2024-2025年人教版九年级上册数学期末专题提升训练12：二次函数与一元二次方程（含解析）

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专题12：二次函数与一元二次方程--2024-2025年人教版九年级上册数学期末专题提升训练
一、单选题
1．二次函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）
A．且 B．且 C． D．
2．已知二次函数的图象如图所示，顶点为，则下列结论：①；②；③；④．

其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．下表是一组二次函数的自变量x与函数值y的对应值：那么最接近方程的一个根是( )
A． B． C． D．
4．已知，则的最大值为（ ）
A． B．4 C．0 D．
5．已知二次函数的图象经过点．如果，那么m的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．
6．在平面直角坐标系中，抛物线如图所示，则关于x的方程根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法准确判断
7．已知二次函数则关于该函数的结论正确的是（ ）
A．抛物线开口向下
B．抛物线与y轴交于点
C．函数的最小值为1
D．当时，y随x的增大而减小
8．如图，抛物线过点，且对称轴为直线，有下列结论：①；②；③抛物线经过点与点，则；④无论a，b，c取何值，抛物线都经过同一个点；⑤，其中所有正确的结论是（　　）
A．②④⑤ B．③④⑤ C．①④⑤ D．②③④⑤
二、填空题
9．二次函数的图象如图所示，则函数值时，x的取值范围是 ．
10．将二次函数的图象在轴上方的部分沿轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线与新函数的图象恰有3个公共点时，的值为 ．
11．在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交点的坐标为 ．
12．如图，一次函数与二次函数的图象相交于点，，则能使成立的x的取值范围是 ．
13．若抛物线经过和两点，开口向上，且与轴有两个交点，则的取值范围是 ．
14．如图，直线与抛物线交于，两点，其中点，点，当时，的取值范围是 ．
15．已知关于x的方程的根为，，关于x的方程的根为，，其中．则将，，，从小到大排列应为 ．
16．如图，抛物线与x轴相交于，对称轴为直线，以下结论：①；②；③当时，；④；⑤关于x的方程的两个根为，．正确结论的序号为 ．
三、解答题
17．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
(1)结合函数图象，当时，直接写出y的取值范围：_____；
(2)若点M是直线下方抛物线上一动点，求四边形面积的最大值．
18．如表是二次函数的部分取值情况：
x … 0 2 4 …
y … c 3 5 …
根据表中信息，回答下列问题：
(1)二次函数图象的顶点坐标是 ；
(2)求c的值，并在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象；
(3)观察图象，写出时x的取值范围： ．
19．已知抛物线的解析式为．
(1)若抛物线的对称轴为，求a的值．
(2)若抛物线经过点，求此时抛物线与x轴的两个交点之间的距离．
20．如图，抛物线与轴交与、两点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当时，直接写出自变量的取值范围；
(3)在抛物线上是否存在点，满足，试求出点的坐标．
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参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B B B C A D A
1．A
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数是常数，，决定抛物线与x轴的交点个数：时，抛物线与x轴有2个交点；时，抛物线与x轴有1个交点；时，抛物线与x轴没有交点，根据二次函数的定义得到，根据决定抛物线与x轴的交点个数可得到，然后求出两不等式的公共部分即可．
【详解】
解：二次函数的图象与x轴有交点，且，
且，
故选：A
2．B
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与轴的交点、抛物线与轴交点的个数确定是解题的关键．
根据二次函数的图象以及顶点坐标，可推出、、，，，然后逐一对照4条结论判断其正确与否，即可得出结论．
【详解】解：顶点为，
