2024-2025年人教版九年级上册数学期末专题提升训练06：一元二次方程的应用（数字问题）（含解析）

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专题 06：一元二次方程的应用（数字问题）--2024-2025年人教版九年级上册数学期末专题提升训练
一、单选题
1．两个相邻奇数的积是195，则这两个奇数的和为（ ）
A．26 B．28 C．或26 D．或28
2．两个数的差等于，积等于，则这两个数为（ ）
A．， B．， C．， D．，或，
3．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，则这个两位数是（ ）
A．26 B．84 C．48 D．62
4．若一个两位数等于它的十位数字与个位数字和的平方的三分之一，且个位数字比十位数字大5，则这个两位数是（ ）
A．27 B．72 C．27或16 D．或
5．有一个两位数，它的数字和等于8，交换数字位置后新的两位数与原两位数之积为1612，则原来的两位数为（　　）
A．26 B．62 C．26或62 D．以上均不对
6．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数大4．设个位数字为，则方程为（　　）
A． B．
C． D．
7．有一个两位数，它的十位上的数字与个位上的数字之和为4．如果把十位上的数字与个位上的数字调换位子后，所得的两位数乘以原来的两位数为．设原来的数的个位上的数字是，则可列方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．如图是某月的月历表，在此月历表上可以用一个矩形圈出个位置相邻的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，设这个最小数为，则下列方程正确的是（　　）

A． B．
C． D．
二、填空题
9．已知一个两位数的十位数字比个位数字大2，两位数字的积比这个两位数小34，则这个两位数为 ．
10．如图是某月的日历，小明说：他用一个平行四边形框，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是，则最大数是 ．
11．一个两位数比它的十位上的数字与个位上的数字之积大40，已知十位上的数字比个位上的数字大2，则这个两位数是 ．
12．两个数和为8，积为9，较大数为 ．
13．若两数的差为3，且它们的积为54，则这两个数为 ．
14．若两个负数的差为4，且它们的积为45，则这两个数中较小的数是 .
15．已知a是一个两位数，十位上的数字比个位上的数字小6，把十位上的数字与个位上的数字对调后得到一个新的两位数b，如果，那么 ．
16．读一读下面的诗词：大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿同．诗词大意是周瑜三十岁当上了东吴都督，去世时年龄是两位数，十位数比个位数小3，个位数的平方等于他去世时的年龄，则他去世时年龄为 ．
三、解答题
17．一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小2，个位数字与十位数字的平方和比这个数小1，求这个两位数．
18．已知一个数与3的和的平方等于这个数的2倍与5的和，求这个数．
19．一个两位数是一个一位数的平方，把这个一位数放在这个两位数的左边所成的三位数，比把这个一位数放在这个两位数的右边所成的三位数大，求这个两位数．
20．如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出 个位置相邻的 个数（如 ），若圈出的 个数中，最大数与最小数的积为 ，则这 个数的和是多少？
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参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D D B A C D A D
1．D
【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设这两个奇数分别为，由题意得方程，求得n的值，即可求得这两个奇数的和．
【详解】解：设这两个奇数分别为，
由题意得：，
即，
解得：，
而，
故两个奇数和为：或28；
故选：D．
2．D
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设这两个数中的大数为，则小数为 ，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键．
【详解】解：设这两个数中的大数为，则小数为 ，
由题意得，,
解得，，
∴小数为或，
∴这两个数为，或，，
故选：．
3．B
【分析】本题考查一元二次方程的应用，设个数上的数字是x，则十位上的数字是，根据题意列一元二次方程，解方程即可．
【详解】解：设个数上的数字是x，则十位上的数字是，
由题意得，，
整理得，，
解得，（舍去），
个数上的数字是4，十位上的数字是，
这个两位数是84，
故选B．
4．A
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设十位上的数字为，则个位上的数字为，根据“一个两位数等于它的十位数字与个位数字和的平方的三分之一”列出一元二次方程，解方程即可得出答案，理解题意，找准等量关系，正确列出方程是解此题的关键．
【详解】解：设这个两位数的十位数字为x，则个位数字为，根据题意得：
，
整理得，
解得，(不合题意，舍去)，
∴，，
∴这个两位数是27．
故选：A．
5．C
【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．首先设原两位数个位数字为，则十位数字为，则原来的两位数是，交换数字位置后得到的新的两位数是，再根据新的两位数与原两位数之积为1612列出方程，再解即可．
