课题： 2.2.2椭圆的简单几何性质（三） 总第 个教案
课型： 新授课 上课时间： 年 月 日星期____
教学目标 1.知识与技能(1)熟练掌握椭圆的几何性质，会用椭圆的几何性质解决相应的问题。(2)会用相应的方法解决轨迹的问题。
2.过程与方法通过例题的讲解，理解并会用解决相应的数学问题。
3.情感、态度与价值观 (1) 学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题； (2) 培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力。
教学重点 椭圆的几何性质，数形结合思想的贯彻，运用曲线方程研究几何性质
教学难点 数形结合思想的贯彻，运用曲线方程研究几何性质。
教学方法 对比法、数形结合。
教学过程： 批 注
活动一：创设情景、引入课题 （5分钟）问题1：说一说椭圆的几何性质？（用表格）练习巩固：1．椭圆的长轴长为 18 ，短轴长为 6 ，半焦距为，离心率为，焦点坐标为，顶点坐标为，（准线方程为）.2．短轴长为8，离心率为的椭圆两焦点分别为、，过点作直线交椭圆于A、B两点，则的周长为 20 .点题：今天我们继续学习“求轨迹的方法”活动二：师生交流、进入新知，（20分钟）1．直接法：由题设所给(或通过分析图形的几 ( http: / / www.21cnjy.com )何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法．例1：求和定圆的圆周的距离等于k的动点P的轨迹方程；分析：动点P的轨迹是不知道的，不能考查其几何特征，但是给出了动点P的运动规律：|OP|=2R或|OP|=0．解：设动点P(x，y)，则有|OP|=2R或|OP|=0．即或。 故所求动点P的轨迹方程为或。练习：过点A(a，o)作圆O∶(a＞R＞o)的割线，求：割线被圆O截得弦的中点的轨迹．分析：题设中没有具体给出动 ( http: / / www.21cnjy.com )点所满足的几何条件，但可以通过分析图形的几何性质而得出，即圆心与弦的中点连线垂直于弦，它们的斜率互为负倒数．由学生演板完成，解答为：设弦的中点为M(x，y)，连结OM，则OM⊥AM．∵ ∴ 化简得其轨迹是以OA为直径的圆在圆O内的一段弧(不含端点)．活动三：合作学习、探究新知（18分钟）2．定义法：利用所学过的圆的定义、椭圆 ( http: / / www.21cnjy.com )的定义、（后面学习双曲线的定义、抛物线的定义）直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件．直平分线l交半径OQ于点P(见图2－45)，当Q点在圆周上运动时，求点P的轨迹方程．分析：∵点P在AQ的垂直平分线上，∴|PQ|=|PA|．又P在半径OQ上．∴|PO|+|PQ|=R，即|PO|+|PA|=R．故P点到两定点距离之和是定值，可用椭圆定义写出P点的轨迹方程．解：连接PA ∵l⊥PQ，∴|PA|=|PQ|．又P在半径OQ上．∴|PO|+|PQ|=2．由椭圆定义可知：P点轨迹是以O、A为焦点的椭圆．练习：1、点P与一定点F(2，0)的距离和它到一定直线x=8的距离的比是1∶2，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形？答案：3、相关点法：若动点P(x，y)随 ( http: / / www.21cnjy.com )已知曲线上的点Q(x0，y0)的变动而变动，且x0、y0可用x、y表示，则将Q点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点P的轨迹方程．这种方法称为相关点法(或代换法)．例3： 已知抛物线y2=x+1，定 ( http: / / www.21cnjy.com )点A(3，1)、B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，且有BP∶PA=1∶2，当B点在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程．分析：P点运动的原因是B点在抛物线上运动，因此B可作为相关点，应先找出点P与点B的联系．解：设点P(x，y)，且设点B(x0，y0)∵BP∶PA=1∶2，且P为线段AB的内分点．活动四：归纳整理、提高认识（2分钟）用表格形式表示一下椭圆的几何性质？ 活动五：作业布置、提高巩固1．书面作业：书本P50 B组1、2、3、4 板书设计： 椭圆的几何性质1、椭圆的几何性质 例6： 例7
教学后记：课题： 2.2.2椭圆的简单几何性质（一） 总第 个教案
