2024-2025年人教版九年级上册数学期末专题提升训练18：二次函数综合压轴（面积问题）

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专题18：二次函数综合压轴（面积问题）--2024-2025年人教版九年级上册数学期末专题提升训练
1．如图，已知二次函数的图象经过点，，矩形的顶点在轴上，动点从点出发沿折线运动，到达点时停止，设点运动的路程为．
(1)求二次函数的解析式；
(2)设在点的运动过程中直线扫过矩形的面积为，求关于的函数关系式；
(3)在点的运动过程中，抛物线上是否存在点，使是等腰直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，抛物线经过坐标原点和点，点在轴上．
(1)求此抛物线的解析式，并求出顶点的坐标；
(2)连接，，求；
(3)若点在抛物线上，且，求点的坐标．
3．已知抛物线，顶点为点，与轴交于点，与轴交于点．
(1)求顶点坐标；
(2)求的面积；
(3)点是直线上方抛物线上的点且不同于顶点，是否存在点，使得和面积相等？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由？
4．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是抛物线上的动点，且满足，求出P点的坐标；
(3)连接，点E是x轴一动点，点F是抛物线上一动点，若以B、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点F的坐标．
5．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接．
(1)求抛物线的表达式．
(2)点是抛物线上位于线段下方的一个动点，连接，，求面积最大时点的坐标；
(3)在抛物线上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由．
6．如图，抛物线过点，，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)第一象限内的抛物线图象上有一动点P，x轴正半轴上有一点D，且，当的面积是3时，求出点P的坐标；
(3)抛物线的顶点为Q，直线与抛物线交于点E，F，M是线段的中点，当时，求四边形面积的最小值．
7．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，点A在原点的左侧，点B的坐标为，点P是抛物线上一个动点．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)在抛物线上是否存在点P，使得的面积等于10．若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
(3)若点P在直线的上方，当点P运动到什么位置时，的面积最大？请求出点P的坐标．
8．如图，抛物线与x轴相交于B，C两点（点B在点C的左边），与y轴相交于点A，直线的函数解析式为．
(1)求点A，C的坐标；
(2)求抛物线的解析式；
(3)在直线上方的抛物线上有一点M，求四边形面积的最大值及此时点M的坐标．
9．如图，抛物线（）与轴交于、两点．
(1)求抛物线表达式；
(2)若点是第四象限内抛物线上的一个动点，连接、，求面积最大值及此时点的坐标；
(3)若点是轴上的动点，点是抛物线上的动点，是否存在以点A、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标：若不存在，请说明理由．
10．如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于点A和点．
(1)求a和b的值；
(2)求点A的坐标，并结合图象写出不等式的解集；
(3)点P是直线下方的抛物线上的一动点（不与点A，B重合），请直接写出当的面积最大时，点P的坐标．
11．抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且，．
(1)求抛物线的解析式及点A的坐标；
(2)直接写出不等式的解集为______；
(3)求的面积．
12．如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，二次函数的图象与一次函数的图象交于、两点，与轴交于、两点，且点坐标为．
(1)求二次函数的解析式；
(2)求四边形的面积；
(3)在轴上是否存在点，使得是直角三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标，若不存在，请说明理由．
13．抛物线与x轴的交点为，，并且与y轴交于点C，解答下列问题：

(1)求该抛物线对应的函数解析式；
(2)求三角形的面积．
(3)在抛物线上是否存在一点P，使，若不存在，请说明理由，若存在，请求出点P的坐标．
14．如图，已知二次函数的图象与x轴交于、两点，与y轴交于点C，其对称轴与x轴交于点D，连接、．点P为抛物线上的一个动点（与点A、B、C不重合），设点P的横坐标为m，的面积为S．
