2024-2025年人教版九年级上册数学期末专题提升训练17：二次函数综合压轴（线段周长问题）（含解析）

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专题17：二次函数综合压轴（线段周长问题）--2024-2025年人教版九年级上册数学期末专题提升训练
1．如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过A， 两点，与x轴交于点B．
(1)若直线经过B，C两点，求直线和抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最小，求点M的坐标；
(3)设P为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点P的坐标．
2．如图，在平面直角坐标系中，直线l：与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线经过点B，且与直线l的另一个交点为．
(1)求n的值和抛物线的解析式．
(2)已知P是抛物线上位于直线下方的一动点（不与点B，C重合），过P点作垂直于x轴交直线于点F，设点P的横坐标为a．当a为何值时，线段有最大值，求出其最大值及此时点P的坐标．
(3)在抛物线上是否存在点M，使是以为直角边的直角三角形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
3．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，B（点A在B左边），交y轴于C，点是抛物线上一点．
(1)求抛物线的关系式；
(2)在对称轴上找一点M，使的值最小，求点M的坐标；
(3)如图2，抛物线上是否存在点Q，使？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
4．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且A点坐标为，直线BC的解析式为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点P为线段上方抛物线上的任意一点，过点P作交于点D，求的最大值及此时点P的坐标；
(3)如图2，将原抛物线水平向右平移，使得平移后的抛物线恰好经过原点，则抛物线与原抛物线交于点K，连接，过B作直线交y轴于点E，设F是直线上一点，点K关于直线的对称点为，试探究，是否存在满足条件的点F，使得点恰好落在直线上，如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
5．在平面直角坐标系中，抛物线 的图象交 轴于点 ，（在轴右侧，在轴左侧）， 为抛物线与 轴的交点，已知 ，且 ．
(1)求抛物线的解析式．
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点 ，使得的值最小，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
(3)若有最低点，点是直线下方的抛物线上的一个动点，求面积的最大值及此时对应的点坐标．
6．如图，二次函数的图象交轴于两点，交轴于点，点的坐标为，顶点的坐标为．
(1)求二次函数的解析式和直线的函数解析；
(2)根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的的取值范围______．
(3)是线段上的一个动点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，当点在第一象限内时，求线段长度的最大值．
7．如图，抛物线经过两点，与轴负半轴相交于点．
(1)求抛物线的解析式：
(2)为抛物线的顶点．为对称轴右侧抛物线上一点，连接交于点，若，求点的坐标：
(3)点为轴上方抛物线上一动点，点是抛物线对称轴与轴的交点．直线分别交抛物线的对称轴于点． 以下两个结论：
①为定值：②为定值．
请找出正确的结论，并求出该定值．
8．在平面直角坐标系中，抛物线=与x轴交于点，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图1，若点P是第二象限内抛物线上一动点，求面积的最大值；
(3)在对称轴上找一点Q，使的周长最小，求点Q的坐标；
