2024-2025年人教版九年级上册数学期末专题提升训练01：解一元二次方程（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
中小学教育资源及组卷应用平台
专题01：解一元二次方程--2024-2025年人教版九年级上册数学期末专题提升
1．用适当的方法解方程：
(1)； (2)．
2．用适当的方法解方程：
(1)； (2)．
3．计算：
(1)； (2)．
4．解方程：
(1)； (2)
5．用适当的方法解方程：
(1) (2)
6．解一元二次方程：
(1)； (2)
7．用适当的方法解下面的方程：
(1)； (2)．
8．解方程：
(1)； (2)．
9．解方程：
(1) (2)
10．解下列方程：
(1) (2)
11．用适当的方法解下列方程：
(1)； (2)．
12．解下列方程：
(1)； (2)．
13．用适当的方法解下列方程：
(1)； (2)．
14．用适当的方法解一元二次方程：
(1) (2)
(3) (4)
15．解方程：
(1)； (2)．
16．解方程．
(1)． (2)．
17．解方程：
(1)； (2)．
18．解方程：
(1)； (2)．
19．解方程：
(1)； (2)．
20．解方程
(1) (2)
21．解方程：
(1)； (2)．
22．解方程
(1) (2)
23．解方程：
(1)； (2)．
24．用适当的方法解下列方程．
(1)； (2)．
中小学教育资源及组卷应用平台
中小学教育资源及组卷应用平台
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
参考答案：
1．(1)
(2)
【分析】本题考查了解一元二次方程；
（1）先移项，然后根据因式分解法解一元二次方程，即可求解；
（2）根据公式法解一元二次方程，即可求解．
【详解】（1）解： ；
∴
∴
∴或
∴
（2）解：
∵
∴
∴
∴
2．(1)，
(2)，
【分析】本题考查了解一元二次方程；
（1）根据配方法解一元二次方程，即可求解；
（2）根据公式法解一元二次方程，即可求解．
【详解】（1）解：，
∴，
∴，
∴，，
（2）解：
∵，，，
方程有两个不相等的实数根．
∴，
，．
3．(1)，
(2)，
【分析】本题考查了解一元二次方程；
（1）先求出，再由求根公式，即可求解；
（2）对方程左边进行因式分解，由的形式可得或，即可求解；
选用恰当的方法解方程是解题的关键．
【详解】（1）解：，，，
，
，
，；
（2）解：，
或，
，．
4．(1)
(2)
【分析】本题考查了解一元二次方程；
（1）根据直接开平方法解一元二次方程即可求解；
（2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．
【详解】（1）解：
∴，
解得：
（2）解：，
∴，
∴或，
解得：
5．(1)，
(2)，
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题关键是熟练掌握解一元二次方程的常用方法，如直接开方法、配方法、公式法、因式分解法等．
（1）首先按照移项、二次项系数化为1的步骤将原方程整理为，等号两边同时加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式进行配方，然后求解即可获得答案；
（2）将方程等号右边部分移动到左侧，再提公因式可得，利用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
∴，
∴，；
（2）解：，
，
，
或
∴，．
6．(1)，；
(2)，．
【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
（1）运用配方法求解可得；
（2）运用直接开平方法求解可得．
【详解】（1）解：，
移项得，
配方得，即，
或，
，；
（2）解：，
开方得，
或，
，．
7．(1)
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键．
（1）用因式分解法求解即可；
（2）移项后用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴或，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴．
8．(1)，
(2)，
【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）运用公式法直接求出方程的解即可；
（2）先移项整理，再提取公因式得出，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，；
（2）解：移项，得，
原方程可化为，
因式分解，得，
∴或，
∴，．
9．(1)，
(2)，
【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：，
，
即：，
或，
，；
（2）解：，
整理，得：，
即：，
或，
，．
10．(1)，
(2)，
【分析】本题考查解一元二次方程，掌握直接开平方法和公式法是解题的关键．
（1）把方程化为：，再利用直接开平方法求解；
（2）先求解，再利用求根公式解方程即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴或，
解得：，；
（2）解：，
∴，
∴，
解得：，．
