
18．【答案】（1）；
（2）解：设点坐标为，
直线过点，与轴交于点，
令，得，
点坐标为，
点，点，
，，，
，
，
，解得或，
点的坐标为，或，；
（3）解：点在第二象限，当时，如图，
在过点且平行于的线段（不含端点）上，
直线的函数表达式为，
，
，
，
作点关于线段的对称点，连接，，，交线段点，连接，则的最小值即为的长，
，，，
，
，
，
，
点的运动速度始终为每秒1个单位长度，
运动的总时间为（秒，
的最小值为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数中的动态几何问题
【解析】【解答】（1）解：∵直线过点
令x=0，可得y=4
∴点A坐标为（0，4）
将点A，B坐标代入可得：
解得：
故直线AB表达式为：
故答案为：第1空、
第2空、
【分析】（1）根据y轴上点的坐标特征，令x=0代入直线即可求出点A坐标，再根据待定系数法将A，B点坐标代入直线即可求出答案；
（2）设点坐标为，根据x轴上点的坐标特征可求出点C坐标，可得，，，根据三角形面积可得，列出方程，解方程即可求出答案；
（3）根据题意求出直线的函数表达式为，则，可得，作点关于线段的对称点，连接，，，交线段点，连接，则的最小值即为的长，根据边之间的关系可得，再根据勾股定理可得，再根据时间=路程÷速度即可求出答案.
19．【答案】解：任务1：设每杯款奶茶元，每杯款奶茶元，由题意得：
，
解得：，
答：每杯款奶茶10元，每杯款奶茶12元.
任务2：设购买种款式的奶茶杯，购买种款式的奶茶杯，由题意得：，
整理得：，
、均为正整数，
∴或或，
有3种购买方案；
任务3：∵奶茶加料后，每杯A款奶茶10+2=12（元），每杯B款奶茶12+2=14（元），
设小华购买的奶茶中，款不加料的奶茶买了杯，款加料的奶茶和款不加料的奶茶共买了杯，则总奶茶杯数为3a杯，故款加料的奶茶买了杯，即杯，由题意得：
，
整理得：，
、、均为正整数，
（杯），
答：款加料的奶茶买了3杯．
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务1：设每杯款奶茶元，每杯款奶茶元，根据题意列出二元一次方程组，求解即可；
任务2：设购买种款式的奶茶杯，购买种款式的奶茶杯，根据题意列出二元一次方程，整理得，可得(m+2)是6的倍数，据此即可确定正整数m和n的值；
任务3：由题意得：奶茶加料后，每杯A款奶茶10+2=12（元），每杯B款奶茶12+2=14（元），设小华购买的奶茶中，款不加料的奶茶买了杯，款加料的奶茶和款不加料的奶茶买了杯，则总奶茶杯数为3a杯，款加料的奶茶买了杯，即杯，根据题意列出二元一次方程，求解即可．
20．【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵点C在y轴的负半轴，
∴，
设直线的解析式为，
将点B、点C的坐标代入可得，
解得，
∴直线的解析式为；
（2）解：∵直线经过点B，
∴，解得，
∴直线，
设直线与y轴交于一点E，
则当时，，
此时点，
①当点D在第四象限时，设点，在直线上找到任意一点D，连接，如图所示：
，
由（1）可得，
∵，
∴，
即，
解得：，
代入的直线方程可得：，
∴；
当点D在第一象限时，连接，过点D作y轴的垂线于一点G，连接，如图所示：
，
此时设点，
，
即，
解得：，
∴，
综上，点D的坐标为：或；
②当时，此时有两个点都符合题意，但点N只有一个，设直线与y轴的交点为点D，过点D作交直线于点E，如图所示：
则，
故；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，将点代入，得，
解得，
∴直线的解析式为，
∵，直线的解析式为，
∴直线的解析式为：，
根据题意，得，
解得，
∴；
当时，此时有1个点都符合题意，设直线与直线：的交点为点F，如图所示：
根据题意，得，
解得，
∴；
过点F作交直线于点G，
∵，
∴，
∴，
设直线的解析式为，将点代入，得，
解得，
∴直线的解析式为，
设，
根据题意，得，
解得，
设直线的解析式为，将点代入，得，
解得，
∴直线的解析式为，
∵，直线的解析式为，
∴直线的解析式为：，
根据题意，得，
解得，
∴；
综上所述，存在这样的点N，且或．
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）先根据题意得到，进而运用待定系数法即可得到直线BC的解析式；
（2）①先根据点B的坐标得到直线的解析式，进而根据一次函数与坐标轴的交点问题得到点E的坐标，进而分类讨论：当点D在第四象限时，设点，在直线上找到任意一点D，连接，当点D在第一象限时，连接，过点D作y轴的垂线于一点G，连接，根据题意运用三角形的面积即可求解；
②根据题意分类讨论：当时，此时有两个点都符合题意，但点N只有一个，设直线与y轴的交点为点D，过点D作交直线于点E，当时，此时有1个点都符合题意，设直线与直线：的交点为点F，进而根据三角形全等的判定与性质，待定系数法求一次函数的解析数，结合两个一次函数的交点问题，进而运用勾股定理即可求解。
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