2024-2025年人教版九年级上册数学期末专题提升训练19：二次函数综合压轴（角度问题）（含解析）

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专题19：二次函数综合压轴（角度问题）--2024-2025年人教版九年级上册数学期末专题提升训练
1．如图，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点．A点坐标为，与y轴交于点，点M为抛物线顶点，点E为AB中点．
AI
(1)求二次函数的表达式；
(2)在直线BC上方的抛物线上存在点Q，使得，求点Q的坐标；
(3)已知D，F为抛物线上不与A，B重合的相异两点，若直线AD，BF交于点P，则无论D，F在抛物线上如何运动，当D，E，F三点共线时，试判断的面积是否为定值，若是，请求出定值：若不是，请说明理由．
2．在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线分别交轴于、两点，交轴于点．
(1)如图1，求抛物线的解析式；
(2)如图2，点为第四象限抛物线上一点，连接、，设点的横坐标为，的面积为S，求S与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
(3)如图3，在（2）的条件下，当时，为抛物线第三象限上一点，连接、、，若，求点的横坐标．
3．如图1，已知抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，连接，过B、C两点作直线．
(1)求a的值．
(2)如图1，将直线向下平移个单位长度，交抛物线于、两点．在直线上方的抛物线上是否存在定点D，无论m取何值时，都是点D到直线的距离最大，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)点P在抛物线上，且请直接写出直线的表达式．
4．如图1，抛物线经过，两点，与轴交于点，为第四象限内抛物线上一点，过点作轴于点，连接，，与轴交于点．
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)设四边形的面积为，求的最大值．
(3)当时，求直线的函数表达式及点的坐标
5．已知二次函数的图像经过点，点，点，

(1)求该二次函数的解析式；
(2)如图1，点为线段上方抛物线上任意一点，过作于点轴交于点，求周长的最大值；
(3)在（2）的条件下，为抛物线上一动点，当时，求点的横坐标．
6．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线()与轴交于，两点，与轴交于点，其顶点为点，点的坐标为，该抛物线与交于另一点，连接．

(1)求该抛物线的解析式．
(2)一动点从点出发，以每秒个单位的速度沿与轴平行的方向向上运动，连接，，设运动时间为秒()，在点的运动过程中，当为何值时，？
(3)在轴上方的抛物线上，是否存在点，使得被平分？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
7．如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，已知A，C两点坐标分别是A（1，0），C（0，﹣2），连接AC，BC．
(1)求抛物线的表达式和AC所在直线的表达式；
(2)将△ABC沿BC所在直线折叠，得到△DBC，点A的对应点D是否落在抛物线的对称轴上，若点D在对称轴上，请求出点D的坐标；若点D不在对称轴上，请说明理由；
(3)点P是抛物线图象上的一动点，当∠PCB＝∠ABC时，直接写出点P的坐标．
8．已知抛物线与轴交于点，点在该抛物线上
（1）若抛物线的对称轴是直线，请用含的式子表示；
（2）如图1，过点作轴的垂线段，垂足为点．连结和，当为等边三角形时，求抛物线解析式；
（3）如图2，在（2）条件下，已知为轴上的一动点，连结和，当时，求满足条件的点的坐标．
9．如图，抛物线交x轴于两点，交y轴于点C．直线经过点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴l与直线相交于点P，连接，判定的形状，并说明理由；
（3）在直线上是否存在点M，使与直线的夹角等于的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
10．如图，抛物线的顶点为点A，与x轴交于点O和点B．
(1)点A坐标为 ，点B坐标为 ；
(2)如图1，将线段绕抛物线顶点A逆时针旋转得到线段，若平分交抛物线于点Q．求点C和Q的坐标；
(3)如图2，过点作轴交抛物线于点P，E，F为抛物线上的两动点（点E在点P左侧，点F在点P右侧），直线，分别交x轴于点M，N．若，求证：直线过一个定点．
11．如图1，抛物线与轴交于点，与直线交于点，过点作直线的平行线，交抛物线于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点为直线下方抛物线上一点，过点作轴交直线于点，过点作于点，连接，求面积的最大值及此时点的坐标．
(3)如图2，在（2）问条件下，将原抛物线向右平移1个单位，使抛物线再次经过（2）问条件下的点时，新抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，连接，点为新抛物线上一点，连接交直线于点，使得，直接写出所有符合条件的点的坐标．
12．如图，抛物线与轴交于点，点，交轴于点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)如图1，已知直线上方抛物线上有一点，过点作轴与交于点，过点作轴与轴交于点，求的最大值和此时点的坐标；
(3)将原抛物线沿轴向右平移1个单位长度，新抛物线与轴交于点，点的对应点为，点是第一象限中新抛物线上一点，且点到轴的距离等于点到轴的距离的一半，问在平移后的抛物线上是否存在点，使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标．
13．综合与实践：
如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连结，点在抛物线上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)小明探究点位置时发现：如图1，点在第一象限内的抛物线上，连结，，面积存在最大值，请帮助小明求出面积的最大值；
(3)小明进一步探究点位置时发现：点在抛物线上移动，连结，存在，请帮助小明求出时点的坐标．
14．已知平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于两点，与轴的正半轴交于点，且．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点是抛物线在第一象限内的一点，连接，过点作轴于点，交于点．记，的面积分别为，，求的最大值；
(3)如图2，连接，点为线段的中点，过点作交轴于点．在第三象限的抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．
15．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点直线与拋物线交于、两点，与轴交于点，点的坐标为．
(1)求地物线的解析式；
(2)若点是抛物线上的点且在直线上方，连接、，求当面积最大时点的坐标及该面积的最大值；
(3)若点是轴上的点，且，求点的坐标．
16．如图，抛物线与直线交于C、D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为．