课型： 新授课 上课时间： 年 月 日星期____
教学目标 1.知识与技能(1) 通过对椭圆图形的研究，让学生熟悉椭 ( http: / / www.21cnjy.com )圆的几何性质（对称性、范围、顶点、离心率）以及离心率的大小对椭圆形状的影响，进一步加强数形结合的思想。。(2) 熟练掌握椭圆的几何性质，会用椭圆的几何性质解决相应的问题。
2.过程与方法通过讲解椭圆的相关性质，理解并会用椭圆的相关性质解决问题。
3.情感、态度与价值观 (1) 学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题； (2) 培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力。
教学重点 椭圆的几何性质，数形结合思想的贯彻，运用曲线方程研究几何性质
教学难点 数形结合思想的贯彻，运用曲线方程研究几何性质。
教学方法 对比法、数形结合。
教学过程： 批 注
活动一：创设情景、引入课题 （5分钟）问题1：前面两节课，说一说所学习过的内容？椭圆的定义？两种不同椭圆方程的对比？问题2：观察椭圆（a>b>0）的形状，你能从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？点题：今天我们学习“椭圆的简单几何性质”活动二：师生交流、进入新知，（20分钟）1．范围：，由标准方程知，椭圆上点的坐标满足不等式，∴，，∴，，∴，说明椭圆位于直线，所围成的矩形里.2．对称性：椭圆关于轴、轴和原点对称.在曲线方程里，若以代替方程不变，所以若点在曲线上时，点也在曲线上，所以曲线关于轴对称，同理，以代替方程不变，则曲线关于轴对称。若同时以代替，代替方程也不变，则曲线关于原点对称.所以，椭圆关于轴、轴和原点对称.这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心.问题3：你能由椭圆的方程得出椭圆与轴、轴的交点坐标吗？3．顶点：与轴的两个交点.为，；长轴为||=；长半轴长为与轴的两个交点为，；短轴为||=；短半轴长为确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与轴、轴的交点坐标.在椭圆的标准方程中，令，得，则，是椭圆与轴的两个交点。同理令得，即，是椭圆与轴的两个交点.所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点.同时，线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为和，和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为；在中，，，，且，即．问题4：观察不同的椭圆，发现椭圆的扁平程度不一，那么用什么量可以刻画椭圆的扁平程度？4．离心率：椭圆的焦距与长轴的比叫椭圆的离心率. ∵，∴，且越接近，就越接近，从而就越小，对应的椭圆越扁；反之，越接近于，就越接近于，从而越接近于，这时椭圆越接近于圆。当且仅当时，，两焦点重合，图形变为圆，方程为．问题5：书本P46页探究？练习：书本P48页练习1、2例4：求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出图形．解：把已知方程化为标准方程，，，∴，∴椭圆长轴和短轴长分别为和，离心率，焦点坐标，，顶点，，，．扩展：已知椭圆的离心率为，求的值．解法剖析：依题意，，但椭圆的焦点位置没有确定，应分类讨论：①当焦点在轴上，即时，有，∴，得；②当焦点在轴上，即时，有，∴练习：书本P48页练习3活动三：合作学习、探究新知（18分钟）例5：如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面的一部分．过对对称的截口是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上，由椭圆一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点．已知，，．建立适当的坐标系，求截口所在椭圆的方程．解法剖析：建立适当的直角坐标系，设椭圆的标准方程为，算出的值；此题应注意两点：①注意建立直角坐标系的两个原则；②关于的近似值，原则上在没有注意精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定．引申：如图所示， “神舟”截人飞船发射升空，进入预定轨道开始巡天飞行，其轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，近地点距地面，远地点距地面，已知地球的半径．建立适当的直角坐标系，求出椭圆的轨迹方程．练习：书本P48页练习4、5活动四：归纳整理、提高认识（2分钟）用表格形式表示一下椭圆的几何性质？ 活动五：作业布置、提高巩固1．书面作业：书本P49 A组3、4、5、9 板书设计： 椭圆的几何性质1、椭圆的几何性质 例4： 例5