(1)求此二次函数的表达式；
(2)当点P在第一象限内时，求S关于m的函数表达式；
(3)若点P在x轴上方，的面积能否等于的面积？若能，求出此时点P的坐标，若不能，请说明理由．
15．如图，抛物线顶点坐标为点，交x轴于点，交y轴于点B．
(1)求抛物线和直线的解析式；
(2)点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连结，，当P点运动到顶点C时，求的铅垂高及；
(3)是否存在一点P，使，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
16．如图，抛物线过x轴上点、点，过y轴上点，点是抛物线上的一个动点．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)求四边形面积的最大值；
(3)当点P的横坐标m满足时，过点P作轴，交于点E，再过点P作轴，交抛物线于点F，连接，求使为等腰直角三角形的点P的坐标．
17．如图1，抛物线与x轴交于点（A点在B点左侧），与y轴交于点，点P是抛物线上一个动点，连接．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图2所示，当点P在直线上方运动时，连接，求四边形面积的最大值，并写出此时P点坐标；
(3)若点M是x轴上的一个动点，点P的横坐标为3．试判断是否存在这样的点M，使得以点B、M、P为顶点的三角形是直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
18．如图，抛物线与轴相交于点，与轴相交于点．
(1)求直线的解析式；
(2)若点为第三象限内抛物线上的一点，设的面积为，求的最大值；
(3)设抛物线的顶点为，轴于点，在轴上是否存在点，使得是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
19．抛物线与轴交于两点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，已知．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由；
(3)点是线段上的一个动点，过点作轴的垂线与抛物线相交于点，当面积最大时，求点的坐标及的最大值．
20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）与x轴正半轴交于点，与y轴交于点，P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作x轴的垂线，在该垂线上点P下方取一点D，使，在该垂线上点C的纵坐标为，以CD为边作矩形CDEF，若点E的横坐标为．

(1)求此抛物线所对应的函数表达式；
(2)当时，求矩形CDEF的周长；
(3)当矩形CDEF被x轴分成面积相等的两部分时，求m的值；
(4)当抛物线在矩形CDEF内部（不包括边界）的图象的函数值y随自变量x的增大而增大时，直接写出m的取值范围．
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参考答案：
1．(1)
(2)
(3)存在．，，
【分析】把点，代入函数解析式，利用待定系数法求出函数解析式；
这是一个分段函数，分点在边上和点在边上两种情况求函数关系式；
分三种情况求解：当点在边上时，为等腰直角三角形的斜边；当点在边上时，为等腰直角三角形的斜边；当点在边上时，为等腰直角三角形的直角边．
【详解】（1）解：把点，代入函数解析式，
得：，
解得：，
二次函数的解析式为；
（2）解：点，，
,，
四边形是矩形，
，
当时，点在上运动，
此时扫过的图形是，
，
当点运动到边上时，如下图所示，
此时扫过的图形是四边形，
，
，
；
（3）解：当点在边上时，为等腰直角三角形的斜边时，
如下图所示，过点作轴于点，延长交的延长线于点，
则，
，
，
，
，
在和中，
，
，，
设点的坐标为
则，，
，
，
整理得：，
解得:，，
当时，，
此时点的坐标为与点重合，
故应舍去，
当时，
此时点的坐标为；
当点在边上时，为等腰直角三角形的斜边时，
如下图所示，
点的坐标为，则点的坐标为，
，
，
整理得：，
解得：，，
当时，，
此时点的坐标为，与点重合，
故应舍去，
当时，，
此时点的坐标为；
如下图所示，
当点在边上时，为等腰直角三角形的斜边时，
过点作轴于点，
则，
又，
则，
在和中，
，
，
，
，
点的纵坐标为，
解方程，
整理得：，
解得：，，
当时，此时点与不能构成直角三角形，
故应舍去，
当时，对应的纵坐标为，
综上所述点的坐标为，，；
【点睛】本题是二次函数和动点问题的综合题，考查了矩形的性质，坐标与图形性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，注意分类讨论思想和方程思想的运用．
2．(1)；顶点的坐标为
(2)
(3)点的坐标为或
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．
