2024-2025年人教版九年级上册数学期末专题提升训练13：二次函数的应用（销售问题）（含解析）

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专题13：二次函数的应用（销售问题）--2024-2025年人教版九年级上册数学期末专题提升训练
一、单选题
1．某商品的进价为每件20元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出5件．则每星期售出商品的利润（单位：元）与每件涨价（单位：元）之间的函数关系式是（ ）
A． B．
C． D．
2．某商品每件进价20元，销售期间发现，当售价为25元时，每天可售出120个，销售单价每降价1元，每天销量增加10个，现商家决定降价销售，每个降价x元（），设每天销售量为y个，每天销售商品获得的利润w元，则下列函数关系式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．童装专卖店销售一种童装，若这种童装每天获利y（元）与销售单价x（元）满足关系，若要想获得最大利润，则销售单价x为（ ）
A．25元 B．20元 C．30元 D．40元
4．便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y（元）与每件销售价x（元）之间的关系满足，由于某种原因，价格需满足，那么一周可获得最大利润是（ ）
A．758元 B．1508元 C．1556元 D．1558元
5．某冬奥官方特许商品零售店购进了一批同一型号的“冰墩墩”玩具，发现一周利润y（元）与销售单价x（元）之间的关系满足，由于某种原因，销售单价只能为，那么一周可获得的最大利润是（ ）
A．1568元 B．1518 元 C．1368 元 D．50元
6．已知某商品每件的进价为40元，售价为每件60元，每星期可卖出该商品300件．根据市场调查反映：商品的零售价每降价1元，则每星期可多卖出该商品20件．有下列结论：
①当降价为3元时，每星期可卖360件；
②每星期的利润为6120元时，可以将该商品的零售价定为42元或者43元；
③每星期的最大利润为6250元．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
7．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，有下列结论：
①设每件涨价x元，则实际卖出件；
②在降价的情况下，降价5元，即定价55元时，利润最大，最大利润是6250元；
③综合涨价与降价两种情况及现在的销售状况可知，定价元时利润最大；
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
8．某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为（ ）元．
A．50 B．90 C．80 D．70
二、填空题
9．国庆期间，大同古城热闹非凡，各大景区游人如织，大学生小云在东南邑街区卖气球，销售过程中发现每天的销量y（件）和售价x（元/件）之间满足一次函数的关系，已知一个气球的成本是5元，若不计其他成本，则小云每天获得的最大利润是 元．
10．某款旅游纪念品很受游客喜爱，每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨2元，每天销量减少20个．将纪念品的销售单价定为 元时，商家每天销售纪念品获得的利润最大．
11．某商品现在的售价为每件35元，每天可卖出50 件．市场调查反映：如果调整价格，每降价1元，每天可多卖出2 件．当每天的销售额最大时，每件商品的售价为 元．
12．某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，该商品每月的销售量（件）与销售单价（元）之间满足函数关系式，若要求销售单价不得低于成本，为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为 元．
13．2023年杭州亚运会举办期间，亚运会吉祥物深受广大人民的喜爱．某特许零售店某款亚运会吉祥物的销售日益火爆，每个吉祥物进价40元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个；销售单价每降低1元，每天的销量增加20个．现商家决定降价销售，设销售单价为元，商家每天销售吉祥物获得的利润为w元，则w关于x的函数关系式为 ．
14．某商品每个售价元时，每天能售出个，若售价每提高元，日销售量就要少售出个，若售价每提高元，则日销售量为 个．设每天利润为元，商品进价每个为元，则与的函数解析式是 ．要使日利润达到最大，则每个售价应定为 元．
15．某商店以元的价格购进了一批服装，若按每件元出售时，一周内可销售件；当售价每提高元时，其周售量就会减少件．若设每件售价为元，总利润是元，则关于的函数解析式为 ．
16．某批发商以70元/千克的成本价购入了某畅销产品1000千克，该产品每天的保存费用为300元，而且平均每天将损耗15千克．根据市场预测，该产品的销售价格y（元/千克）与时间x（天）之间函数关系的图像如图中的折线段所示．当批发商在进货后第 天将这批产品一次性卖出，将获得37500元的利润．
三、解答题