教学后记：课题： 2.2.1椭圆及其标准方程（一） 总第 个教案
课型： 新授课 上课时间： 年 月 日星期____
教学目标 1.知识与技能(1) 理解椭圆的定义明确焦点、焦距的概念。(2) 熟练掌握椭圆的标准方程，会根据所给的条件画出椭圆的草图并确定椭圆的标准方程。
2.过程与方法事例引入，动手操作理解椭圆的定义明确焦点、焦距的概念。通过学生动手推导、例题教学让学生熟练掌握椭圆的标准方程，会根据所给的条件画出椭圆的草图并确定椭圆的标准方程。
3.情感、态度与价值观 (1) 学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题； (2) 培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力。
教学重点 椭圆的定义和标准方程。
教学难点 椭圆标准方程的推导。
教学方法 对比法、数形结合。
教学过程： 批 注
活动一：创设情景、引入课题 （5分钟）问题1：前面两节课，说一说所学习过的内容？曲线与方程的概念？求曲线的方程的步骤？引例1：1997年初，中国科学院紫金山天文台发布了一条消息，从1997年2月中旬起,海尔·波普彗星将逐渐接近地球，过4月以后,又将渐渐离去,并预测3000年后,它还将光临地球上空1997年2月至3月间,许多人目睹了这一天文现象天文学家是如何计算出彗星出现的准确时间呢？原来，海尔·波普彗星运行的轨道是一个椭圆，通过观察它运行中的一些有关数据，可以推算出它的运行轨道的方程，从而算出它运行周期及轨道的的周长 （说明椭圆在天文学和实际生产生活实践中的广泛应用，指出研究椭圆的重要性和必要性，从而导入本节课的主题）引例2：手工操作演示椭圆的形成：取一条定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的两点，当绳长大于两点间的距离时，用铅笔把绳子拉近，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆 分析：（1）轨迹上的点是怎么来的？（2）在这个运动过程中，什么是不变的？ 答：两个定点，绳长即不论运动到何处，绳长不变（即轨迹上与两个定点距离之和不变）点题：今天我们学习“椭圆及其标准方程”活动二：师生交流、进入新知，（20分钟）1、椭圆定义：平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 即；焦点：；焦距：注意:椭圆定义中容易遗漏的两处地方：（1）两个定点---两点间距离确定 （2）绳长--轨迹上任意点到两定点距离和确定思考：在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的椭圆较扁（线段）在同样的绳长下，两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆（圆）由此，椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关(为下面离心率概念作铺垫)问题2：你能利用上一节学过的坐标法求出椭圆的方程吗？取过焦点的直线为轴，线段的垂直平分线为轴设为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距是（）.则，又设M与距离之和等于()（常数），，化简，得 ，由定义,令代入，得 ，两边同除得 此即为椭圆的标准方程它所表示的椭圆的焦点在轴上，焦点是，中心在坐标原点的椭圆方程 其中问题3：书本P39页思考？问题4：书本P40页思考？注意若坐标系的选取不同，可得到椭圆的不同的方程 如果椭圆的焦点在轴上（选取方式不同，调换轴）焦点则变成,只要将方程中的调换，即可得，也是椭圆的标准方程 2、椭圆标准方程：（1）焦点在焦点在轴上，焦点是，中心在坐标原点的椭圆方程 其中（2）焦点在焦点在轴上，焦点是，中心在坐标原点的椭圆方程 其中（3）方程就不能肯定焦点在哪个轴上；由于的大小关系判断焦点在那个坐标轴上。