（1）把原点坐标代入中求出的值，从而得到抛物线解析式，然后把一般式配成顶点式得到点坐标；
（2）先解方程得到，然后根据三角形面积公式求解；
（3）设点坐标为，利用三角形面积公式得到，然后解方程求出，从而得到点坐标．
【详解】（1）解：把代入得，
抛物线解析式为，
，
顶点的坐标为；
（2）解：当时，，
解，，
，
；
（3）解：设点坐标为，
，
，
即或，
解方程得，，
点坐标为，或，
方程无实数解，
综上所述，点坐标为，或．
3．(1)
(2)3
(3)存在；
【分析】本题主要考查了二次函数顶点式的性质，二次函数与几何图形面积的计算方法，掌握二次函数顶点式的计算，二次函数与几何图形面积的计算方法阿是解题的关键．
（1）把二次函数一般式化为顶点式即可求解；
（2）根据二次函数与坐标轴的交点的计算方法可得，，运用待定系数法求出直线的解析式，如图所示，过点作轴于点，交于点，可得，根据∴，即可求解；
（3）根据题意，点是直线上方抛物线上的点且不同于顶点，过点作轴于点，交于点，设，计算方法如（2），由此即可求解．
【详解】（1）解：已知抛物线，顶点为点，
∴，
∴顶点坐标；
（2）解：令，则，
∴，
令，则，
解得，，
∴，
设直线的解析式为，把代入得，，
解得，，
∴直线的解析式为，
如图所示，过点作轴于点，交于点，
∴点的横坐标为，
把代入直线得，，
∴，
∴，，
∴，
∴的面积为3；
（3）解：如图所示，
∵点是直线上方抛物线上的点且不同于顶点，过点作轴于点，交于点，
∴设，
∴点的横坐标为，
∴，即
∴，
根据（2）的计算方法得，，
∴，
∴，
解得，（不符合题意，舍去），，
当时，，
∴，
∴存在点，使得和面积相等，坐标为．
4．(1)
(2)点或或或
(3)点F坐标为或或
【分析】（1）根据待定系数法直接将，两点待入求解即可；
（2）根据题意先求出点C坐标，是设点，根据可得，求解即可；
（3）根据平行四边形的性质分别讨论若为边，且四边形是平行四边形时，若为边，且四边形是平行四边形时，若为对角线，则四边形是平行四边形时三种情况即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点，
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：∵抛物线与y轴交于点C，
∴点，
，
设点，
，
，
或，
∴点或或或；
（3）解：若为边，且四边形是平行四边形，
，
∴点F与点C纵坐标相等，
，
，，
∴点，
若为边，且四边形是平行四边形，
与互相平分，
中点纵坐标为0，且点C纵坐标为3，
∴点F的纵坐标为，
，
，
∴点或；
若为对角线，则四边形是平行四边形，
与互相平分，
中点纵坐标为，且点E的纵坐标为0，
∴点F的纵坐标为3，
∴点，
综上所述，点F坐标或或．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求抛物线的解析式，二次函数综合，坐标与图形，二次函数图象与性质，平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质，并利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键．
5．(1)抛物线的表达式为
(2)点的坐标为
(3)存在，满足条件的点的坐标为或或或
【分析】（1）利用抛物线的交点式直接代值求解即可得到答案；
（2）过点作轴的垂线，交于，如图所示，由二次函数图象与性质，利用平面直角坐标系中三角形的面积求法得到，进而由二次函数最值的求法即可得到答案；
（3）当为直角三角形时，分三种情况：①；②；③；如图所示，根据分类，由勾股定理列方程求解即可得到答案．
【详解】（1）解：抛物线与轴交于，两点，
设抛物线的交点式为，即抛物线的表达式为；
（2）解：过点作轴的垂线，交于，如图所示：
由（1）知抛物线的表达式为，
抛物线与轴交于点，
设直线，将、代入得，解得，
直线，
点是抛物线上位于线段下方的一个动点，
设，则，
，
，
抛物线开口向下，当时，有最大值，此时点的坐标为；
（3）解：存在，
当为直角三角形时，分三种情况：①；②；③；如图所示：
设，
、
，
当时，即抛物线上的点（在第一象限，），由勾股定理可得，则，即，解得（舍去）或，
；
当时，即抛物线上的点（在第三象限，），由勾股定理可得，则，即，解得（舍去）或，
；
当时，即抛物线上的点，由勾股定理可得，则，即，解得（与重合，舍去）或（与重合，舍去）或或，
、；
综上所述，满足条件的点的坐标为或或或．
【点睛】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法确定函数解析式、二次函数图象与性质、平面直角坐标系中求三角形面积、二次函数最值、二次函数与直角三角形综合、两点之间距离公式、解一元二次方程等知识，熟练掌握二次函数图象与性质、二次函数综合问题的解法是解决问题的关键．
6．(1)
(2)或
(3)时，有最小值，最小值为
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键.