17．小李在景区销售一种旅游纪念品，已知每件进价为6元，当销售单价定为8元时，每天可以销售200件，市场调查反映：销售单价每提高1元，日销量将会减少10件，物价部门规定：销售单价不能超过18元，设该纪念品的销售单价为x（元），日销量为y（件），日销售利润为w（元）．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)求日销售利润w（元）与销售单价x（元）的函数关系式，当x为何值时，日销售利润最大，并求出最大利润．
18．某商品现在的售价为每件50元，每周可卖出400件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每周要少卖出10件．已知该商品的进价为每件30元，设每件涨价x元．
(1)为尽可能让利于顾客并使每周利润为8750元，求x；
(2)当售价定为多少元时，会获得每周销售最大利润？并求出每周最大销售利润．
19．2025年第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨举办．“冰雪同梦，亚洲同心”推动亚洲各国携手合作，共同发展．亚冬会吉祥物“滨滨”和“妮妮”寓意“哈尔滨欢迎您”．亚运会特许商品零售店预售吉祥物“滨滨”，某零售店以每个32元的价格购进了“滨滨”吉祥物，由于销售火爆，销售单价经过两次的调整，从每个50元上涨到每个72元，此时每天可售出200个“滨滨”吉祥物．
(1)若销售价格每次上涨的百分率相同，求每次上涨的百分率；
(2)经过市场调查发现：销售单价每降价1元，每天多卖出10个，该零售店每个售价多少元？才能使每天利润达到最大，最大利润为多少元？
20．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价为30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价为40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．不妨设该种品牌玩具的实际销售单价为元，销售该品牌玩具获得的利润为元．
(1)求出与之间的函数关系式；
(2)若商场只获得了6000元的销售利润，求该玩具销售单价为多少元？
(3)若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于500件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？
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参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C A C A C B D
1．A
【分析】本题考查了由实际问题列出二次函数，由题意可得销售每件的利润为，每星期的销售量为，再根据每星期售出商品的利润销售每件的利润每星期的销售量即可得解．
【详解】解：∵每涨价1元，每星期要少卖出5件．
∴销售每件的利润为，每星期的销售量为，
由题意可得，
故选：A．
2．C
【分析】本题考查一次函数和二次函数的应用，根据“销售单价每降价1元，每天销量增加10个”，可得销售量y与销售单价x之间的函数关系；根据利润销售量（单价成本）列出利润w与销售单价x之间的函数关系即可解题．
【详解】解：设每个降价x元，
每天销售量为，
每天销售商品获得的利润，
故选：C．
3．A
【分析】本题考查了二次函数的销售利润以及的图象性质，根据，得出开口向下，在时，有最大值，且为元，据此即可作答．
【详解】解：∵这种童装每天获利y（元）与销售单价x（元）满足关系，
∴开口向下，在时，有最大值，且为元，
即销售单价x为25元，
故选：A．
4．C
【分析】本题考查二次函数的应用，将二次函数关系式化为顶点式，找出对称轴，根据二次函数图象的增减性即可求解．
【详解】解：，
二次函数的对称轴为，开口向下，
当时，y随x的增大而增大，
，
时，y取最大值，此时，
即一周可获得最大利润是1556元，
故选C．
5．A
【分析】本题考查了二次函数的基本应用及二次函数的最值问题，熟练掌握基本知识是解题关键．
先根据二次函数解析式求出开口方向和对称轴，再通过的取值范围求出最大值即可．
【详解】解：∵一周利润y（元）与销售单价x（元）之间的关系满足，
函数开口向下，对称轴为，当时，函数取到最大值为1568，
所以当时，函数取到的最大值为1568，
∴可获得的最大利润为1568元．
故选：A．
6．C
【分析】设降价x元，则售价为元，每件的盈利元，每天可售出件，
①当降价为3元时，每星期可卖件；正确；
②根据题意，得，整理，得，
解得，每星期的利润为6120元时，可以将该商品的零售价定为58元或者57元；错误；
③设每星期的利润为y元，根据题意，得
，故每星期的最大利润为6125元．判断即可．
利用每天销售获得的总利润＝每件千克的销售利润×每天的销售量，构造二次函数，根据抛物线的最值，解之即可得出x的值即可求得．
本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的最值，最大利润问题，熟练掌握一元二次方程的应用，二次函数的最值是解题的关键．
【详解】设降价x元，则售价为元，每件的盈利元，每天可售出件，
①当降价为3元时，每星期可卖件；
正确；
②根据题意，得，
整理，得，
解得，
每星期的利润为6120元时，可以将该商品的零售价定为58元或者57元；
错误；
③设每星期的利润为y元，根据题意，得
，
故每星期的最大利润为6125元．错误．
故选C．
7．B
【分析】本题考查的是一元二次方程应用的最值问题.
