2024-2025年人教版九年级上册数学期末专题提升训练08：一元二次方程的应用（动态几何问题）（含解析）

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专题 08：一元二次方程的应用（动态几何问题）--2024-2025年人教版九年级上册数学期末专题提升训练
一、单选题
1．如图，在矩形中，，，动点，同时出发，点从点出发以的速度向点移动，一直到达点为止，点从点出发以的速度向点移动，则当点和点的距离是时，，两点出发了（ ）
A． B．s或 C．s或 D．s
2．如图，中，，，，点P从点B出发向终点C以每秒1个单位长度的速度移动，点Q从点C出发向终点A以每秒2个单位长度的速度移动，P，Q两点同时出发，其中一点先到达终点时P，Q两点同时停止移动．则当的面积等于8时，经过了（ ）
A．1秒 B．6秒 C．8秒 D．1秒或8秒
3．如图所示，在中，，，，点P以的速度从点A开始沿边向点B移动，点Q以的速度从点B开始沿边向点C移动，且点P，Q分别从点A，B同时出发．若有一点到达目的地，则另一点同时停止运动．要使P，Q两点之间的距离等于，则需要经过（ ）
A． B． C． D．或
4．如图所示，中，，，，点从点开始沿向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，那么多少秒后，线段将分成面积的两部分（ ）
A．2 B．4 C．2或4 D．2或6
5．如图，在中，，，，动点P，Q分别从点A，B同时开始沿，运动（运动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，当点Q移动到点C时，两点同时停止运动，设运动的时间为，当的面积为时，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，一直到达点为止;同时，点从点出发沿边以的速度向点移动． 设运动时间为，当时，（ ）

A． B．或4 C．或 D．
7．如图，将边长为的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到，若两个三角形重叠部分的面积为，则它移动的距离等于（ ）

A． B． C．或 D．
8．如图，在等腰中，，，动点P从点A出发沿向点B移动，作，，当的面积为面积的一半时，点P移动的路程为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，中，，，，点从点开始沿向点以的速度运动，点从点开始沿边向点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，那么 秒后，线段将分成面积的两部分．
10．如图，在中，，，，点D从点C开始沿边运动，速度为，与此同时，点E从点B开始沿边运动，速度为，当点E到达点C时，点D同时停止运动，连接，设运动时间为，的面积为S．当时， s．
11．如图，在中，，，，是中点，动点从点出发沿边向点以的速度移动，同时动点从点出发沿边向点以的速度移动，当运动到点时两点同时停止运动，连接、，为 时的面积为．
12．如图，在中，，动点P从点C出发，沿方向运动，动点Q从点B出发，沿方向运动，如果点P，Q的运动速度均为．那么运动 秒时，它们相距？
13．如图，在边长为正方形中，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿和边向D点以的速度移动，如果点P、Q分别从A、B同时出发，其中一点到终点，另一点也随之停止．过了 秒钟后，的面积等于．
14．如图，菱形中，，交于，，，动点从出发沿方向以每秒匀速直线运动到，动点从出发沿方向以每秒匀速直线运动到，若，同时出发，问出发后 s时，的面积为菱形面积的？

15．如图，在中，，，点从点出发，沿射线方向以的速度移动，点从点出发，沿射线方向以的速度移动，如果、两点同时出发，问：经过 秒后的面积等于．

16．如图，在四边形中，，，，，．动点P从点D出发，沿射线的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P、Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动．设运动的时间为t秒，当 时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形．
三、解答题
17．如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．若，两点同时出发，当点运动到点时，，两点同时停止运动．求：
(1)经过几秒后，的长度等于？
(2)请直接写出的面积能否等于？
18．在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿向终点以的速度移动，如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为．

(1)填空：________，_______（用含的代数式表示）；
(2)当为何值时，的长为？
(3)是否存在的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时的值，若不存在，请说明理由．
19．在矩形中，，，点从出发，沿以的速度向点B匀速移动，同时点从点出发，沿以的速度向点匀速移动．设运动的时间为．
(1)______，______；
(2)为何值时，的面积等于？
20．如图，菱形中， 交于点 O， ，动点 M 从 A 点出发沿方向以匀速直线运动到 C 点，动点 N 从 B 点出发沿方向以匀速直线运动到 D 点．若 M，N 同时出发，设运动时间为 t 秒：