(4)如图2，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，A、C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标，请说明理由．
9．在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点D是的中点，点E为x轴上一点，F为对称轴上一点，一动点P从点D出发，沿运动，若要使点P走过的路径最短，请求出点E、F坐标，并求出最短路径；
(3)如图2，直线与抛物线交于点M，问抛物线上是否存在点Q（点M除外），使得？若存在，请求出点Q坐标；若不存在，说明理由．
10．如图，已知抛物线经过原点，与轴上另一交点为，它的对称轴为与轴交于点，直线经过抛物线上一点，且与轴、直线分别交于点、．
(1)求的值及该抛物线对应的函数关系式；
(2)求证：①；②是的中点；
(3)在该抛物线上是否存在一点，使得．若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由．
11．已知抛物线的顶点为D，与x轴交于A，B两点（A在B左边）．
(1)若该抛物线的顶点D坐标为，求其解析式；
(2)如图（1），在（1）的条件下，P，Q为y轴上的两个关于原点对称的动点，射线，分别与抛物线交于M，N两点，求的值．
(3)如图（2），已知抛物线的顶点D在直线上滑动，且与直线l交于另一点E，若的面积为，求抛物线顶点D的坐标；
12．如图，一小球从斜坡上的点处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数刻画．若小球到达的最高点的坐标为，解答下列问题：

(1)求抛物线的解析式；
(2)在斜坡上的点有一棵树，点的横坐标为2，树高为4，小球能否飞过这棵树？通过计算说明理由；
(3)过点作轴的垂线，交于点，求的最大值．
13．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点C，直线经过B、C两点．点D为线段BC上的一个动点，当点D不与B、C重合时，过点D作轴，交抛物线于点E，过E作轴，交直线BC于点F．设点D的横坐标为m，线段EF的长为d．
(1)直线BC所对应的函数关系式为___________，抛物线所对应的函数关系式为___________；
(2)求d与m的函数关系式，并直接写出自变量m的取值范围；
(3)求d的最大值及此时点D的坐标．
14．如图，二次函数的图像与x轴交于和两点，交y轴与点，点C，D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图像过点B，D．
(1)求二次函数解析式；
(2)求出顶点坐标和点D的坐标；
(3)二次函数的对称轴上是否存在的一点M，使的周长最小？若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由．
(4)若是线段上任意一点，过点作轴交抛物线于点P，则点P坐标为多少时，最长？
15．综合与探究
如图，已知抛物线与轴交于A，两点（点A在点的左侧），与轴交于点，其顶点为，对称轴是直线，且与轴交于点．
(1)求点A，，，的坐标；
(2)若点是该抛物线对称轴上的个动点，求周长的最小值；
(3)若点是线段上的一个动点（与不重合），过点作轴的垂线，与抛物线交于点，与轴交于点则在点运动的过程中，是否存在？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
16．如图，抛物线与y轴交于点，顶点为．
(1)求抛物线对应的函数解析式．
(2)抛物线的对称轴上是否存在一点C，使的面积为3？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)在x轴上有一点P，使得的周长取最小值，求出点P的坐标．
17．综合与探究
如图，抛物线与x轴交于A，B两点，且点A在点B的左侧，与y轴交于点C．
(1)求点A，B和C的坐标；
(2)点E是直线上的动点，过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当时，求点E的横坐标；
(3)点P从点B出发沿以1个单位长度/秒的速度向终点C运动，同时，点Q从点O出发以相同的速度沿x轴的正半轴向终点B运动，一点到达，两点同时停止运动．连接，当是等腰三角形时，请直接写出运动的时间．