根据题意用未知数表示出未知量；根据题目的条件列出一元二次方程，转化为一般式，求出最值.
【详解】解：∵每星期可以卖出300件，
又∵每涨价1元，每星期要少卖出10件，设每件涨价x元，
∴实际卖出件.
故①正确；
设降价y元，那么卖出件，
根据题意可得：所获得的利润.
当时，利润最大，售价为：，利润最大为：.
故②错误；
设涨价x元，
由题意可得：所获利润
当时，利润最大，售价为：，利润最大为：.
综合涨价与降价两种情况及现在的销售状况可知，定价为65元时利润最大.
故③错误.
故答案选：B
8．D
【分析】本题考查二次函数解应用题，涉及二次函数图象与性质、二次函数最值等，根据题意，设降价元，每月获得最大利润为，得到，利用二次函数最值求法即可得到答案，熟练掌握二次函数图象与性质是解决问题的关键．
【详解】解：设降价元，每月获得最大利润为，则
，
，
抛物线开口向下，即当时，有最大值，
该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为元，
故选：D．
9．450
【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据题意得到二次函数的关系式是解题关键．设小云每天获得的利润是w元，结合总利润等于每个气球的利润乘以销售数量建立二次函数关系式，再利用二次函数的性质可得答案．
【详解】解：设小云每天获得的利润是w元，
由题意得，，
∵，
∴当时，w最大为元，
故答案为：450．
10．52
【分析】本题考查二次函数的应用．得到销售量以及利润的关系式是解决本题的关键．
设商家每天销售纪念品获得的利润为w元，纪念品的销售单价为x元，根据题意表示出，根据二次函数的性质求解即可．
【详解】解：设商家每天销售纪念品获得的利润为w元，纪念品的销售单价为x元，
根据题意得，
抛物线的对称轴为：．
，，
当时，有最大值．
故答案为：52．
11．30
【分析】本题考查二次函数的应用，利用数学知识解决实际问题，解题的关键是建立函数模型，利用配方法求最值．设商品降价x元，销售额为y元，由题意可得到y和x的二次函数关系，利用配方法可求最值，即可求解．
【详解】解：设商品降价x元，销售额为y元，
根据题意，得
，
∵，
∴当时，y有最大值，
∴每件商品的售价元时，每天的销售额最大，
故答案为：30．
12．
【分析】此题考查了二次函数在实际生活中的应用，根据题意找到等量关系并掌握二次函数求最值的方法是解题的关键．设每月所获利润为元，按照利润销售量售价成本列出二次函数，并根据二次函数的性质求得最值即可．
【详解】解：设每月所获利润为元，
则，
∵，
∴开口向下，在时，有最大值，且为元
∴当商品销售单价定为元时，每月所获利润最大，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键．
设每天销售量为个，销售单价为元，商家每天销售纪念品获得的利润元，根据题意列出函数关系式即可求解．
【详解】解：设每天销售量为个，销售单价为元，商家每天销售纪念品获得的利润元，
根据题意得，
则，
故答案为：．
14．
【分析】由每天能售出500个，若售价每提高1元，日销售量就要少售出10个，即可推到出答案；由总利润销售数量单个利润即可求解．
本题考查了二次函数的应用销售问题的数量关系的运用，利润售价进价的运用，二次函数的解析式的性质的运用，二次函数的最值的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键．
【详解】解：若售价每提高元，日销售量就要少售出个，则日销售量为：，
设每天利润为元，商品进价每个为元，则与的函数解析式是：
，
∵，
∴当利润最大时，可得：，
∴此时每个售价为：（元），
故答案为：，，．
15．
【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，表示出每件利润以及其销量是解题关键．
根据每月售出衬衫的利润每件的利润每周的销售量得到，整理即可．
【详解】解：根据题意得出：
．
故答案为：．
16．4或32/32或4
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，解一元二次方程，正确理解题意是解题的关键．先用待定系数法求出与之间的函数关系式是，设到第天出售，批发商所获利润为元，由题意得：当： ，解得：（舍）或当时，，解得： ．
