2024-2025年人教版九年级上册数学期末专题提升训练15：二次函数的应用（喷水问题）（含解析）

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专题15：二次函数的应用（喷水问题）--2024-2025年人教版九年级上册数学期末专题提升训练
一、单选题
1．如图所示，阳光中学教学楼前喷水池喷出的抛物线形水柱，其解析式为，则水柱的最大高度是（ ）
A．6 B．2 C．8 D．5
2．某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点、为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为．则的长为（ ）．
A． B． C． D．
3．如图1是某城市广场音乐喷泉，出水口A处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度与水平距离之间的关系如图2所示，点B为该水流的最高点，点C为该水流的落地点，且，垂足为点D，．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在池中心竖直水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管的长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管，水管的顶端B处有一个喷水孔，喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1m处达到最高点C，高度为3m，水柱落地点D离池中心A处4m，则水管的顶端B距水面的高度为（ ）
A．2 B． C． D．
6．某景点的“喷水巨龙”口中C处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系如图所示，D为该水流的最高点，DA⊥OB，垂足为A．已知OC＝OB＝8m，OA＝2m，则该水流距水平面的最大高度AD的长度为（　　）．
A．9m B．10m C．11m D．12m
7．西宁中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷水管喷水的最大高度为3米，此时距喷水管的水平距离为米，在如图所示的坐标系中，这个喷泉的函数关系式是（ ）
A．y＝－(x－)2＋3 B．y＝－3(x+)2+3
C．y＝－12(x-)2＋3 D．y＝－12(x+)2+3
8．如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y=4x﹣x2刻画，斜坡可以用一次函数y=x刻画，下列结论错误的是（　　）
A．当小球抛出高度达到7.5m时，小球水平距O点水平距离为3m
B．小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势
C．小球落地点距O点水平距离为7米
D．斜坡的坡度为1：2
二、填空题
9．如图，在水池中心点处竖直安装一根水管，水管喷头喷出抛物线形的水柱，当喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试时发现，喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点，那么喷头高 时，水柱落点距O点．
10．如图，要建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为3米，水柱落地处离池中心3米，水管长 米．
11．昆明某公园拟增建喷泉景观，在一个柱形高台上装有喷水管，水管喷头斜射出水柱，经过测量水柱在不同位置到喷水管的水平距离和对应的竖直高度呈抛物线型，若要使水柱在离喷水管水平距离3米处离地面竖直高度最大，最大高度为5米，水柱落地处离喷水管水平距离为8米，则喷水管要离地面 米喷水．
12．“科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，已知“水火箭”的升空高度h（单位：）与飞行时间（单位：）满足函数解析式，“水火箭”飞行和飞行时的升空高度相同，飞行时的升空高度为，则“水火箭”升空的最大高度为 ．
13．市中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷泉管喷出的抛物线形水柱在与喷泉管的水平距离为处达到最高，高度为，在如图所示的平面直角坐标系中，这个喷泉管喷出的抛物线形水柱的函数关系式是 ．
14．广场有一个直径16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头（喷水头高度忽略不计），各方向喷出的水柱呈抛物线型，恰好在喷水池中心的装饰物的顶端处汇合，水柱离喷水池中心3米处达最高5米，则装饰物的高度为 米．
15．如图①为喷灌系统，工作时，其侧面示意图如图②所示．升降杆OL垂直于地面，喷射的水柱呈抛物线型，喷头H能在升降杆上调整高度，将喷头调整至离地面2米高时，喷射的水柱在距升降杆1米处达到最高，高度为2.25米，此时喷射的水柱落地点与O的距离为 米．