18．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于点A(﹣3，0)和B(1，0)，交y轴于点C(0，﹣3)．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接BC，若点E在抛物线上且S△BOC＝S△AOE，求点E的坐标；
（3）如图2，设点F是线段AC上的一动点，作DF⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DF的最大值．
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参考答案：
1．(1)，
(2)
(3)点P的坐标为或或或
【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、直角三角形的性质、点的对称性等；
（1）用待定系数法即可求解；
（2）设直线与对称轴的交点为M，则此时的值最小，进而求解；
（3）分点B为直角顶点、点C为直角顶点、P为直角顶点三种情况，分别求解即可．
【详解】（1）抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过，
∴，
设抛物线的表达式为，
将代入上式得：，解得，
∴抛物线的解析式为：；
把，代入得：
，解得，
∴直线的解析式为；
（2）设直线与对称轴的交点为M，则此时的值最小，
把代入直线得，故，
即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为；
（3）设，
∵，，
∴，
若点B为直角顶点时，则，
即，
解得；
若点C为直角顶点时，则，
即
解得，
若P为直角顶点时，则，
∴，
解得，
综上，点P的坐标为或或或．
2．(1)，抛物线的表达式为；
(2)当时，有最大值，最大值为16，；
(3)存在，或．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）设点P的坐标为，则点，求得，利用二次函数的性质即可求解；
（3）根据题意，需要分两种情况：①当点为直角顶点时，过点作交抛物线于点，分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为，，由此可得是等腰直角三角形，设出点的横坐标，代入函数解析式即可；②当点为直角顶点时，过点作交抛物线于点，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，设点的横坐标为，则，代入函数解析式即可．
【详解】（1）解：对于，
令，则，
令，解得，
当时，，
故点、、的坐标分别为、，；
将点、的坐标代入抛物线的表达式得，
解得，
抛物线的表达式为；
（2）解：如图，过点作轴的平行线交于点，连接，，
设点P的坐标为，则点，
，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为16；
当时，．
∴；
（3）解：存在，理由如下：
①当点为直角顶点时，如图，过点作交抛物线于点，分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为，，
，，
，，
，
，
，
，
设，则，
，
点在抛物线上，
，解得（舍）或，
，，
．
②当点为直角顶点时，如图，过点作交抛物线于点，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，
由①知，
，
，
，
设点的横坐标为，则，
，解得或（舍，
．
综上可知，存在点，使是以为直角边的直角三角形，此时或．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、等腰直角三角形的性质、面积的计算等，要注意分类求解，避免遗漏．
3．(1)
(2)
(3)存在，或
【分析】(1)根据待定系数法，将点A，点P代入抛物线解析式，解关于b，c的二元一次方程组，即可求得抛物线的解析式；
（2）由对称可得，直线与对称轴的交点就是所求的点M，求出直线的关系式和对称轴，求出交点坐标即可；
（3）分两种情况：当Q在下方或当Q在上方，构造等腰直角三角形和全等三角形求解即可．
【详解】（1）将点，代入，
得： ，
解得：
∴抛物线的解析式为 ；
（2）当时，，
∴点，
当时，有，
解得：，，
∴点，
∴抛物线的对称轴为：直线
设直线的关系式为，把点B坐标代入，
得：，解得，，
∴直线的关系式为，
由对称可得，直线与对称轴交点就是所求的点M，