【详解】解：当，设解析式为：，
把和代入得：，
解得：．
．
当时，，
故与之间的函数关系式是；
设到第天出售，批发商所获利润为元，由题意得：
当：，
由上得，
∴，
化简得：
解得：（舍）或
当时，，
由上得，
解得： ，
故答案为：4或32．
17．(1)
(2)；当为17时，日销售利润最大，最大利润1210元．
【分析】本题考查了二次函数的运用，利用总利润=单个利润×销售数量建立函数关系式，进一步利用性质的解决问题，解答时求出二次函数的解析式是关键．
（1）根据题意得到函数解析式；
（2）根据题意得到，根据二次函数的性质即可得到结论．
【详解】（1）解：根据题意得，，
故与的函数关系式为；
（2）根据题意得，，
，
当时，随的增大而增大，
∵销售单价不能超过18元，
∴
当时，，
答：当为17时，日销售利润最大，最大利润1210元．
18．(1)
(2)当售价为60元时，会获得每周销售最大利润，每周最大销售利润为9000元
【分析】本题考查了一元二次方程和二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系，列出一元二次方程和函数解析式并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）设该商品售价上涨元，根据题意列出方程，求解即可；
（2）设该商品获得的利润为元，根据题意求出与的函数解析式，根据二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：设该商品售价上涨x元，则可列方程：，
整理得：，
解得：，，
∵为尽可能让利于顾客并使每周利润为元，
（2）解：设该商品获得的利润为元，
，
，
当时，有最大值，最大值为，
即当售价为60元时，会获得每周销售最大利润，每周最大销售利润为9000元．
19．(1)
(2)该零售店每个售价62元，才能使每天利润达到最大，最大利润为9000元
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用，解题时要能找准等量关系，正确列出一元二次方程及二次函数关系式是解题的关键．
（1）依据题意，设每次上涨的百分率为，再由题意列出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）依据题意，设每个售价为元，可列出关于m的二次函数，再由二次函数的性质进行判断计算可以得解．
【详解】（1）解：由题意，设每次上涨的百分率为，
依题意，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：每次上涨的百分率为．
（2）解：由题意，设每个售价为元，
每天的利润
．
当时，每天的最大利润为9000元．
答：该零售店每个售价62元，才能使每天利润达到最大，最大利润为9000元．
20．(1)
(2)销售单价为90元
(3)最大利润是10000元
【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，不等式组的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质以及利用二次函数最值求解．
（1）一件的利润为元，涨价后的销售量为元，根据一件的利润与销售数量的积，即可表示出函数关系式；
（2）由所得函数关系式，求出当函数值为6000时，解一元二次方程即可求出自变量的值；
（3）由题意解不等式组，可求得x的范围，再由二次函数的性质即可求得最大利润．
【详解】（1）解：由题意得：，
整理得：；
答：与之间的函数关系式为；
（2）解：由题意得：，
整理，得：，
解得：（舍去），
答：该玩具销售单价为90元；
（3）解：由题意得：，
解得：；
∵，，
∴当时，函数取得最大值，且最大值为10000；
答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润是10000元．
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