16．大型客机是我国首次按照国际通行适航标准自行研制，具有自主知识产权的喷气式干线客机，如图在某次大型客机过水门仪式中，两条水柱从两辆消防车、中斜向上射出，形似抛物线，以两车所连水平直线的中点为坐标原点，平行于的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系式为，当两辆消防车喷射口位置的水平距离为米时，“水门”最高点距离喷射口的竖直高度为 米
三、解答题
17．某公园广场上新安装了一排音乐喷泉装置，其中位于中间的喷水装置与地面垂直，且（如图），喷水能力最强，水流从A处喷出，在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，当水流与喷水装置的水平距离为时，水流达到最大高度4m，以点O为坐标原点，所在直线为y轴，地面为x轴建立平面直角坐标系．设水流喷出的高度为，水流到喷水装置的水平距离为．
(1)求y与x之间的函数解析式；
(2)现要在音乐喷泉外围地面上摆放花盆（大小忽略不计），不计其它因素，花盆到喷水装置的水平距离大于多少米时才不会被喷出的水流击中？
18．某游乐园要建造一个直径为的圆形喷水池，计划在喷水池的周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心处达到最高，高度为．
(1)以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系，求在轴右侧抛物线的函数表达式；
(2)要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷出的水柱在此汇合，求这个装饰物的设计高度．
19．如图1，草坪地面上有一个可垂直升降的草坪喷灌器，喷水口可上下移动，喷出的抛物线形水线也随之上下平移，图2是其示意图．开始喷水后，若喷水口在点处，水线落地点为，；若喷水口上升到点处，水线落地点为．
(1)若喷水口在点处，求水线最高点与点之间的水平距离．
(2)当喷水口在点处时，求水线的最大高度．
(3)若喷水口从点处向上平移到点处，水线落地点为，求的长．
20．为有效地应对高楼火灾，某消防中队进行消防技能比赛．如图，在一个废弃高楼距地面的点和的点处，各设置了一个火源，消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分．第一次灭火时站在水平地面的点处，水流从点射出恰好到达点处，且水流的最大高度为，水流的最高点到高楼的水平距离为，建立如图所示的平面直角坐标系，水流的高度与出水点到高楼的水平距离之间满足二次函数关系．
(1)求出消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式；
(2)待处火熄灭后，消防员前进到点（水流从点射出）处进行第二次灭火，若两次灭火时水流所在抛物线的形状完全相同，判断水流是否到达点处，并说明理由；
(3)若消防员从点前进米到点（水流从点射出）处，水流未达到最高点且恰好到达点处，直接写出的值， ．（水流所在抛物线形状与第一次完全相同）
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参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C D C D A C A
1．A
【分析】本题考查了二次函数的应用，正确理解二次函数顶点坐标的意义是解题关键，直接利用二次函数最值求法得出答案．
【详解】解：∵抛物线形水柱，其解析式为 ，
∴水柱的最大高度是，
故选：A ．
2．C
【分析】本题考查了二次函数的应用，把代入求出点坐标即可求解，求出点坐标是解题的关键．
【详解】解：把代入得，
，
解得，（不合，舍去），
∴点，
∴，
∴，
故选：．
3．D
【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式．
根据题意可得，设抛物线的表达式为．将代入，求出a的值，即可解答．
【详解】解：∵，，，
∴，
设抛物线的表达式为．
将代入，得，
解得．
抛物线的表达式为．
令，则．
解得，（不合题意，舍去）．
的长为．
故选：D．
4．C
【分析】本题考查了实际问题与二次函数，根据图象得抛物线经过，对称轴为直线，则设抛物线的解析式为：，代入可求得，令，解得，进而可求解，熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的图象及性质是解题的关键．
【详解】解：由于在距池中心的水平距离为时达到最高，高度为，
抛物线经过，对称轴为直线，
则设抛物线的解析式为：，
代入，求得：，
将值代入得到抛物线的解析式为：，
令，则，
则水管长为，
故选C．
5．D
【分析】本题考查二次函数的实际应用，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系，得到，设抛物线的解析式为，将代入求出函数解析式，进而求出时的函数值即为的长．