(1)当时， ， ．（用 t 表示）
(2)当秒时， 的面积为多少？
(3)点 M 到达点 C 后立即原路返回，速度保持不变，直到点 N 到达 D 后同时停止运动，那么在整个移 动过程中，是否存在某一时刻，使得的面积为？若存在，求出运动时间；若不存在，请说 明理由．
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参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A A C D C D B
1．B
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，矩形的性质，利用勾股定理，找出等量关系是解题的关键．过点作于点，则四边形是矩形，当运动时间为秒时，，，则，根据题意得：，即，即可求解．
【详解】解：如图，过点作于点，则四边形是矩形，
（秒），
当运动时间为秒时，，，
，
根据题意得：，
即，
整理得：，
解得：，，
当点和点的距离是时，、两点出发了秒或秒．
故选：B．
2．A
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键．
设经过了秒，的面积等于8，用含的代数式表示和，根据三角形的面积公式建立方程，求解即可．
【详解】解：设经过了秒，的面积等于8，则
，
解得：，，
∵点Q从点C到点A需要的时间是：（秒），
∴，不合题意，应舍去，
因此，则当的面积等于8时，经过了1秒.
故答案为：A．
3．A
【分析】本题主要考查勾股定理以及一元二次方程的应用．根据勾股定理列出方程是解题的关键．
设经过，P、Q之间的距离等于，先用含x的代数式分别表示和的长度，进一步利用勾股定理建立方程求得答案即可．
【详解】设后P、Q之间的距离等于，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得，（不合题意，舍去），
∴，
需要经过．
故选：A．
4．C
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找出等量关系正确列方程是解题关键．
设运动时间为，根据题意可得，，再根据三角形面积公式分两种情况求解即可．
【详解】解：设运动时间为，则，
，
，
∵线段将分成面积的两部分，
或，
或，
整理得：或（无实数解）．
解得：，
即线段将分成面积的两部分，运动时间为2或4秒．
故选：C．
5．D
【分析】本题考查一元二次方程在几何图形中的应用，当运动时，，，根据“的面积为”即可列出方程．
【详解】当运动时，，，，
∵，
∴，
即．
故选：D
6．C
【点评】此题考查了一元二次方程的运用．利用作垂线，构造直角三角形，运用勾股定理列方程是解题关键．
作，垂足为H，设运动时间为t秒，用t表示线段长，用勾股定理列方程求解．
【详解】解：设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是,
作，垂足为H，

则，，.
，
可得：，
解得，．
答：P，Q两点从出发经过或秒时，点P，Q间的距离是.
故答案为：C.
7．D
【分析】根据平移的性质，结合阴影部分是平行四边形，与都是等腰直角三角形，则若设，则阴影部分的底长为x，高，根据平行四边形的面积公式即可列出方程求解．
【详解】解：设交于H，交于点G，

由平移的性质知，，
∴四边形是平行四边形，
∵由正方形的性质可得：，，
∴是等腰直角三角形，
同理，也是等腰直角三角形，
设，则阴影部分的底长为x，高，
∴，
∴．
即．
故选：D．
【点睛】此题考查解一元二次方程、平行四边形的判定及性质，平移的性质，等腰直角三角形的判定，根据平移的性质得到四边形是平行四边形是解题的关键.
8．B
【分析】设AP＝xcm，则PB＝（8 x）cm，求出∠A＝45°，∠APR＝90°，得到PR＝PA＝xcm，然后根据 PQCR的面积为△ABC面积的一半列方程求解即可．
【详解】解：设AP＝xcm，则PB＝（8 x）cm，
∵∠B＝90°，AB＝BC＝8cm，
∴∠A＝45°，
∵PRBC，
∴∠APR＝90°，
∴PR＝PA＝xcm，
∵ PQCR的面积为△ABC面积的一半，
∴，
解得：，
∴点P移动的路程为4cm．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，一元二次方程的应用，根据几何图形的性质得出方程是解题的关键．
9．2或4/4或2
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找出等量关系正确列方程是解题关键．设运动时间为，根据题意可得，，再根据三角形面积公式分两种情况求解即可．
【详解】解：设运动时间为，则，，
∵，，
∴cm，
∵线段将分成面积的两部分，
∴或，
∴，或，
整理得：或（无实数解），
解得，，
即线段将分成面积的两部分，运动时间为2或4秒．
故答案为：2或4．
10．3
【分析】本题主要考查动点问题，涉及解一元二次方程，根据题意得，，，，并求得t的取值范围为，利用面积公式可列出，求解即可．
【详解】解：∵点D从点C开始沿边运动，速度为，
∴，，
∵，点E从点B开始沿边运动，速度为，
∴，，
根据题意知t的最大值为，即，
∵，，
∴，
则，
解得： ，（舍去），
∴当时，．
故答案为：3．
11．或
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，三角形面积，三角形中位线定理，过点作于，利用三角形中位线定理求得的长度；然后根据题意得，然后列出方程，求出方程的解即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】根据题意得：，，
∴，，
过点作于，
∵，即，
∴，
又∵是的中点，
∴，是的中位线，
∴，
∵，
∴，
整理，得，
解得：，，即当或时，的面积是，
故答案为：或．
12．9或12
【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，设运动t秒时，P，Q两点相距15厘米，利用勾股定理结合，可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论
【详解】解：设运动t秒时，P，Q两点相距15厘米，
依题意，得：，
解得：，
∴运动9秒或12秒时，P，Q两点相距15厘米；
故答案为：9或12．
13．2或
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用的知识点，解答本题的关键是Q点的运动位置，此题很容易漏掉一种情况，此题难度一般．设经过x秒，的面积等于，分类讨论当秒时，Q点在上运动，P在上运动，求出面积的表达式，求出一个值，当秒时，Q点在上运动，P在上运动，根据条件列出一个一元一次方程，求出一个值．
【详解】解：设经过x秒，的面积等于，
当秒时，Q点在上运动，P在上运动，
，，
∴，
解得或4，
又知，
故符合题意，
当秒时，Q点在上运动，P在上运动，
，
解得．
故答案为：2或．
14．1或4
【分析】本题考查了菱形的性质，一元二次方程的应用及分类讨论的数学思想，解题的关键是根据出发后时间的多少确定列方程的方法．
根据点、运动过程中与点的位置关系，分当时，点在线段上，点在线段上、当时，点在线段上，点在线段上和当时，点在线段上，点在线段上三种情况分别讨论．
【详解】解：设出发后秒时，．
四边形是菱形，，，
，，，，
，
当时，点在线段上，点在线段上．
此时，，
则；
解得，（舍去）
当时，点在线段上，点在线段上，
此时，
则；化简为，
此时方程，原方程无实数解；
当时，点在线段上，点在线段上，
此时，，
则；
解得（舍去），
综上所述，出发后或时，．
故答案为：1或4．
15．或或
【分析】过点作于点，则，当运动时间为秒时，，，，，根据的面积等于，即可得出关于t的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【详解】解：过点作于点，则，如图所示．