该抛物线的对称轴为直线，
开口方向向上，与轴交于正半轴，
，
，
，故①错误；
函数图像与轴只有一个交点，
，故②正确；
对称轴为直线，
，
，故③正确；
，，
，故④错误；
故选：B．
3．B
【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程根的关系；观察表格可得更接近于，得到所求方程的近似根即可．
【详解】解：观察表格得：方程的一个根是
故选：B．
4．B
【分析】本题考查了二次函数的最值问题，整理出的表达式，考虑利用二次函数求解是解题的关键．
整理得到的表达式，再根据二次函数的最值问题和平方数非负数的性质解答．
【详解】解：∵，
，
，
，
当时，或，
∴当时，，
，
，
，
∴当时，有最大值4．
故选：B．
5．C
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，求出图象与轴的交点坐标，利用数形结合的思想进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴抛物线的开口向上，当时，，解得：或，
∴当或时，，
∵二次函数的图象经过点，，
∴或；
故选C．
6．A
【分析】本题主要考查二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；由题意可把方程变为，此时可把方程看作是二次函数与直线的交点问题，进而问题可求解．
【详解】解：把方程变为，则二次函数与直线的交点即为方程的解，如图所示：
由图象可知：方程根的情况是有两个不相等的实数根；
故选A．
7．D
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．利用二次函数的性质对用顶点式表示的二次函数进行分析后即可得到答案．
【详解】解：，
∵，
∴抛物线开口向上，故选项A错误；
∵当时，，
∴抛物线与y轴交于点，故选项B错误；
函数有最小值为，故选项C错误；
当时，y随x的增大而减小，故选项D正确，
故选：D．
8．A
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质．①由图象及对称轴即可判断；②推出抛物线过点，当时，，又由即可做出判断；③由对称轴为，且开口向上，得到离对称轴水平距离越大，函数值越大，即可得出结论；④推出当时，，即可判断；⑤先推出，得到，由，得到，即可做出判断．
【详解】解：由图象可知，抛物线开口向上，则，
顶点在y轴右侧，则，
抛物线与y轴交于负半轴，则，
∴，故①错误；
∵抛物线过点，且对称轴为直线，
∴抛物线过点，
∴当时，，
∵，
∴，故②正确；
∵对称轴为，且开口向上，
∴离对称轴水平距离越大，函数值越大，
∵点与点，，
∴，故③错误；
当时，，
∵当时，，
∴当时，，
即无论a，b，c取何值，抛物线都经过同一个点，故④正确；
对应的函数值为，
对应的函数值为，
又∵时函数取得最小值，
∴，即，
∵对称轴为，
∵，
∴，
∴，
∴，故⑤正确；
正确的为②④⑤，
故选：A．
9．
【分析】本题考查了二次函数与不等式的关键，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．直接根据图象解答即可．
【详解】解：根据图象可知：时，x的取值范围是，
故答案为：．
10．
【分析】此题主要考查的是抛物线与轴的交点，确定直线的位置是本题解题的关键．如图，当直线在的位置时，符合题设条件，即可求解．
【详解】解：如图，当直线在的位置时，符合题设条件，
由二次函数知，其对称轴为，
当时，，
则翻折后根据图形的对称性，直线的表达式为：，
即，
故答案为：．
11．
【分析】本题考查了二次函数的图象与坐标轴的交点问题，把代入函数解析式计算即可求解，掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
【详解】解：当时，，
∴抛物线与y轴交点的坐标为，
故答案为：．
12．
【分析】此题主要考查了二次函数与不等式．利用一次函数图象在二次函数图象上方时，，据此可得的取值范围．
【详解】解：∵一次函数与二次函数的图象相交于点，，
∴一次函数图象在二次函数图象上方时，，即，
故答案为：．
13．或
【分析】本题考查二次函数图象与坐标轴的交点问题，待定系数法将二次函数的解析式转化为只含参数的解析式，根据抛物线的开口向上，与轴有两个交点，列出不等式组进行求解即可．
【详解】解：∵抛物线经过和两点，
∴，解得：，
∴，
∵抛物线的开口向上，且与轴有两个交点，
∴，解得：或；
故答案为：或．
14．
【分析】本题考查了根据直线和抛物线交点确定不等式的解集．解题的关键在于对知识的熟练掌握与数形结合．
由题意知，当时，则的取值范围是抛物线图象在直线图象下方对应的所有的的取值，然后数形结合求解即可．