当时，，
∴时，最小；
（3）当Q在下方时，如图，过P作于H，过H作轴， 交y轴于M，过P作于N，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∵，,
∴，解得 ，
∴,
设直线的解析式为 ，
∴，解得，
∴直线的解析式为 ，
联立直线与抛物线解析式得
，
解得或 ，
∴；
②当Q在上方时， 如图，过P作.于H，过H作.轴， 交y轴于M，过P作于N，
同理得.
综上，存在，点Q的坐标为或
【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，二次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法确定出解析式是解本题的关键.
4．(1)抛物线的解析式为
(2)的最大值为，此时
(3)或
【分析】本题主要考查了待定系数法、运用二次函数求最值、二次函数的平移,菱形的判定与性质，勾股定理等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键．
（1）先确定点B的坐标，然后运用待定系数法求解即可；
（2）设，抛物线与y轴的交点，然后确定，则、，进而得到，再根据二次根式的性质求最值即可；
（3）设函数沿x轴正方向平移m个单位长度，然后根据函数解析式求出m的值，则平移后的解析式为，然后联立可得；再求得直线的解析式为，设，易得四边形是菱形，由平移可得，然后根据列方程求得n的值即可解答．
【详解】（1）解：当时，，解得，
∴，
将点，代入，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：设，抛物线与y轴的交点，
∴直线的解析式为，
∵，
∴直线的解析式为，
∴，
当时，，解得或，
∴，
∴，，
∴，
当时，的最大值为，此时．
（3）解：存在点F，使得点恰好落在直线上，理由如下：
设函数沿x轴正方向平移m个单位长度，
∵，
∴平移后的函数解析式为，
∵平移后的抛物线恰好经过原点，
∴或（舍），
∴平移后的函数解析式为，
当时，解得，
∴，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
∵，
∴直线的解析式为，
设，
∵，K与关于对称，
∴四边形是菱形，
由平移可得，
∵，
∴，解得或，
∴或．
5．(1)或
(2)存在或，理由见解析
(3)最大面积为，此时
【分析】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点，配方法求二次函数的最大值，利用点和点的坐标求得的长，从而得到的面积与的函数关系式是解题的关键．
（1）由题意可求点，点，点坐标，用待定系数法可求解析式；
（2）先求出点关于对称轴对称的点坐标，连接，交对称轴于点，用待定系数法可求解析式，即可求点坐标；
（3）设点，则点，求出的长，从而得到的面积与的函数关系式，由二次函数的性质可求解．
【详解】（1）（1），且．
，，且在轴右侧，在轴左侧，
点，点，点或
设抛物线解析式为，
若点，
，
抛物线解析式为：，
若点，
，
抛物线解析式为：；
（2）点，点，
抛物线对称轴为直线，
点关于对称轴的对称点为，
连接，交直线的交点为点，
∵点，
∴设直线解析式为
若，代入得，
解得
则直线解析式为：，
当时，
点，
若点，
同理可得直线解析式为：，
当时，
点；
（3）如图，过点作，交于点，
若有最低点，
，
点，点，
直线的解析式，
设点，则点，
，
，
当时，面积的最大值为，此时点．
6．(1)，
(2)或
(3)最大值为
【分析】（1）可设抛物线解析式为顶点式，由点坐标可求得抛物线的解析式，则可求得点坐标，利用待定系数法可求得直线解析式；
（2）根据图象即可求得使一次函数值大于二次函数值的的取值范围；
（3）设出点坐标，从而可表示出的长度，利用二次函数的性质可求得其最大值．
本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法，二次函数的性质，方程思想等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质
【详解】（1）解： 抛物线的顶点的坐标为，
可设抛物线解析式为，
点在该抛物线的图象上，
，
解得，
抛物线解析式为，即，
点在轴上，令可得，
点坐标为，
可设直线解析式为，
把点坐标代入可得，
解得，
直线解析式为；
（2）解：∵且直线与二次函数的图象交这两点