当运动时间为秒时， ，，， ，
依题意得：．
当时，，
解得：，；
当时，，
解得：不符合题意，舍去，．
经过或或秒后，的面积等于．
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
16．或
【分析】本题考查矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解一元二次方程等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．本题应分三种情况进行讨论，①若，在中，由，，将各数据代入，可将时间求出；
②若，在中，由，，将数据代入，可将时间求出；
③若，则，可将时间求出．
【详解】解：过点作于，则四边形为矩形．
由图可知，，，若以、、为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：
①若，在中，，由得，解得；
②若，在中，，由得，即，
此时，，
所以此方程无解，．
③若，则，，
综上所述，当或时，以，，三点为顶点的三角形是等腰三角形．
故答案为：或．
17．(1)3秒
(2)不能
【分析】此题主要考查了一元一次方程，一元二次方程的应用以及勾股定理的应用，三角形的面积，找到关键描述语得出等量关系是解决问题的关键．
（1）设出发t秒时，则，，根据的长度等于，在中，由勾股定理可得答案；
（2）令，根据三角形的面积公式列出方程，再根据得出方程没有实数根，从而得出的面积不能等于．
【详解】（1）解：设出发t秒时，则，，，
根据题意得，，
∴，
解得：（不符合题意，舍去），．
故3秒后，的长度为．
（2）解：不能，
假设经过t秒后，的面积等于，
即，
∴，
整理得：，
由于，
则方程没有实数根，
∴的面积不能等于．
18．(1)，
(2)当的值为或时，的长为；
(3)当时，使得五边形的面积等于．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，以及勾股定理的应用，利用含t的代数式表示各自线段的关系，根据题干数量关系即可确立等量关系式是解题的关键．
（1）根据点从点开始沿边向终点以的速度移动，可以求得；
（2）用含的代数式分别表示和的值，运用勾股定理列式，据此求出值；
（3）根据题干信息使得五边形的面积等于的值存在，利用长方形的面积减去的面积即可，则的面积为，由此求得值．
【详解】（1）解：点从点开始沿边向终点以的速度移动，，故为，
点从点开始沿向终点以的速度移动，故，
故答案为：，；
（2）解：由题意得：，
解得：，；
当的值为或时，的长度等于；
（3）解：存在，能够使得五边形的面积等于．理由如下：
长方形的面积是：，
使得五边形的面积等于，则的面积为，
，
解得：（不合题意舍去），．
即当时，使得五边形的面积等于．
19．(1)，；
(2)为或时，的面积等于．
【分析】（）根据题意列出代数式即可；
（）根据，然后解一元二次方程即可求解；
本题考查了一元二次方程的应用，列代数式，读懂题意，列出一元二次方程是解题的关键．
【详解】（1）解：依题意可知：，，
∴，，
故答案为：，；
（2）解：由（）得：，，，，
∵的面积等于，
∴，
∴，
∴，
整理得：，
解得：，，
答：为或时，的面积等于．
20．(1)
(2)8
(3)或或
【分析】本题主要考查了菱形的性质，动点问题，一元二次方程的应用，
对于（1），先根据菱形的性质求出，可确定时，两个点的位置，即可得出答案；
对于（2），先分别求出，再根据面积公式求出答案；
对于（3），分，，，四种情况，分别表示，再根据面积等于列出方程，求出解即可．
【详解】（1）∵四边形时菱形，
∴．
根据题意可知，
当时，
点M在上，点N在上，
∴，．
故答案为：，；
（2）当时，，
∴，
∴；
（3）存在，理由如下：
当时，
根据题意得，
∴，
∴，
解得或（舍）；
当时，
根据题意得，
∴，
∴，
无解；
当时，
根据题意得，
∴，
∴，
解得或（舍）；
当时，
根据题意得，
∴，
∴，
解得或（舍）．
所以或或．
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