11．(1)，
(2)
【分析】本题主要考查解一元二次方程．熟练掌握解一元二次方程的各种方法，选择恰当的方法解方程是解题的关键．
（1）运用因式分解法解方程即可；
（2）运用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）解：
或
解得，；
（2）解：整理，得，
即，
解得，．
12．(1)
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
（1）利用配方法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：
，
，
即，
∴，
∴；
（2）
∴
则
∴或，
解得
13．(1)，
(2)，
【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
（）利用公式法解答即可求解；
（）把右式移到左边，再利用因式分解法解答即可求解；
【详解】（1）解：，，，
∵，
∴，
∴，；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴或，
∴，．
14．(1)
(2)无实数根
(3)
(4)
【分析】本题考查了解一元二次方程；
（1）整理成一般式后，先提取公因式去因式分解，再解方程即可；
（2）配方得到，即可得到此方程无实数根；
（3）利用平方差公式因式分解，再解方程即可；
（4）配方得到，再开平方求解即可．
【详解】（1）解：
整理得：
，
解得：，；
（2）解：
配方得：，
故此方程无实数根；
（3）解：
，
整理得：
解得：，；
（4）解：，
配方得：，
即，
直接开平方得：，
解得：，．
15．(1)，
(2)，
【分析】本题考查解一元二次方程，
（1）将常数项移至方程的右边，然后利用直接开平方法求解即可；
（2）先确定、、的值，再代入，即可得解；
解题的关键是掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法）并根据情况灵活适当的方法求解．
【详解】（1）解：，
，
∴，
∴，；
（2），
此时、、，
∵，
∴，
∴，．
16．(1)
(2)
【分析】本题主要考查解一元二次方程：
（1）方程用直接开平方法求解即可；
（2）方程用配方法求解即可．
【详解】（1）解：
解得：；
（2）解：
．
解得：．
17．(1)，
(2)，
【分析】本题考查解一元二次方程—因式分解法，也考查了配方法解一元二次方程．
（1）利用平方差公式进行因式分解解方程即可；
（2）利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程．
【详解】（1）解：
，
，
，
，
或，
∴，；
（2）解：，
，
，
，
∴，．
18．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解一元二次方程：
（1）利用公式法解方程即可；
（2）把方程左边利用十字相乘法分解因式，再解方程即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
解得；
（2）解：∵，
∴，
∴或，
解得．
19．(1)
(2)
【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键；
（1）先移项，然后根据直接开平方法可进行求解；
（2）先移项，然后利用因式分解法求解方程即可．
【详解】（1）解：
即；
（2）解：
解得：．
20．(1)
(2)
【分析】本题考查了解一元二次方程．
（1）先将常数项移到等号右边，再根据完全平方公式进行配方，最后开方，即可解答；
（2）将当做一个整体，将等号左边进行因式分解，用因式分解法即可解答．
【详解】（1）解：，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
．
21．(1)
(2)
【分析】本题考查了解一元二次方程，
（1）利用配方法解一元二次方程，即可解答；
（2）利用因式分解法解一元二次方程，即可解答．
【详解】（1）解：，
∴，
∴，
∴，
解得：；
（2）解：
∴
∴
∴
∴或
解得：
22．(1)，；
(2)，．
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．
（1）利用配方法解一元二次方程即可；
（2）移项，然后利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】（1）
解得，；
（2）
或
解得，．
23．(1)，
(2)，
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌一元二次方程的解法．
（1）利用配方法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：
，
（2）解：
或
，
24．(1)，
(2)，
【分析】本题考查了公式法和因式分解法解一元二次方程，熟练掌握解方程的方法是解决问题的关键．
（1）先计算，再用求根公式解一元二次方程即可．
（2）把方程化为：，再化为两个一次方程求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，；
（2）解：∵，
∴，即，
∴或，
∴，．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)