2024-2025年人教版九年级上册数学期末专题提升训练03：换元法解一元二次方程问题（含解析）

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专题03：换元法解一元二次方程问题--2024-2025年人教版九年级上册数学期末专题提升
一、单选题
1．若关于的一元二次方程有一个根2024，则方程必有一个根为（ ）
A．2026 B．2024 C．2023 D．2025
2．若，则的值是（ ）
A．2 B．3 C．或3 D．2或
3．已知方程的解是，，则方程的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．若，则的值为（ ）
A．4 B． C． D．4或
5．若关于的方程的解为，，则方程的解为（ ）
A． B．
C． D．
6．如果，则的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．1或
7．若，则的值为（ ）
A．2或 B．或6 C．6 D．2
8．若实数x，y满足，则的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D．或2
9．实数满足方程，则的值等于（ ）
A． B． C．或 D．或
10．已知一元二次方程的解是，，则一元二次方程的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
二、填空题
11．已知方程的解是，，则方程的解 ．
12．已知关于的方程有实数解，则的取值范围为 ．
13．已知 ，则代数式 的值为 ．
14．已知关于x的一元二次方程的解是，，则另一个方程的解是 ．
15．已知，则 ．
16．已知x为实数，且满足，那么的值为 ．
17．已知实数a，b满足，则的值为 ．
18．如果实数x满足，那么的值是 ．
三、解答题
19．解方程：
(1)； (2).
20．【材料】请你先认真阅读材料并解决下面问题．
已知关于、的方程，求的值．
解：设，则方程变形为：
，
即或
(1)【引申】已知，则_____________．
(2)【拓展】已知，求的值．
21．解方程时，我们可以将视为一个整体，设，则，原方程化为，解此方程，得，，
当时，，，∴；
当时，，，∴．
∴原方程的解为，，，．
以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想．
运用上述方法解答下列问题：
(1)；
(2)．
22．阅读下面材料，然后解答问题：
解方程：．
分析：本题实际上一元四次方程．若展开按常规解答对于同学们来说还是有一定的挑战性．解高次方程的基本方法是“降次”，我们可以把视为一个整体设为另外一个未知数，可以把原方程降次为一元二次方程来继续解答．我们把这种换元解方程的方法叫做换元法．
解：设，则原方程换元为．
，解得：，
或．
解得，，，．
请参考例题解法，解下列方程：
(1)；
(2)．
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参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B A A B A D C B A
1．A
【分析】本题考查换元法解一元二次方程，根据题意，得到方程必有一根为，求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵一元二次方程有一个根2024，
∴必有一根为，
解得：；
故选：A．
2．B
【分析】本题主要考查了解一元二次方程以及非负数的应用，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键．
设，根据题意可得，整理并求出的值，结合，确定符合题意的的值，即可获得答案．
【详解】解：设，根据题意可得，
整理可得，
∴，
∴，，
∵，
∴，即．
故选：B．
3．A
【分析】本题考查了一元二次方程的解，以及换元法求方程的解，熟练掌握换元法求方程的解是解题的关键．
令，即可得出，，计算求解即可．
【详解】解：令，
即，
∵方程的解是，，
∴，，
∴或，
解得，，
故选：A．
4．A
【分析】本题考查了换元法、因式分解法解一元二次方程．熟练掌握换元法、因式分解法解一元二次方程是解题的关键．
令，，则，然后利用因式分解法解方程即可．
【详解】解：令，，
∴，
，
∴，，
解得，（舍去），，
故选：A．
5．B
【分析】此题考查的是根据已知方程的解，求新方程的解，掌握换元法是解决此题的关键．设方程中，，根据已知方程的解，即可求出关于t的方程的解，然后根据即可求出结论．
【详解】解：设方程中，
则方程变为
∵关于的方程的解为，，
∴关于的方程的解为，，
∴对于方程，或，
解得：，，
故选B．
6．A
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用以及非负数的性质，将转换为一元二次方程是解题关键．设，再将转换为一元二次方程并求解，结合非负数的性质即可获得答案．
【详解】解：设，
根据题意可得，，
解得，，
∵，，
∴，
∴．
故选：A．
7．D
【分析】设，则有，再用因式分解法求解得，，再根据，即可求解．
【详解】解：设，则有，
∴，
，
或，
∴，，
∵，
∴，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握用用因式分解法解一元二次方程是解题的关键，注意整体思想的运用．
8．C
【分析】设：，则变为，进而解含a的一元二次方程，即可求出的值．
【详解】解：设：，则变为，
∴，则，
解得：，，
即的值为或1，
故选：C．
【点睛】本题考查解一元二次方程，整体思想，能够将方程转化为一元二次方程是解决本题的关键．
9．B
