2024-2025年人教版九年级上册数学期末专题提升训练11：二次函数图象平移问题（含解析）

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专题11：二次函数图象平移问题--2024-2025年人教版九年级上册数学期末专题提升训练
一、单选题
1．二次函数的图象向下平移3个单位，再向左平移2个单位，所得到的函数关系式是（ ）
A． B． C． D．
2．将抛物线向右平移4个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式是（ ）
A． B．
C． D．
3．对于抛物线，下列判断不正确的是（ ）
A．抛物线的顶点坐标为
B．把抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线
C．当时，随的增大而增大
D．若点在抛物上，则
4．将抛物线的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得的图象的解析式为，则的值是（）
A．1 B．3 C． D．
5．将抛物线向下平移5个单位后，经过点，则（ ）
A． B． C． D．
6．将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
7．将抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，平移后的抛物线顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．将抛物线通过平移后，得到抛物线的解析式为，则平移的方向和距离是（　　）
A．向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度
B．向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
C．向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度
D．向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
二、填空题
9．将抛物线先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为 ．
10．若二次函数的图象沿轴向左平移个单位长度后经过坐标原点，则 ．
11．把抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是 ．
12．将抛物线向右平移2个单位长度后得到的抛物线的解析式为 ．
13．抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移6个单位长度得到的抛物线解析式为 ．
14．如图所示的抛物线过原点，将该抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后抛物线的函数表达式为 ．
15．在平面直角坐标系中，若抛物线向左平移2个单位长度后经过点，则的最大值为 ．
16．如图，把抛物线平移得到抛物线，抛物线经过点和原点它的顶点为，它的对称轴与抛物线交于点，则图中阴影部分的面积为 ．
三、解答题
17．已知抛物线的对称轴为直线．
(1)求的值；
(2)将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，求得到的新抛物线是否经过点．
18．在平面直角坐标系中，若函数的图象过点．
(1)求这个函数的解析式；并判断其函数图象是否过点；
(2)若将（1）中的函数图象先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，直接写出平移后函数的解析式和顶点坐标．
19．向左或向右平移函数的图象，完成以下问题：
(1)将图象右平移4个单位长度，直接写出平移后函数图象的解析式，并概括三条该函数图象的性质；
(2)继续平移的图象，能使得到的新图象过点吗？若能，请求出平移的方向和距离．若不能，请说明理由．
20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B（A在B的左侧），与y轴交于点，其对称轴为直线．
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)已知点D为第二象限抛物线上一点，连接，若，求点D的坐标；
(3)将抛物线关于x轴作轴对称变换，得到图象G，现将图象G沿直线平移，得到新的图象M，图象M与线段只有一个交点，求图象M顶点横坐标m的取值范围．
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参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B D C C B B D
1．A
【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，根据规律“上加，下减，左加，右减”可得，整理得出答案．
【详解】将二次函数的图象向下平移3个单位得，再向左平移2个单位得．
故选：A．
2．B
【分析】本题考查了二次函数图象的平移．熟练掌握左加右减，上加下减是解题的关键．
根据二次函数图象的平移，左加右减，上加下减求解作答即可．
【详解】解：∵，
∴抛物线向右平移4个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式是，
故选：B．
3．D
【分析】本题主要考查二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握平移的规律．
【详解】解：，
抛物线开口向上，顶点坐标为，故A正确，不符合题意；
抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，
得到抛物线，故B正确，不符合题意；
，
抛物线的对称轴为，
当时，随的增大而增大，故C正确，不符合题意；
点在抛物上，
且，
点比点更靠近对称轴，
，故D不正确，符合题意．
故选：D．
4．C
【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，关键是掌握“左加右减，上加下减”的平移规律．根据平移的规律求得解析式，化成一般式即可求得．
【详解】解：抛物线的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得图象的解析式为，即，
故选：C．
5．C
【分析】此题考查了二次函数的平移和性质．根据二次函数的平移规律得到，把代入得到，再整体代入即可求出答案．
【详解】解：由抛物线向下平移5个单位后得到，
把点代入得到，
，
∴，
∴，
故选：C
6．B
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，依据题意，由抛物线为，再结合由抛物线的变化规律“上加下减，左加右减”，从而可得新的抛物线为，进而可以判断得解．
【详解】解：由题意，抛物线为，
向左平移2个单位，再向上平移3个单位，可得新抛物线为，即．
此时顶点坐标为．
故选：B．
7．B
【分析】本题考查了把二次函数的一般式化为顶点式以及二次函数的平移性质，先整理，再结合向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得出，即可作答．