活动三：合作学习、探究新知（18分钟）例 1： 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：两个焦点坐标分别是(-4,0)、（4，0），椭圆上一点P到两焦点的距离之和等于10；解：（1）因为椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为 所以所求椭圆标准方程为 点评：题（１）根据定义求若将焦点改为(0,-4)、（0，4）其结果如何；练习：书本P42页练习1例2：已知椭圆两个焦点的坐标分别是，，并且经过点，求它的标准方程．分析：由椭圆的标准方程的定义及给出的条件，容易求出．引导学生用其他方法来解．法一：书本P40页法二：设椭圆的标准方程为，因点在椭圆上，则练习：书本P42页练习2补充练习：1．判断下列方程是否表上椭圆，若是，求出的值 ①；②；③；④2 椭圆的焦距是 ，焦点坐标为 ；若CD为过左焦点的弦，则的周长为 3、写出适合下列条件的椭圆的标准方程:(口答)a=4,b=3,焦点在x轴；（2）a=5,c=2,焦点在y轴上. 活动四：归纳整理、提高认识（2分钟）说说椭圆的定义？ 说说椭圆的各种形式？活动五：作业布置、提高巩固1．书面作业：书本P49 A组1、2 板书设计： 椭圆及其标准方程1、椭圆的定义 例2： 例32、椭圆的各种形式
教学后记：课题： 2.2.2椭圆的简单几何性质（二） 总第 个教案
课型： 新授课 上课时间： 年 月 日星期____
教学目标 1.知识与技能(1)让学生熟悉椭圆的几何性质（对称性、范围、顶点、离心率）以及离心率的大小对椭圆形状的影响，进一步加强数形结合的思想。。(2) 熟练掌握椭圆的几何性质，会用椭圆的几何性质解决相应的问题。
2.过程与方法通过讲解椭圆的相关性质，理解并会用椭圆的相关性质解决问题。
3.情感、态度与价值观 (1) 学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题； (2) 培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力。
教学重点 椭圆的几何性质，数形结合思想的贯彻，运用曲线方程研究几何性质
教学难点 数形结合思想的贯彻，运用曲线方程研究几何性质。
教学方法 对比法、数形结合。
教学过程： 批 注
活动一：创设情景、引入课题 （5分钟）问题1：说一说椭圆的几何性质？（用表格）练习巩固：1．椭圆的长轴长为 18 ，短轴长为 6 ，半焦距为，离心率为，焦点坐标为，顶点坐标为，（准线方程为）.2．短轴长为8，离心率为的椭圆两焦点分别为、，过点作直线交椭圆于A、B两点，则的周长为 20 .点题：今天我们继续学习“椭圆的简单几何性质”活动二：师生交流、进入新知，（20分钟）例6：如图：已知点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数，求点M的轨迹。分析：若设点，则，到直线：的距离，则容易得点的轨迹方程．引申：（用《几何画板》探究）若点与定点的距离和它到定直线：的距离比是常数，则点的轨迹方程是椭圆．其中定点是焦点，定直线：相应于的准线；由椭圆的对称性，另一焦点，相应于的准线：．小结：椭圆第二定义：椭圆可以看作点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数，则点M的轨迹为椭圆。对于椭圆，相应于焦点的准线方程是．根据对称性，相应于焦点的准线方程是．对于椭圆的准线方程是．可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比，这就是离心率的几何意义．由椭圆的第二定义可得：右焦半径公式为；左焦半径公式为补充练习：1、椭圆的焦点坐标是……………………………………【 】 （A）(±7, 0) （B）(0, ±7) （C）(±,0) （D）(0, ±)2、化简方程=10为不含根式的形式是…【 】 （A） （B） （C） （D）3、若圆上每个点的横坐标不变．纵坐标缩短为原来的，则所得曲线的方程是………………………………………………………………【 】 （A） （B） （C） （D）4、点P为椭圆上一点，以点P以及焦点F1, F2为顶点的三角形的面积为1，则点P的坐标是……………………………………………【 】（A） (±, 1) （B）(, ±1) （C）(, 1) （D）(±, ±1)5、若△ABC顶点B, C的坐标分别为(－4 ( http: / / www.21cnjy.com ), 0), (4, 0)，AC, AB边上的中线长之和为30，则△ABC的重心G的轨迹方程为………………………………【 】 （A） （B） （C） （D）6、如果椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则其离心率为………【 】 （A） （B） （C） （D）活动三：合作学习、探究新知（18分钟）例7：已知椭圆，直线，椭圆上是否存在一点，它到直线的距离最小？最小距离是多少？解：略变式1：当距离最小时，求出直线的方程？变式2：椭圆上是否存在一点，它到直线的距离最大？最大距离是多少？练习：书本P48页练习7活动四：归纳整理、提高认识（2分钟）用表格形式表示一下椭圆的几何性质？ 活动五：作业布置、提高巩固1．书面作业：书本P49 A组6、7、8、10 板书设计： 椭圆的几何性质1、椭圆的几何性质 例6： 例7