结合图象：一次函数值大于二次函数值的的取值范围是或，
故答案为：或；
（3）解：设点横坐标为，
则，
，
当长度的最大值为．
7．(1)
(2)
(3)①是定值，理由见详解
【分析】（1）根据题意，运用待定系数法即可求解；
（2）根据题意可得，并求出直线的解析式为，设，根据两点之间距离公式可得，，，根据，可求出，并得直线的解析式为，联立抛物线为方程组求解即可；
（3）根据题意可得，，设，可求出直线的解析式为，由此得到，同理可求出直线的解析式为，，图形结合，分类讨论：第一种情况，当时，可得，，则有；第二种情况，当时，同理，，，可求出是定值．
【详解】（1）解：已知抛物线经过两点，
∴，
解得，，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：由（1）可得，抛物线的解析式为，点为抛物线的顶点，
∴，
∴，且，
设直线的解析式为，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为，如图所示，
设，且，
∴，，
∵，
∴，即，
解得，，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为，
联立抛物线与直线的解析式为方程组得，，
解得，（与点重合，不符合题意，舍去），，
∴；
（3）解：①是定值，理由如下，
已知抛物线的解析式为，，，
令时，，
解得，，，
∴，
∵点是抛物线对称轴与轴的交点，
∴，
∵点为轴上方抛物线上一动点，
∴设，
设直线的解析式为，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为，
∵点在抛物线对称轴上，即点的横坐标为，且点在直线的图象上，
∴当时，，
∴，
同理，设直线的解析式为，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为，
∵点在抛物线的对称轴上，即点的横坐标为，且点在直线的图象上，
∴当时，，
∴，
第一种情况，当时，如图所示，
∴，，
∴，，
∴是定值；
第二种情况，当时，如图所示，
同理，，，
∴，，
∴是定值；
综上所述，①是定值．
【点睛】本题二次函数与线段的数量关系的综合，掌握待定系数法求二次函数解析式，一次函数解析式，坐标系中两点之间的距离公式，二次函数与二元一次方程组的计算等知识，学会图形结合，分类讨论思想是解题的关键．
8．(1)
(2)
(3)
(4)存在，点M的坐标为或
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）证明是等腰直角三角形，则，即可求解；
（3）与抛物线的对称轴的交点即为点Q，求出直线的解析式，进而即可求解；
（4）当为平行四边形对角线时，则，解得：，即可求解；当为平行四边形对角线时，同理可解．
【详解】（1）解：点，在抛物线的图象上，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）由（1）知，抛物线的表达式为：，
令，解得：或，
故点；
①过作于点，过点作轴交于点，如图：
，，
，，
是等腰直角三角形，
，
轴，
，
是等腰直角三角形，
，
当最大时，最大，
设直线解析式为，
将代入得，
，
直线解析式为，
设，，则，
，
，
当时，的最大为，
此时最大为，即点到直线的距离值最大；
面积的最大值；
（3）设点，点，，
与关于对称轴对称，
连接与对称轴的交于点，
设解析式为，
，
解得，
，
当时，，
，
点；
（4）存在，理由如下：
，
抛物线的对称轴为直线，
设点的坐标为，点的坐标为，
分三种情况：①当为平行四边形对角线时，
则，解得：，
点的坐标为；
②当为平行四边形对角线时，
则，解得：，
点的坐标为；
③当为平行四边形对角线时，
则，
解得：，
点的坐标为；
综上，点的坐标为：或或．
【点睛】本题是二次函数综合题，其中涉及到二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，平行四边形的判定与性质．熟知几何图形的性质利用数形结合是解题的关键．
9．(1)
(2)、，最短路径长6.5
(3)存在，
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）作点关于抛物线对称轴的对称点，，作点关于轴的对称点，连接交轴于点交抛物线对称轴于点，则此时，点、符合题设要求，此时点运动的路径最小，进而求解；
（3）先求出点，由，得到，根据勾股定理列式计算，进而求解．