（1）依据题意，把点代入求出后即可求得解析式；
（2）依据题意，先求出点C和点D的坐标，然后连接，设点P的坐标为，
根据列方程求出m值即可解题；
（3）依据题意可得点的坐标是，又把与 联立方程组，得 可得, 连接, 有再结合二次函数的性质即可判断得解.
【详解】（1）由题意, 把点. 代入
得 ，
，
∴抛物线的解析式为
（2）解：当时，，
∴点C的坐标为，
∵x轴正半轴上有一点D，且，
∴点D的坐标为，
连接，
设点P的坐标为，
则，
解得：，，
∴点P的坐标为或；
（3）解：∵点的坐标是,
∴.
又∵
∴点的坐标是.
把与联立方程组，得
，
如图, 连接.
,
当时，有最小值，最小值为
7．(1)
(2)存在，点P的坐标为或
(3)
【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合：
（1）利用待定系数法可直接求出二次函数的解析式；
（2）先求出点A坐标，进而得到，再根据三角形面积计算公式求出点P的纵坐标，进而求出点P的坐标即可；
（3）先设出点的坐标，然后作平行轴交与点，将三角形和三角形的面积表示出来，再求出最大值的条件和最大值．
【详解】（1）解：把点，点的坐标代入中得，
解得，
二次函数得表达式为；
（2）解：在中，当时，或，
∴,
又∵，
∴，
∵的面积等于10，
∴，
∴，
∴，
在中，当时，此时，方程无解，不符合题意；
在中，当时，解得或，
∴点P的坐标为或，
∴存在点P，使得的面积等于10，点P的坐标为或；
（3）解：如图，过点作轴的平行线与交于点，
设，
设直线的解析式为，
则有，
解得：，
∴直线的解析式为，
则，
，
当时，的面积最大，
将代入，得，
点的坐标为，的面积的最大值为．
8．(1)
(2)
(3)四边形的面积有最大值，最大值为8，此时
【分析】（1）在直线y＝﹣x+2中分别令和，可得A和C的坐标；
（2）将A、C的坐标代入抛物线的解析式便可求得抛物线的解析式；
（3）方法一：过M点作轴，与交于点N，设则，由三角形的面积公式表示出四边形的面积关于a的函数关系式，再根据二次函数的性质求得最大值，并求得a的值，便可得M点的坐标；
方法二：连接，根据面积和表示关于a的函数关系式，再根据二次函数的性质求得最大值，并求得a的值，便可得M点的坐标；
【详解】（1）解：对于一次函数．
令，得，令，得，
∴，
（2）解：将，代入得
解得
∴
（3）解：方法一：由（2）可得抛物线对称轴为直线，
∴，
∴
如图过点M作直线轴交直线于点N
设则
∴
∴
∵，
∴当时，四边形最大值为8且；
方法二：由（1）知：
∴抛物线的对称轴是直线
∵，∴
连接，设
∴
∴当时，四边形的面积有最大值，最大值为8，此时．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，旋转的性质，待定系数法，求函数图象与坐标轴的交点，求函数的最大值，三角形的面积公式，第（3）题关键在求函数的解析式．
9．(1)
(2)最大值为；
(3)存在，点的坐标为或或或
【分析】（1）根据待定系数法可进行求解函数解析式；
（2）由（1）可知，过点M作y轴的平行线，交于点N，由题意易得直线的解析式为，设，则，然后根据铅垂法可进行求解；
（3）由题意可分当为对角线时，当或为对角线时，然后根据中点坐标公式可进行求解．
【详解】（1）解：由题意可得：
，
解得：，
∴该抛物线解析式为；
（2）解：由（1）可知抛物线解析式为，则令时，，
∴，
过点M作y轴的平行线，交于点N，如图所示：
设直线的解析式为，则有：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∴，
∴当时，的面积有最大值，最大值为，
此时；
（3）解：存在，理由如下：
由题意可知：，设点，
当为对角线时，由中点坐标公式可得：
，
解得：，（不符合题意，舍去）
∴，
当或为对角线时，同理可得：
或，
解得：或，
∴点D的坐标为或或；
综上所述：当以点A、、、为顶点的四边形是平行四边形，点D的坐标为或或或．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
10．(1)