(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是y轴右侧的抛物线上一个动点，过点P作轴于点E，交直线于点F．若点P的横坐标为m，设线段的长度为y，求y与m之间的函数关系式，并直接写出自变量m的取值范围；
(3)在（2）的条件下，是否存在点P，使？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
17．如图，抛物线与轴交于点，（点在点左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为，点在抛物线上．
(1)求抛物线的表达式；
(2)连接，，，求证：；
(3)点在抛物线上，当时，求点的坐标．
18．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点，将沿着翻折，使点落在点处．

(1)求二次函数的表达式及点的坐标．
(2)求直线的表达式．
(3)为抛物线上一点，连接，当时，请直接写出点的坐标．
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参考答案：
1．(1)
(2)
(3)的面积为定值
【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解；
（2）根据题意得出，过点作交抛物线于点，过点作轴于点，则是等腰直角三角形，根据，建立方程，解方程，即可求解；
（3）设，，设的解析式，联立抛物线解析式，可得，根据题意，设直线解析式为，直线的解析式为，求得到轴的距离是定值，即可求解．
【详解】（1）解：将，代入得，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）解：对于，令，则
解得：
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
如图所示，过点作交抛物线于点，过点作轴于点，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设，则，
∴，，
∴，
解得：（舍去）或，
∴；
（3）解：设，，
∵点为中点，，
∴，
∵，，三点共线，
∴可设直线的解析式，
联立
消去得，
∴
∵，
∴可设直线解析式为，直线的解析式为
联立
解得：
∴
∵，
∴，
∴
而不为定值，
∴在直线上运动，
∴到轴的距离为定值，
∴的面积是定值，且的面积为．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求解析式，角度问题，面积问题，一次函数，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键．
2．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意设点，根据列出关系式即可；
（3）先求出点P的坐标，证明是直角三角形，，，则，过点A作交延长线于点D，分别过点作轴的垂线，垂足分别为，证明，得到点D的坐标，求出直线的解析式，联立二次函是解析式，即可求解．
【详解】（1）解：将点、代入抛物线，
则，
解得：，
抛物线的解析式为：；
（2）解：、，点为第四象限抛物线上一点，
设，
，，
，
；
（3）解：当时，
则，即，
解得：或，
，
，
，
，
，
是直角三角形，且，
，
，
如图，过点A作交延长线于点D，分别过点作轴的垂线，垂足分别为，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
轴，轴，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
将，代入，
则，
解得：，
直线的解析式为，
联立，则，
整理得：，
，
或，
，
点横坐标为．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
3．(1)
(2)存在，点D的坐标为
(3)存在点P在抛物线上，且，直线的表达式为或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）利用待定系数法求出直线的解析式为，由平移的性质得出直线的解析式为，设，作轴，交于点，作于，设直线交轴于，则，，证明是等腰直角三角形，得出，再根据二次函数的性质即可得解；
（3）分两种情况：当在的下方时，在轴正半轴上取点，连接交抛物线于点；当在的上方时，作点关于直线的对称点，连接，，直线交抛物线于，分别求解即可得出答案．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，