【分析】运用换元法解方程，再根据根的判别式判断根的情况，由此即可求解．
【详解】解：根据题意，设，则原式变形得，
因式分解法解一元二次方程得，，
∴，，
当时，，变形得，，根据判别式，无实根；
当时，，变形得，，根据判别式，方程有两个实根；
∴，
故选：．
【点睛】本题主要考查换元法解高次方程，掌握换元法解方程的方法，根的判别式判断根的情况等知识是解题的关键．
10．A
【分析】由这两个方程结合整体思想，可得，，解这两个一元一次方程即得方程的解．
【详解】∵一元二次方程的解是，，
∴一元二次方程中，，，
解得：，，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，整体思想解一元二次方程，关键是把方程中的当作一个整体，则此方程与毫无二致．
11．，
【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，设，则方程化为，利用方程的解是，得到，，然后分别计算对应的x的值可确定方程的解．
【详解】解：设，则方程化为，
∵方程的解是，，
∴方程为的解是，，
当时，，解得；
当时，，解得，
∴方程的解是，．
故答案为：，．
12．或
【分析】本题主要考查了一元二次方程，换元法解一元高次方程，方程有实数解的问题等知识点，对于高次方程，可以尝试通过变形将其转化为我们熟悉的解一元二次方程的形式来求解，然后根据非负数的性质和不等式的性质来确定a的取值范围，熟练掌握换元法变形方程是解决此题的关键．
【详解】∵当时，方程左边，
∴不是方程的解，
∴将方程两边同时除以得，
，
整理可得，
令，则，
∴，
∴原方程就变为，即，
∵方程有实数解，
∴，
∴或，
当时， ，
∴，
∴，
当时， ，
∴，
∴，
∵，
∴或，
设方程的两根，，
∴，，
∴，
∴，
当时，，
∴当时，，
∴，
∴，
同理可得，时，，
综合以上情况，a的取值范围是或，
故答案为：或．
13．1
【分析】本题主要查了解一元二次方程，将看作整体是解题关键．利用直接开平方法解答，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴或，
∵，
∴，
∴．
故答案为：1
14．或
【分析】本题考查了一元二次方程的解．熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键．
令，则整理为，由题意知，的解是，，即或，计算求解即可．
【详解】解：令，
∴整理为，
∵关于x的一元二次方程的解是，，
∴的解是，，
∴或，
解得或，
故答案为：或．
15．5
【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，掌握运用换元法解一元二次方程是解题关键．
根据换元法可得一元二次方程，然后运用因式分解法解一元二次方程即可解答．
【详解】解：设，
则，
∴，
则或，
∴或（舍去）；
∴．
故答案为：5．
16．
【分析】本题考查解一元二次方程及二次三项式的最值，根据多项式配方得到取值范围，解一元二次方程即可得到答案
【详解】解：设，
∵，
∴，
原方程变形得：，
解得：，（不符合题意舍去），
故答案为：．
17．3
【分析】本题考查了一元二次方程解法的应用，解决本题的关键是用换元法解一元二次方程．把看作是一个整体，设，则原式可转化为，解方程可得x， 即)的值，注意x为非负数．
【详解】解：设，
则：，整理得：，
即，
解得，
，
的值为3．
故答案为：3．
18．3
【分析】本题主要考查了用换元法解一元二次方程、解分式方程，利用完全平方公式把方程变形是解题的关键．
利用完全平方公式把方程变形为，利用换元法，设，则，转化为解一元二次方程，求出可能的值，分别得出分式方程，计算检验是否有解，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
，
设，则，
因式分解得：，
∴或，
解得：或，
当时，则，
整理得：，
∴，
解得：，，
经检验，，都是方程的解，
∴的值为；
当时，则，
整理得：，
，
∴时，方程无解．
综上所述，的值为，
故答案为：．
19．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握换元法成为解题的关键.
（1）先用直接开平方法整体求出，进而求得方程的解；
（2）设，则有，然后用因式分解法求得y，进而完成解答.
【详解】（1）解：，
，
所以.
（2）解：设，则有，
，
∴，
∵，
∴.
20．(1)
(2)或
【分析】本题考查了换元法解一元一次方程与一元二次方程；
（1）设进而解一元一次方程，即可求解；
（2）设，得出，解一元二次方程，即可求解．
【详解】（1）解：设
∴，
∴
故答案为：10；
（2）设
∴
∴
∴
解得：或
即或
21．(1)，
(2)，
【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根的判别式等知识，利用换元法解一元二次方程是解题关键．
（1）先把要求的式子变形为，再进行因式分解，求出符合条件的的值，从而得出的值；
（2）根据已知条件设求出的值，即可获得答案．
【详解】（1）解：，
设，则原方程化为，
∴，
∴或（舍去），
即，
∴，；
（2）解：，
设，则原方程化为，
∴，
∴或，
当时，可有，解得，，
当时，可有，
∵，
∴该方程无解，
∴原方程的解为，．
22．(1)
(2)
【分析】本题主要考查换元法在解一元二次方程中的应用，配方法解一元二次方程；
（1）设，把原方程化为，然后求解；
（2）设，，把原方程化为，然后求解．
【详解】（1）解：设，则，
∴，
解得：或（舍去），
即，
解得．
（2）设，则，
则，
∴，
解得：（舍）或，
即，
∴，
∴，
∴
∴
解得：．
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