(2)，或
(3)
【分析】本题考查二次函数的综合问题．熟练掌握待定系数法确定一次函数解析式和二次函数解析式，函数与不等式的关系，二次函数的呼象和性质，是解题的关键．
（1）把分别代入和，即可求得；
（2）由，求出，结合，可得不等式的解集为，或；
（3）过点P作轴，交于点D，设，则，得到，得到，可知当时，有最大值，此时．
【详解】（1）∵直线与抛物线交于点，
∴，，
∴；
（2）∵，
∴，
当时，，
∴，
∴，
∵，
∴不等式的解集为：，或；
（3）∵，
∴，
过点P作轴，交于点D，
设，
∵的解析式为，
∴，
∴，
∴
，
∵，，
∴当时，有最大值，
∴，
∴．
11．(1)抛物线的解析式；
(2)
(3)
【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式，令，求得的值，即可求得点的坐标；
（2）根据图象，结合抛物线与轴的交点即可求解；
（3）利用面积公式求解即可．
【详解】（1）解：，代入，得，
解得，
抛物线的解析式；
当时，则，
解得，，
；
（2）解：抛物线开口向下，与轴的交点为，，
由图象可知，不等式的解集为．
故答案为：；
（3）解：，，，
，，
．
【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点，待定系数法求函数的解析式，二次函数与不等式的关系，三角形的面积，熟练掌握待定系数法、求得交点坐标，数形结合是解题的关键．
12．(1)
(2)
(3)P的坐标为或或或
【分析】题目主要考查二次函数与一次函数综合问题，勾股定理解三角形，面积问题等，理解题意，进行分类讨论是解题关键．
（1）根据题意得出，然后利用待定系数法确定函数解析式即可；
（2）根据两个函数得出，结合图象得出求解即可；
（3）设点，根据题意得出，然后分三种情况：当P为直角顶点时，当B为直角顶点时，当C为直角顶点时，分别求解即可．
【详解】（1）解：根据题意得，当时，，
∴，
将， 代入得
，解得，
得解析式；
（2）根据题意得：联立两个函数，
解得：或，
∴，
∴，，
∴四边形的面积为：；
（3）设点，
∵，
∴，
当P为直角顶点时，，
∴，
解得：或，
∴或；
当B为直角顶点时，，
∴，
解得：，
∴；
当C为直角顶点时，，
∴，
解得：，
∴；
综上可得：P的坐标为或或或 ．
13．(1)
(2)3
(3)或或
【分析】本题主要考查抛物线与轴的交点以及二次函数的性质，关键是要会利用待定系数法求出抛物线解析式．
（1）利用待定系数法即可确定抛物线的解析式；
（2）根据，，坐标求三角形面积即可；
（3）根据，求出点的纵坐标，再把点纵坐标代入解析式求出即可．
【详解】（1）解：由题意可得，抛物线过点，，
把点和代入抛物线的解析式，得：，
解得，
抛物线对应的函数解析式为；
（2）解：由（1）知，，
令，则，
，
；
（3）解：存在，
，
，
的纵坐标是2和，
令，则，
解得，，
；
当时，，
解得，
点P的坐标为或，
综上所述，点坐标为或或．
14．(1)
(2)
(3)能；或
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）过点P作轴于N，作轴于M，连接、，当点P在第一象限时，则)，又因为，，由求解即可；
（3）当P在第一象限时，当P在第二象限，分别求解即可；
【详解】（1）解：把、代入二次函数，得
，
解得：，
∴；
（2）解：如图，过点P作轴于N，作轴于M，连接、，
，
当点P在第一象限时，
∵点的横坐标为，
∴，
对于二次函数，令，则，
∴，
∵，
∴
；
（3）解：当P在第一象限时，若，
则，
解得：，
∴P点坐标为，
当P在第二象限，即时，过O作直线交抛物线于点，
设直线的解析式为，把，代入，得
，解得：，
∴直线的表达式为，
所以直线l的表达式为，
联立方程组方程组，
解得：（舍去），，
∴点P坐标为
综上，P的坐标为或．
【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象性质，三角形面积，等定系数法求一次函数的式，一次函数图象平称等知识，（3）问要注意分类讨论．
15．(1)，
(2)，