【详解】解：由题意知，当时，则的取值范围是抛物线图象在直线图象下方对应的所有的的取值，
∵图象交于点，点，
∴当时，，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，正确把一元二次方程的解转换成直线与抛物线交点的横坐标是解题的关键．把看做是直线与抛物线交点的横坐标，把看作是直线与抛物线交点的横坐标，画出对应的函数图象即可得到答案．
【详解】解：如图所示，设直线与抛物线交于、两点，直线与抛物线交于、两点，
∵，关于x的方程的解为，关于x的方程的解为，
∴分别是、、、的横坐标，
∴，
故答案为：．
16．①②④⑤
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，关键是掌握对于二次函数，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置；常数项c决定抛物线与y轴交点位置；抛物线与x轴交点个数由决定．利用抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的另个交点坐标为，则可对③⑤进行判断；由对称轴和开口方向可对②④进行判断．
【详解】解：∵抛物线与x轴相交于，对称轴为直线，
∴抛物线与x轴的另一个交点为，
∴抛物线与轴有2个交点，
∴，所以①正确；
∵抛物线的开口向上，
∴，
∵对称轴为直线，
∴，
∴，②正确；
∵抛物线与x轴的交点为和，
∴关于x的方程的两个根为，，故⑤正确．
∴当时，或，故③错误；
当时，，故④正确；
综上，①②④⑤正确，．
故答案为：①②④⑤．
17．(1)
(2)四边形面积的最大值为4．
【分析】（1）根据抛物线解析式求得当和时y的值，再结合函数图象作答即可；
（2）过点M作轴于点N，连接，设点，则，，根据构建二次函数，利用二次函数的性质求出最大值即可解决问题．
【详解】（1）解：对于，
令，则，即，
令，则，
由函数图象知，当时，y的取值范围为，
故答案为：．
（2）如图，过点M作轴于点N，连接，
令，则，
解得：，
，
设，则，，
，
，
，
，
当时，有最大值为4，
四边形面积的最大值为4．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的图象与性质、二次函数的面积问题、二次函数的最值问题，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建二次函数解决最值问题．
18．(1)
(2)，见解析
(3)
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，也考查了二次函数的图象与性质．
（1）把一组已知的对应值代入中可求出c的值，然后利用配方法把抛物线解析式配成顶点，从而得到抛物线的顶点坐标；
（2）通过解方程得抛物线与x轴的交点坐标为，，再利用描点法画出二次函数图象；
（3）结合函数图象，写出抛物线在x轴上方的自变量的范围即可．
【详解】（1）解：把代入得，
解得，
∴抛物线解析式为，
∵，
∴抛物线的顶点坐标为；
故答案为：；
（2）解：由（1）得，
当时，，解得，，
∴抛物线与x轴的交点坐标为，，
如图，
（3）解：由函数图象可发现：当时，，
故答案为：．
19．(1)
(2)4
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，二次函数的图象与x轴的交点．
（1）根据抛物线的对称轴可得，求解即可；
（2）把点代入，求出a的值，从而得到抛物线的解析式，令，求出该抛物线与x轴的交点，即可解答．
【详解】（1）解：抛物线的对称轴为，
，解得，
经检验，是该分式方程的解．
（2）解：∵抛物线经过点，
∴，解得，
∴抛物线解析式为．
当，即时，
，解得，，
抛物线与x轴的两个交点的坐标分别为，，
两个交点之间的距离为．
20．(1)
(2)
(3)或或或
【分析】本题考查二次函数的综合问题，涉及待定系数法求解析式，二次函数图象的性质，解方程等知识，利用数形结合的思想是解题关键．
（1）将A与B的坐标代入抛物线的解析式即可求出b与c的值，即得出抛物线的解析式；
（2）将一般式改为顶点式，根据二次函数的图象和性质即可得出答案；
（3）设，则的高为，，由列出方程即可求出y的值，从而可求出P的坐标．
【详解】（1）将代入，
得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：∵，
∴抛物线的对称轴为：，开口向下，
∵抛物线与轴交与、两点，
当时，抛物线的图象在x轴的上方，
∴；
（3）解：设，则的高为，
∵，
∴．
∵，
∴，
解得：，
当时，即，
解得：或，
∴或；
当时，即，
解得：或；
∴或，
综上，点P的坐标为：或或或．
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