教学后记：课题： 2.2.1椭圆及其标准方程（二） 总第 个教案
课型： 新授课 上课时间： 年 月 日星期____
教学目标 1.知识与技能(1) 能正确运用椭圆的定义与标准方程解题； (2) 学会用待定系数法与定义法求曲线的方程。
2.过程与方法通过对旧知识的复习和归纳和变式教学使学生能正确运用椭圆的定义与标准方程解题，灵活学会用待定系数法与定义法求曲线的方程。
3.情感、态度与价值观培养学生的动手计算、分析、归纳的能力。
教学重点 用待定系数法与定义法求椭圆的方程。
教学难点 用待定系数法与定义法求椭圆的方程。
教学方法 对比法、数形结合。
教学过程： 批 注
活动一：创设情景、引入课题 （5分钟）问题1：前面两节课，说一说所学习过的内容？椭圆的定义？ 2、椭圆方程的各种形式？椭圆定义:平面内到两个定点F1、F2的距 ( http: / / www.21cnjy.com )离的和等于常数2a（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆，两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。椭圆的标准方程:标准方程不同点图形 ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )焦点坐标相同点定 义a、b、c的关系焦点位置的判断分母哪个大，焦点就在哪个轴上注：①是；②是（要区别与习惯思维下的勾股定理）；③是定方程“型”与曲线“形”．问题2：（1）2a= F1F2，则轨迹是什么？ (线段F1F2)（2）2a< F1F2, 则轨迹是什么？ (无轨迹)点题：今天我们继续学习“椭圆及其标准方程”活动二：师生交流、进入新知，（20分钟）例1: 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点坐标分别是(－3,0),(3,0),椭圆经过点(5,0).(2)两个焦点坐标分别是(0,5),(0,－5),椭圆上一点P到两焦点的距离和为26.(3)焦点在轴上,且经过点(2,0)和点(0,1).(4)焦点在轴上,与轴的一个交点为P(0,－10),P到它较近的一个焦点的距离等于2.(5)求与椭圆有相同焦点,且过点.例2: 已知三角形ABC的一边 BC 长为6，周长为16，求顶点A的轨迹方程变式1：已知B(-3,0)，C(3,0)，CA,BC,AB的长组成一个等差数列，求点A的轨迹方程。变式2：在△ABC中， B(-3,0)，C(3,0), ，求A点的轨迹例3:(1)方程是否可以表示椭圆 若能表示椭圆,则需要满足的条件是什么 (2)若方程表示椭圆,求k的取值范围.活动三：合作学习、探究新知（18分钟）例 4：如图，在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足．当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹是什么？分析：点在圆上运动，由点移动引起点的运动，则称点是点的伴随点，因点为线段的中点，则点的坐标可由点来表示，从而能求点的轨迹方程．引申：设定点，是椭圆上动点，求线段中点的轨迹方程．解法剖析：①（代入法求伴随轨迹）设，；②（点与伴随点的关系）∵为线段的中点，∴；③（代入已知轨迹求出伴随轨迹），∵，∴点的轨迹方程为；④伴随轨迹表示的范围．练习：书本P42页练习3例5：如图，设，的坐标分别为，．直线，相交于点，且它们的斜率之积为，求点的轨迹方程．分析：若设点，则直线，的斜率就可以用含的式子表示，由于直线，的斜率之积是，因此，可以求出之间的关系式，即得到点的轨迹方程．解法剖析：设点，则，；代入点的集合有，化简即可得点的轨迹方程．引申：如图，设△的两个顶点，，顶点在移动，且，且，试求动点的轨迹方程．引申目的有两点：①让学生明白题目涉及问题的一般情形；②当值在变化时，线段的角色也是从椭圆的长轴→圆的直径→椭圆的短轴．练习：书本P42页练习4活动四：归纳整理、提高认识（2分钟）说说本节学习的内容？ 说说求椭圆的方程各种方法？活动五：作业布置、提高巩固1．书面作业：书本P50 B组1、2 板书设计： 椭圆及其标准方程二1、椭圆的方程的各种求法 例1： 例2：
教学后记：