(3)存在，
【分析】本题考查了二次函数的解析式的求法、二次函数与几何图形综合题，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题．
（1）用待定系数法即可求解；
（2）当时，分别代入和得，，得到，进而求解；
（3）假设存在符合条件的点，设点的横坐标是，的铅垂高，则，由即可求解．
【详解】（1）解：抛物线顶点坐标为点，且经过点，
设抛物线的解析式为：，
把代入解析式，
解得：，
抛物线的解析式为，
抛物线与轴的交点坐标，
设直线的表达式为，
则有：，
解得：
∴直线的表达式为：；
（2）解：点，点在抛物线上，点在直线上，
当时，分别代入和得，，
，
；
（3）解：假设存在符合条件的点，设点的横坐标是，的铅垂高，
则，
由得：，
化简得，
解得，
将代入得，
符合条件的点的坐标为．
16．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）用待定系数法可得二次函数的表达式为；
（2）求出直线的表达式为，过点P作轴，交BC于点E，交x轴于点Q，可知，故，根据二次函数性质可得答案；
（3）求出抛物线对称轴为直线，故当点P的横坐标m满足时，点P在对称轴右侧，可得，即可得，解方程并检验可得答案．
【详解】（1）解：∵抛物线过点，
∴．
将，代入，
得，解得，
∴二次函数的表达式为；
（2）设直线的表达式为，将，代入，
可得，解得，
∴直线的表达式为．
如图，过点P作轴，交BC于点E，交x轴于点Q．
∵，则，
∴点E的横坐标也为m，则纵坐标为，
∴．
四边形的面积
．
∵，
∴当时，四边形的面积最大，为；
（3）当点P的横坐标m满足时，此时点P在对称轴右侧，如图，
，
∴抛物线对称轴为直线，
当点P的横坐标m满足时，点P在对称轴右侧，
∴，
同（2）知，
当时，为等腰直角三角形，即．
整理，得，解得或（不符合题意，舍去），
此时，，即点．
所以当点P的坐标为时，为等腰直角三角形．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，等腰直角三角形的判定等知识，解题的关键是用含m的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．
17．(1)
(2)四边形面积有最大值32，此时
(3)存在，M点坐标为或
【分析】本题考查二次函数的几何综合，二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．
（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）过点P作轴交于点Q，设，则，所以四边形面积，可得当时，四边形面积有最大值32，此时；
（3）先求出，设，分别求出，再由勾股定理分类讨论求出M点坐标即可．
【详解】（1）解：将点、代入，
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）设直线的解析式为，
把代入，
，
解得，
∴直线的解析式为，
过点P作轴交于点Q，
设，则，
，
，
，
∴四边形面积，
∵点P在直线上方，
，
∴当时，四边形面积有最大值32，此时；
（3）存在点M，使得以点B、M、P为顶点的三角形是直角三角形，理由如下：
当时，，
，
设，
，
①当为斜边时，，
解得，
（舍）；
②当为斜边时，，
解得，
；
③当为斜边时，，
解得或，
或（舍）；
综上所述：M点坐标为或．
18．(1)
(2)
(3)存在点，的坐标为或或或．
【分析】（1）已知抛物线上的三点坐标，利用待定系数法可求出该二次函数的解析式；
（2）过点作轴的垂线，交于点，先运用待定系数法求出直线的解析式，设点坐标为，根据的解析式表示出点的坐标，再根据就可以表示出的面积，运用顶点式就可以求出结论；
（3）分三种情况进行讨论：以为直角顶点；以为直角顶点；以为直角顶点；设点的坐标为，根据勾股定理列出方程，求出的值即可．
【详解】（1）解：抛物线与轴相交于点，
，
抛物线与轴相交于点，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为；