【详解】解：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系，如图所示：
则：，
设抛物线的解析式为，将代入，得：，
∴，
当时，，
∴高度为；
故选D．
6．A
【分析】设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+k，将点C（0，8）、B（8，0）代入求出a、k的值即可．
【详解】解：根据题意，设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+k，
将点C（0，8）、B（8，0）代入，得：
，
解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣2）2+9，
∴当x＝2时，y＝9，
即AD＝9m，
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，解题关键是用待定系数法求出函数的解析式．
7．C
【分析】根据二次函数的图象，喷水管喷水的最大高度为3米，此时喷水水平距离为米，由此得到顶点坐标为（ ，3），所以设抛物线的解析式为y=a（x- ）2+3，而抛物线还经过（0，0），由此即可确定抛物线的解析式．
【详解】解：∵一支高度为1米的喷水管喷水的最大高度为3米，此时喷水水平距离为米，
∴顶点坐标为（，3），
设抛物线的解析式为y=a（x-）2+3，
而抛物线还经过（0，0），
∴0=a（0-）2+3，
∴a=-12，
∴抛物线的解析式为y=-12（x-）2+3．
故选C．
8．A
【分析】求出当y=7.5时，x的值，判定选项A；根据二次函数的性质求出对称轴，根据二次函数性质判断选项B；求出抛物线与直线的交点，判断选项C，根据直线解析式和坡度的定义判断选项D．
【详解】当y=7.5时，7.5=4x﹣x2，
整理得x2﹣8x+15=0，
解得，x1=3，x2=5，
∴当小球抛出高度达到7.5m时，小球水平距O点水平距离为3m或5cm，选项A错误，符合题意；
y=4x﹣x2
=﹣（x﹣4）2+8，
则抛物线的对称轴为x=4，
∴当x＞4时，y随x的增大而减小，即小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势，选项B正确，不符合题意；
，
解得，，，
则小球落地点距O点水平距离为7米，选项C正确，不符合题意；
∵斜坡可以用一次函数y=x刻画，
∴斜坡的坡度为1：2，选项D正确，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的——坡度问题、二次函数的性质，掌握坡度的概念、二次函数的性质是解题的关键．
9．
【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意可得，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，利用待定系数法求出，，从而可得设喷头高时，水柱落点距O点，此时的解析式为，代入计算即可得解．
【详解】解：由题意可得，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，
当喷头高时，水柱落点距O点时，可设，
将代入解析式可得：，
∴，
当喷头高时，水柱落点距O点时，可设，
将代入解析式可得：，
∴，
联立①②可得：，，
设喷头高时，水柱落点距O点，此时的解析式为，
将代入可得：，
解得：，
∴当喷头高时，水柱落点距O点，
故答案为：．
10．//2.25
【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据题意建立平面直角坐标系，设二次函数顶点式，求出二次函数解析式，再求出抛物线与y轴交点坐标即可．
【详解】解：如图，建立平面直角坐标系，
设抛物线的解析式为，
将代入，得，
解得，
∴抛物线的解析式为：，
令，得，
故答案为：．
11．3.2
【分析】本题考查二次函数的实际应用，建立合适的平面直角坐标系，正确求出抛物线解析式是解题关键．由题意建立如图所示平面直角坐标系，设抛物线顶点式，结合抛物线过点，可求出a的值，即得出抛物线解析式，再令求解即可．
【详解】解：由题意可建立如图所示的平面直角坐标系，且可设该抛物线解析式为．
∵该抛物线还过点，
∴，
解得：，
∴该抛物线解析式为．
令，则，
∴喷水管要离地面3.2米喷水．
故答案为：3.2．
12．
【分析】本题考查了二次函数的应用，先利用待定系数法求出函数表达式为：，再将其化为顶点式，问题随之得解．
【详解】解：根据题意有：
，
解得：，
∴函数表达式为：，
将化为顶点式为：，
当时，函数有最大值，且为：，
即则“水火箭”升空的最大高度为，
故答案为：．
13．
【分析】此题主要考查了二次函数在实际问题中的应用，解题的关键是正确理解题意，然后根据题目隐含的条件得到待定系数所需要的点的坐标解决问题．
根据二次函数的图象，喷水管喷水的最大高度为，此时喷水水平距离为，由此得到顶点坐标为，所以设抛物线的解析式为，而抛物线还经过，由此可确定抛物线的解析式．