【详解】解：依题意，，
∵向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，
∴，
∴平移后的抛物线顶点坐标为，
故选：B．
8．D
【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换．先确定两个抛物线的顶点坐标，再利用点平移的规律确定抛物线平移的情况．
【详解】解：抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为，
而点向左平移2个，再向下平移3个单位可得到，
所以抛物线向左平移2个，再向下平移3个单位得到抛物线．
故选：D．
9．
【分析】本题主考查了二次函数图象的平移与几何变换，直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题关键．
【详解】∵将抛物线先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到的新抛物线
∴新抛物线的解析式为：，即，
故答案为：．
10．或/或
【分析】本题考查了二次函数图象的平移；把函数解析式整理成顶点式形式，再根据向左平移横坐标减表示出平移后的抛物线解析式，再把原点的坐标代入计算即可得解．
【详解】解：∵，
∴沿轴向左平移个单位长度后的函数解析式为，
∵函数图象经过坐标原点，
∴，
解得或．
故答案为：或．
11．
【分析】本题考查了二次函数的平移，根据二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”进行求解即可，熟练掌握二次函数的平移规律是解题的关键．
【详解】解：根据二次函数的平移规律可得，将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是，
故答案为：．
12．
【分析】先将二次函数化成顶点式，得到其顶点坐标，然后按照“左加右减，上加下减”的平移规律求出其向右平移2个单位长度后的顶点坐标，据此即可得出答案．
【详解】解：，
其顶点坐标为，
向右平移2个单位长度后的顶点坐标为，即，
得到的抛物线解析式为：
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象的平移，把化成顶点式，的图象与性质，坐标与图形变化——平移等知识点，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键．
13．
【分析】本题主要考查了二次函数图象平移．根据二次函数图象平移规律“左加右减，上加下减”，求解即可．
【详解】解：把抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移6个单位长度，
得到抛物线的解析式是，
故答案为：．
14．
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移，先根据图象中顶点坐标和图象过原点，求出图中二次函数的解析式，然后再根据平移规律得出平移后的二次函数表达式．
【详解】解：根据图象可知，二次函数的顶点坐标为，
∴设图中二次函数解析式为：，
∵二次函数图象过原点，
∴把代入得：，
解得：，
∴图中二次函数解析式为，
∴将该抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后抛物线的函数表达式为：
．
故答案为：．
15．9
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象的平移规律，平方的非负性等知识点，根据平移的规律，可得到抛物线，将点代入，得，根据平方的非负性可得答案， 确定出a、c的值是解题的关键．
【详解】∵抛物线向左平移2个单位长度后可得到抛物线，
∴将点代入,得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当且仅当时取等号时，有最大值为9，
故答案为：9．
16．32
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，以及二次函数的性质．先求出抛物线的解析式，从而可得顶点的坐标，以及点的坐标，再利用二次函数的性质、三角形的面积公式即可得．
【详解】解：如图，连接，
由题意得：平移后的抛物线的解析式为，
则抛物线的对称轴为直线，顶点的坐标为，
对于函数，当时，，即，
根据抛物线的对称性知：，
所以．
故答案为：32．
17．(1)
(2)经过点
【分析】本题考查二次函数的图象和性质及二次函数图象的平移：
（1）抛物线的对称轴为直线，由此可解；
（2）先根据抛物线的平移方式确定新抛物线的解析式，进而判断是否经过点．
【详解】（1）解：对称轴为直线，
解得，
的值为；
（2）解：由（1）可知，，
将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，
可得，
将代入，
解得，
得到的新抛物线经过点．
18．(1)，函数图象不过点
(2)平移后的解析式为，顶点为
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与几何变换等知识点，
（1）将代入，根据待定系数法即可求得解析式，把代入即可判断；
（2）直接利用抛物线平移规律：上加下减，左加右减进而得出平移后的解析式，进而即可得出顶点坐标；
熟练掌握抛物线平移规律是解决此题的关键．
【详解】（1）把代入得，
，
∴，
∴此函数的解析式为，
当时，
∴函数图象不过点；
（2）由平移规律得平移后的解析式为，
∴顶点为．
19．(1)，函数性质见解析
(2)函数向左平移或个单位．
【分析】本题考查的是二次函数图象的平移，二次函数的性质；
（1）先得出平移后的解析式，再根据顶点式得出函数性质即可；
（2）设平移后的函数为，将代入求解即可得到答案．
【详解】（1）解：将图象右平移4个单位长度，平移后函数解析式为，
该函数图象的性质为：
①函数图象的顶点坐标为，对称轴为直线，
②当时，函数最大值为，
③当，随的增大而增大，当时，随的增大而减小；
（2）能，设平移后的函数为，
将代入得：，
∴，
解得：或，
所以平移后的函数为或
即抛物线的顶点为或，
∴函数向左平移或个单位．
20．(1)
(2)
(3)m的范围是或
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）证明，得到，进而求解；
（3）当顶点为时，图象恰好过点、，当抛物线与直线相切时，联立抛物线与直线解析式，即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，其对称轴为，
∴，
解得，
∴抛物线的函数解析式为；
（2）解：点为第二象限抛物线上一点，设交轴于，如图：
在中，令 得，
解得：或，
，，
，，
，
，
，
，
又，
，即，
，
，
，
，
由，设直线解析式为：，
则，
∴，
∴直线解析式为；
联立，
解得：或舍去，
；
（3）解：抛物线的函数解析式为：，顶点为，
将图象沿直线平移，由，同上可得直线解析式为；
将抛物线沿轴翻折后顶点为，
顶点运动的轨迹为，
图象的顶点坐标为，
则图象对应的函数解析式为：，
当图象过点时，
，解得 或；
当图象过点时，
，解得或；
当顶点为时，图象恰好过点、；
当抛物线与线段相切时，
联立和抛物线的表达式得：，
即；
令得：，此时，
的范围是或．
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