（2）解：如图，过点作轴的垂线，交于点．
直线的解析式为：．
设点坐标为，则点的坐标为，
．
，
，
当时，有最大值；
（3）解：在轴上是存在点，能够使得是直角三角形．理由如下：
，
顶点的坐标为，
，
．
设点的坐标为，分三种情况进行讨论：
当为直角顶点时，如图，
由勾股定理，得，
即，
解得，
所以点的坐标为；
当为直角顶点时，如图，
由勾股定理，得，
即，
解得，
所以点的坐标为；
当为直角顶点时，如图，
由勾股定理，得，
即，
解得或，
所以点的坐标为或；
综上可知，在轴上存在点，能够使得是直角三角形，此时点的坐标为或或或．
【点睛】本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，三角形的面积，二次函数的顶点式的运用，勾股定理等知识，难度适中．运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．
19．(1)；
(2)存在，点P的坐标为或或；
(3)，．
【分析】（1）由A、C的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；
（2）可设出P点坐标，则可表示出和的长，分、两种情况分别得到关于P点坐标的方程，可求得P点坐标；
（3）由B、C的坐标可求得直线的解析式，可设出E点坐标，则可表示出F点的坐标，从而可表示出的长，可表示出的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值及此时点E的坐标．
【详解】（1）解：在抛物线上，
则，
解得，
∴抛物线解析式为；
（2）存在，
理由：，
∴抛物线对称轴为直线，
，且，
，
∵点P在对称轴上，
∴可设，
，
当时，则有，
解得，此时P点坐标为或；
当PC=CD时，则有，
解得（与D重合，舍去）或，
此时P点坐标为，
综上可知存在满足条件的点P，其坐标为或或；
（3）当时，即，
解得或，
，，
设直线解析式为，
由题意可得，
解得，
∴直线解析式为，
∵点E是线段上的一个动点，
∴可设，则，
，
，
∴当时，S△CBF有最大值，最大值为，
此时，
，
∴当时，的面积最大，最大面积为4，此时E点坐标为．
【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中用P点的坐标表示出和是解题的关键，在（3）中用E点坐标表示出的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
20．(1)；
(2)；
(3)或；
(4)，．
【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）当时，求得，，，再求得，，即可计算出结果；
（3）根据矩形被x轴分成面积相等的两部分，可得点D和点C关于x轴对称，再根据当时，，当时，，再进行分类计算即可；
（4）求特殊情况m的值，利用图象法判断即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，，
∴，
解得．
∴；
（2）解：当时，点横坐标为，
∴
∵，
∴，，
∴，，，
∴，，
矩形CDEF的周长为；
（3）当矩形被x轴分成面积相等的两部分时，点D和点C关于x轴对称，
由已知，， ，
当时，，
∴，
解得，，（舍去）
当时，，
∴，
解得，，（舍去），
故m的值为或；
（4）解：∵由已知，，
如图，当点F在抛物线上时，

，
解得：，，
由已知，，当点E在抛物线上时，
当时，解得，（舍去），

当时，解得，（舍去），

综上所述，，．
【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数和一次函数解析式、二次函数与几何、二次函数，解一元二次方程，理解题意，学会利用参数构建方程解决问题是解题的关键．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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