此题主要考查了反比例函数解析式求法以及待定系数法求二次函数解析式以及利用对称求最小值问题以及相似三角形的判定与性质等知识，利用相似得出点坐标是解题关键．
【详解】（1）解：∵已知抛物线与x轴交于点，，
∴设抛物线的表达式为：，
∵
∴，
则，
则抛物线的表达式为：；
（2）解：如图1，由抛物线的表达式知，
其对称轴为直线，
∵
∴
则
作点关于抛物线对称轴的对称点，
∴
∵点D是的中点
∴
作点关于轴的对称点，
∴
连接交轴于点交抛物线对称轴于点
则此时，点、符合题设要求，此时点运动的路径最小，
理由：∵点关于轴的对称点，点关于抛物线对称轴的对称点
∴，，
则，
此时的长度满足点P走过的路径最短
设直线的表达式为
把，分别代入
得，
解得
直线的表达式为：，
当时，，
即点，，
令，则，
则点，，
∵，
∴，
即点、坐标分别为：、，
∴最短路径长6.5；
（3）解：存在，理由：
依题意
∴
解得：（舍去）或3，
则点，
设直线交于点，
由点、知，
∴，
而直线和轴正半轴的夹角为，
∴
则，
，则，
则，
解得：（舍去）或1，
则点，
设直线的表达式为
把点、分别代入
得，
解得
直线的表达式为：，
依题意，得
解得：（舍去）或7，
则点．
10．(1)，抛物线的解析式为；
(2)①证明见解析，②证明见解析；
(3)存在，点的横坐标m为或，理由见解析．
【分析】（1）将B点代入直线解析式得出m的值，然后得出点B的坐标，设，利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）①首先求得E点坐标，然后求得，进而得证；
②分别求得，，进而得到，D是的中点；
（3）若，则P点必在线段的垂直平分线上即直线上，可求出直线的解析式，联立抛物线即可求出P点的坐标．
【详解】（1）解：将代入得．
设，将、代入得，
，
抛物线的解析式为．
（2）证明：①当时，，
．
，
．
，
，
．
②，，
，
是的中点．
（3）存在．由（2）知直线是线段的垂直平分线，所以直线与抛物线的交点即为所求点．
设直线对应的函数关系式为，
将代入得：，
解得：，
∴直线对应的函数关系式为，
，
代入得，，
解得：，．
即点的横坐标为或．
【点睛】此题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式、点的坐标与线段长度的转化，综合性较强，解答本题的关键是注意各知识点的融会贯通以及数形结合的数学思想方法的运用．
11．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用顶点式求出解析式即可；
（2）设，则，，利用待定系数法求出直线的解析式为，联立方程组，得，同理可得：，根据勾股定理求出，即可求得答案；
（3）设点D，E的坐标分别为，则，将抛物线与直线l解析式联立，整理得，，可得，设直线l与x轴的交点为G，则，利用三角形面积可得，，进而得，联立方程组，可得答案．
【详解】（1）∵该抛物线的顶点D坐标为，
∴抛物线的解析式为；
（2）设，
∵P，Q为y轴上的两个关于原点对称的动点，
∴，
∴，
由（1）知：，
令，则，
解得，
∴，
设直线的解析式为，
则，∴，
∴直线的解析式为，
联立方程组，得，
解得（舍去），，
∴，
同理可得：，
∴，
∴
（3）设点D，E的坐标分别为，
则，
将抛物线与直线l解析式联立得，
整理得，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
设直线l与x轴的交点为G，则，

∴
∵，
∴，
∴
∴
将代入，
得，
联立方程组，
解得（舍去），
∴，，
∴．
【点睛】此题是二次函数综合题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象和性质，二次函数图象和性质，三角形面积，一元二次方程解法，根与系数的关系，两点之间距离公式，解题的关键是熟练运用一元二次方程根与系数关系等相关知识．
12．(1)
(2)小球能飞过这棵树，理由见解析
(3)
【分析】（1）根据题意可设抛物线的表达式为，再将代入，求出a的值，从而即可求出抛物线的表达式；
（2）将代入，可求出B点坐标，从而可求出树的顶端的坐标为．再将代入，求出此时点M的坐标，再比较和即可得解；
（3）联立，并求解，即可求出x的取值范围．过点M作轴于点F，交于点E．设，则，即得出，最后根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵小球到达的最高的点坐标为，