【详解】解：喷水管喷水的最大高度为，此时喷水水平距离为，
顶点坐标为，
设抛物线的解析式为，
而抛物线还经过，
，
，
抛物线的解析式为：，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意可得第一象限内抛物线的最高点为，且经过，用待定系数法可求出，求出当时的函数值即可得到得到．
【详解】解：如图所示，建立平面直角坐标系，
由题意得第一象限内抛物线的最高点为，且经过，
设抛物线解析式为，
，
解得：，
，
当时，，
∴米，
故答案为：．
15．4
【分析】本题考查了二次函数的应用．以直线作为轴，以地面为轴，由题意可得，抛物线的顶点为，经过点，设抛物线解析式为，将代入求出完整解析式，将代入求解即可．
【详解】解：以直线作为轴，以地面为轴，
由题意可得，抛物线的顶点为，经过点，
∴设抛物线解析式为，
将代入可得：，
解得：，
∴抛物线解析式为，
将代入得，，
整理得：，
，
解得：，（舍去），
∴喷射的水柱落地点与O的距离为4米．
故答案为：4．
16．25
【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．依据题意，把点的横坐标代入解析式可得点的纵坐标，即点的纵坐标，用29.23减去点的纵坐标即可．
【详解】解：，
将代入可得．
，
（米．
故答案为：25
17．(1)
(2)花盆到喷水装置的水平距离大于3.5米时才不会被喷出的水流击中
【分析】本题考查二次函数的顶点式，二次函数的应用，理解题意是关键．
（1）根据题意可设抛物线解析式为，再将代入求解即可；
（2）令，求出x的值即可．
【详解】（1）解：由题意可知抛物线最高点坐标为，
∴设抛物线解析式为．
∵，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）解：令，则，
解得：，，
∴花盆到喷水装置的水平距离大于3.5米时才不会被喷出的水流击中．
18．(1)；
(2)m．
【分析】本题主要考查了二次函数的应用；
（1）待定系数法求解析式，即可求解；
（2）当时，代入解析式，即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为，
∴设，
把代入，得：，
解得：，
∴在y轴右侧抛物线的函数表达式为：．
（2）在中，
当时，（），
答：这个装饰物的设计高度（）．
19．(1)水线最高点与点之间的水平距离为
(2)当喷水口在点处时，水线的最大高度为
(3)的长为
【分析】本题考查二次函数的应用，正确理解题意是解题的关键：
（1）以为单位长度，点为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系．得出点的坐标为，点坐标为，点的坐标为，进而可得出答案；
（2）设喷水口在点处时，喷出的抛物线形水线的解析式为．将坐标代入即可得出答案；
（3）根据抛物线形水线的解析式为，当时，求出，进而可得出答案．
【详解】（1）解：如图，以为单位长度，点为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系．
，
点的坐标为，点坐标为，
若喷水口在点处，水线抛物线的对称轴为直线．
点的坐标为，
水线最高点与点之间的水平距离为．
（2）设喷水口在点处时，喷出的抛物线形水线的解析式为．
经过点，对称轴与过点的抛物线的对称轴相同，
解得
．
当时，，
当喷水口在点处时，水线的最大高度为．
（3）喷水口从点处向上平移到点处，
抛物线形水线的解析式为．
当时，
解得，
点的坐标为
的长为．
20．(1)；
(2)能达点处，理由见解析；
(3)．
【分析】（）根据函数项点坐标且过，可设抛物线解析式为，再用待定系数法解答即可求解；
（）利用平移求出消防员第二次灭火时水流所在抛物线的解析式，再令，求出的值即可判断求解；
（）利用平移求出消防员到点处时水流所在抛物线的解析式，再结合水流未达到最高点且恰好到达点，即可求解；
本题考查了二次函数的应用，二次函数的平移，待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意可得消防员第一次灭火时水流所在抛物线的顶点坐标为，
∴设抛物线解析式为，将点代入得，
，
解得，
∴消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式为；
（2）解：能达点处，理由如下：
由题意知，消防员第二次灭火时水流所在抛物线是第一次抛物线向左平移个单位得到 ，
∴消防员第二次灭火时水流所在抛物线的解析式，
令，可得，
∴消防员第二次灭火时水流所在抛物线经过，
∴水流能到达点处；
（3）解：由题意得，消防员从点前进到点(水流从点射出)处，可以看成把第一次抛物线向左平移个单位得到，
∴消防员到点处时水流所在抛物线的解析式为，
∵水流未达到最高点且恰好到达点处，
∴过点，且对称轴，
∴，
将点代入得，，
解得或（不合，舍去），
∴，
故答案为：．
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