【详解】解：设原两位数个位数字为，则十位数字为，由题意得：
，
解得：，，
当时，，
当时，，
则原来的两位数为62或26，
故选：C
6．D
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，数的表示方法，要会利用未知数表示两位数，然后根据题意列出对应的方程求解．
根据个位数与十位数的关系，可知十位数为，那么这两位数为：，这两个数的平方和为：，再根据两数的值相差4即可得出答案．
【详解】解：依题意得：十位数字为：，这个数为：
这两个数的平方和为：，
两数相差4，
．
故选：D．
7．A
【分析】本题主要考查一元二次方程，准确理解题意是解题的关键．根据题意列出方程即可．
【详解】解：由题意可得：，
故选A．
8．D
【分析】由圈出的9个数可知最大数与最小数的差为16，设这个最小数为，则圈出的9个数中最大数为，由“最大数与最小数的积为192”即可列出方程，得到答案．
【详解】解：由圈出的9个数可知：最大数与最小数的差为：，
设这个最小数为，则圈出的9个数中最大数为，
根据题意得：，
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据题意得出圈出的9个数中最大数与最小数的差为16是解题的关键．
9．或
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设个位数字为，则十位数字为，根据两位数字的积比这个两位数小34，列出方程进行求解即可．
【详解】解：设个位数字为，则十位数字为，
由题意，得：，
解得：或，
∴这个两位数为：或；
故答案为：或
10．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据日历中的数字规律，确定最大数与最小数是解题的关键．设最小数为x，根据题意，得到最大数为，列出方程为，解方程即可．
【详解】设最小数为x，则最大数为，
，
，
即，
解得（舍去），
最大数为．
故答案为：．
11．64或75
【分析】可设个位数字为，则十位上的数字是．等量关系：十位上的数字与个位上的数字的积这个两位数．本题考查了一元二次方程的应用．正确理解关键描述语，找到等量关系准确列出方程是解决问题的关键．
【详解】解：设个位数字为，则十位上的数字是，
根据题意得，
整理，得，即，
解得，（不合题意，舍去），
当时，，这个两位数是64；
当时，，这个两位数是75．
答：这两位数是64或75．
故答案为：64或75．
12．
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，设其中一个数为x，则另一个数为，则，解方程即可得到答案．
【详解】解：设其中一个数为x，则另一个数为，
∴，
∴，
解得或，
∴较大的数为（因为一个数为，另一个数为），
故答案为：．
13．或
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．设较小的数为，则较大的数为，根据积为54，列方程即可解答．
【详解】解：设较小的数为，则较大的数为，
可得方程，
解得，
较大的数为或，
故答案为：或．
14．
【分析】此题考查了一元二次方程的应用．设较小的数为，那么较大的数应该为，根据它们的积为45，列出方程，求出的值，再根据是两个负数，得出符合条件的值即可．
【详解】解：设较小的数为，根据题意得：
，
解得：，（不合题意，舍去）
则这两个数中较小的数是；
故答案为：．
15．39
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确列出方程是解答本题的关键． 设十位上的数字为x，则个位上的数字为，根据列方程求解即可．
【详解】解：设十位上的数字为x，则个位上的数字为，
，
解得（舍），或，
．
故答案为：39．
16．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设他去世时年龄的个位数为x，则设他去世时年龄的十位数为，然后根据个位数的平方等于他去世时的年龄列出方程即可．
【详解】解：设他去世时年龄的个位数为x，则设他去世时年龄的十位数为，
由题意得，，
解得：，
∴他去世时年龄为或，
又∵他去世时的年龄大于，
∴他去世时的年龄为
故答案为：．
17．35
【分析】本题考查了一元二次方程的应用；用到的知识点为：两位数十位数字个位数字．
等量关系为：个位上的数字与十位上的数字的平方和这个两位数，把相关数值代入求得整数解即可．
【详解】解：设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为，
依题意得：，
整理得：，
解得：（舍），，
这个两位数为35．
18．
【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据已知数量关系列一元二次方程，再解方程即可，正确列出方程是解题的关键．
【详解】解：设这个数为x，
由题意得：，
整理得：，即，
解得，
即这个数为．
19．16或49
【分析】设一位数为，则两位数为，根据题意列出方程求解即可．
【详解】设一位数为，则两位数为．
则根据题意可得：，
整理得：．
分解得：，
解得：，．
答：这个两位数为16或49．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，把一个一位数放在这个两位数的左边所成的三位数，可以表示为；把一个一位数放在这个两位数的右边所成的三位数，可以表示为，读懂题意，找出等量关系式是解题的关键．
20．
【分析】设最小数为 ，则最大数为 ，根据题意列出方程求解，然后确定这9个数求和即可．
【详解】解：设最小数为 ，则最大数为 ，
根据题意，得
解得
故这 个数为
所以这 个数的和为 ．
【点睛】题目主要考查一元二次方程的应用及有理数的加法的应用，理解题意，列出方程是解题关键．
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