∴可设抛物线的表达式为．
由题意可知该抛物线过原点，
∴，
解得：，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：将代入，得：，
∴．
∵树高为4，
∴树的顶端的坐标为．
将代入，得：，
∴此时，
∴，
∴小球M能飞过这棵树；
（3）联立，
解得：，．
∴．
如图，过点M作轴于点F，交于点E．

设，则，
∴，
∵，，
∴当时，有最大值，最大值为，
∴小球M在飞行的过程中离斜坡的最大高度是米．
【点睛】本题考查二次函数的应用，涉及两函数图象交点的求解方法，利用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质等知识，难度适中．利用数形结合与方程的思想是解题的关键．
13．(1)，
(2)
(3)最大值为4，此时
【分析】（1）根据题意将B点坐标代入一次函数求出一次函数，在根据一次函数求出C点坐标，将A、B、C代入二次函数即可求出二次函数；
（2）将m代入二次函数得到E、F点的纵坐标，在代入一次函数求出F点坐标，即可得到d与m的函数关系式；
（3）由（2）中的d与m的函数关系式求出最值即可．
【详解】（1）解：由题意得，
当 时，，
∴点坐标为 ，
将、， ，代入，，代入可得，
， ，解得： ，
∴，，
故答案为：，；
（2）解：点D的横坐标为m，轴，
．
轴．
．
．
（3）解：，，，
当时，d取最大值，最大值为4，此时．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数图像共存问题、动点距离问题及最值问题，解题的关键首先是根据共存求解析式，其次是根据点的横坐标表示出所有点，最后是根据函数的性质求最值．
14．(1)
(2)顶点坐标为；点关于对称轴的对称点D的坐标为；
(3)存在，
(4)点P坐标为时，最长．
【分析】（1）由抛物线与x轴的交点坐标和，设抛物线的解析式为，将点代入求得a的值，即可得到答案；
（2）由，得到顶点坐标，由抛物线的对称轴为直线，得到点D的坐标；
（3）要使的周长最小，只需最小即可，点A和B关于直线对称，连接交直线于点M，求出直线的解析式，求得交点M的坐标即可；
（4）先求直线的解析式，设点P的坐标是，则点Q的坐标是，表示出的长度，根据二次函数的性质求得最大值即可．
【详解】（1）解：由抛物线与x轴的交点坐标和，设抛物线的解析式为，
将点代入，得：，
解得：，
则抛物线的解析式为.
（2）∵，
∴顶点坐标为，抛物线的对称轴为直线，
∴点关于对称轴的对称点D的坐标为；
（3）存在，要使的周长最小，只需最小即可，
∵点A和B关于直线对称，连接交直线于点M，
∴，
则，
∴点M满足题意，
设直线的解析式为，把点和代入得，
则，
解得，
∴直线的解析式为，
设点M的坐标是，
则，
即点为所求．
（4）如图，
设直线的解析式为，把点和点D代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
设点P的坐标是，则点Q的坐标是，
则，
∵ ，
∴当时，有最大值为，
此时，
即点P坐标为时，最长．
【点睛】此题主要考查了二次函数几何综合题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
15．(1)A（，0），B（1，0），C（0，3），D（，4）
(2)
(3)存在点E（，1），使得
【分析】（1）当时，，求解即可得到点A、点B的坐标，当x=0时，，即可求点C的坐标，把二次函数解析式化成顶点式，即可求出点D的坐标；
（2）的周长为，为定值，当最小时，的周长最小．即可求解；
（3）设点E坐标为（x，），点F（x，），则，，即可求解．
【详解】（1）解：当y=0时，，
解得，，
∴点A坐标为（，0），点B坐标为（1，0）．
当x=0时，y=3，
∴点C坐标为（0，3）．
∵，
∴点D坐标为（，4）；
（2）解：的周长为，∵为定值，
∴当最小时，的周长最小．
∵点A，点B关于抛物线的对称轴l对称，∴连接，交l于点P，点P即为所求的点．
∵，
∴．
∵A（，0），B（1，0），C（0，3），
∴，，
∴周长的最小值为；
（3）设直线的解析式为，得
．
解得，．
∴直线的解析式为．
设点E坐标为（x， ），点F（x， ），
则，．
当时，有．
解得，（舍去）
当时，点E坐标为（，1）．
∴存在点E（，1），使得．
【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
16．(1)
(2)存在，或
(3)
【分析】（1）直接利用顶点式求出二次函数解析式得出答案；
（2）利用，进而得出C点坐标纵坐标，即可得出答案；
（3）利用轴对称求最短路线的方法得出P点位置进而得出答案．
【详解】（1）解：设抛物线为
∵顶点为，
∴，
将代入得，
解得，
∴抛物线的解析式为：，
即；
（2）如下图，抛物线的对称轴上存在一点C，使的面积为3，理由如下：
由可知抛物线对称轴是直线，
过A作直线，垂足为D，则，
设点，
∴，
解得；
∴点C坐标为或；
（3）如（2）图，设点关于x轴对称的点为E，则，
∵的长是定值，当的值最小时，的周长取最小值，
而，当P为直线与x轴的交点时，取最小值，即取最小值，
∴当P为直线与x轴的交点时，的周长取最小值，
设直线的解析式为：，
把和代入，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为：，
令代入，
∴，
∴点P的坐标为．
【点睛】此题考查了求二次函数的解析式，二次函数与三角形面积，以及利用轴对称求最短路线，正确得出P点位置是解题关键．
17．(1)点A的坐标是，点B的坐标是，点C的坐标是；
(2)点E的横坐标是和2；
(3)2秒，秒和秒
【分析】（1）把代入，求得抛物线与x轴的交点坐标A，B；把代入，求得与y轴的坐标C．
（2）设直线BC的函数解析式为，把点B与点C的坐标代入求得，设点E的坐标为，点F的坐标为，因此EF的长度为，由于，列出方程，从而求出m的值，即为E点的横坐标．
（3）设运动时间为，则点Q的坐标为 ，P的坐标为，所以，，，当为等腰三角形时，分三种情况考虑：①当时，；②当时，；③当时，．
【详解】（1）解：把代入中，得．
∴点C的坐标是．
把代入中，得．
解得，．
∴点A的坐标是，点B的坐标是．
∴点A的坐标是，点B的坐标是，点C的坐标是．
（2）解：设直线的解析式是．
∵过点，
∴．
解得．
∴直线的解析式是．
∵点E是直线上的动点，过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，
∴设点E的坐标是，则点F的坐标是．
∵，点C的坐标是，
∴．
∴，或．
解得，，．
∴点E的横坐标是，和2．
（3）2秒，秒和秒
解：设运动时间为t，根据题意，若要构成，则P、Q不与点B重合，t的取值范围为，
∴，，
如图，过点P作轴于点D，设点P的坐标为，则，，
根据勾股定理，在中，
,
，
解得，（不符合题意，舍去），
∴点P的坐标为，
∵点Q的坐标为
∴，
∵，，，
①当时，
即，
解得：；
②当时，
，
解得：，（不符合题意，舍去），
③当时，
，
解得：，（不符合题意，舍去），
综上所述：当是等腰三角形时，时间为2秒，秒，秒．
【点睛】本题考查二次函数综合运用，包括求抛物线与x轴的坐标，一次函数的解析式，利用坐标求线段长度，等腰三角形的性质，熟悉掌握求抛物线与x轴的交点坐标、顶点坐标以及等腰三角形的性质本题的解题关系．
18．（1）；（2）(﹣1，-4)，，（3）
【分析】（1）把点A、B、C的坐标分别代入函数解析式，解方程组即可得到结论；
（2）设E点坐标为，根据S△BOC＝S△AOE，列出关于x的方程，解方程求出x的值，进而得到点E的坐标；
（3）先求出直线AC的解析式为，再设Q点坐标为，则D点坐标为，然后用含x的代数式表示DF，根据二次函数的性质即可求出线段DF长度的最大值．
【详解】解：（1）把A(﹣3，0)，B(1，0)，C(0，-3)代入，得：
，解得：，
故该抛物线的解析式为：；
（2）由（1）知，该抛物线的解析式为，设E点坐标为，
∵，
∴，
∴，
当时，解得，此时E点坐标为(﹣1，-4)；
当时，解得，，此时E点坐标为，；
综上所述：符合条件的点E的坐标为：(﹣1，-4)，，；
（3）设直线AC的解析式为，将A(﹣3，0)，C(0，-3)代入，
得：，解得：，
即直线AC的解析式为．
设F点坐标为其中﹣3≤x≤0，则D点坐标为，
∴
即：，
∴时，DF有最大值．
【点睛】本题考查二次函数的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，面积问题以及线段最值问题，根据待定系数法求函数解析式、用坐标表示线段长是解题基础，结合已知条件及图象进行分析是解题的关键．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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