∴，
解得：；
（2）解：存在定点D，无论m取何值时，都是点D到直线的距离最大，
∵，
∴当时，，
∴，
当时，，
解得：，，
∴，
设直线的解析式为，则，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵将直线向下平移个单位长度，交抛物线于、两点，
∴直线的解析式为，
设，
如图，作轴，交于点，作于，设直线交轴于，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵轴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴当时，取得最大值，此时点D的坐标为；
（3）解：当在的下方时，在轴正半轴上取点，连接交抛物线于点，
，
∵，，，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设直线的解析式为，则，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：（舍去），，
∴；
当在的上方时，作点关于直线的对称点，连接，，直线交抛物线于，
，
由对称得：，，，
∴，
∴，
同理可得：直线的解析式为，
联立，
解得：（舍去），，
∴，
综上所述，存在点P在抛物线上，且，直线的表达式为或．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质、直线的平移、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
4．(1)
(2)
(3)直线的解析式为；点的坐标为
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，待定指数法求函数解析式，二次函数与几何图形，解题的关键是掌握相关的知识．
（1）将，代入，即可求解；
（2）连接，过点作于点，为第四象限内抛物线上一点，设点，则，，根据，点在轴上，可得，最后根据得，然后根据二次函数的最值求解即可；
（3）根据题意可推出，则，设，由，求出，再由待定系数法求直线的解析式，联立方程组可求出点的坐标．
【详解】（1）解：将，代入，得：
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：如图，连接，过点作于点，
，抛物线的解析式为，
设点，
为第四象限内抛物线上一点，
，
轴，点在上，
，
，
，点在轴上，
，
，
，
，，
当时，有最大值，；
（3）解：如图，
令，则，
，
轴，轴，
，
，
，
，
又，
，
，
设，则，
又，
，
，
，
设直线的解析式为，将，代入得：
，
解得：，
直线的解析式为；
联立，得，
解得：（不合题意，舍去），，
点的坐标为．
5．(1)
(2)
(3)或
【分析】(1)由待定系数法即可求解；
(2)由题意得：，再表示△PMN周长为即可求解；
(3)当点H在点P的右侧时，得到，求出点 N的坐标，联立抛物线和的表达式即可求解；当点在点P的左侧时，利用轴求解．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，点，
∴设抛物线的表达式为：，
把点的坐标代入，得，
解得：，
则抛物线的表达式为：；
（2）解：由点的坐标知，
，
则，
设直线的表达式为：，
把点代入，得
，
解得：，
∴直线的表达式为：，
设点，则点，
则，
则周长
，
∵，
∴当时，周长的最大，最大值为，此时点 ；
（3）解：当点H在点P的右侧时，如下图，

延长交x轴于点N，
∵，则 ，
设点，
由得： ，
解得：，
则点 ，
由点的坐标得，直线的表达式为：
联立抛物线和的表达式得：
，
解得： (舍去) 或，
即点H的横坐标为：；
当点在点P的左侧时，如上图，
∵，
则轴，
则点横坐标为：，
综上，点H的横坐标为：或．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，解直角三角形、一次函数的图象和性质，分类求解是解题的关键．
6．(1)
(2)
(3)存在；
【分析】（1）待定系数法求出抛物线解析式；
（2）设出点，用勾股定理求出点的坐标，从而求出，最后求出时间；
（3）由被平分，确定出过点的直线的解析式，求出此直线和抛物线的交点即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）如图1，

设，
，
，
，
，
解得：舍去
，
（3）存在点，使被平分，
如图，
，
在y轴上取一点N，
∵轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
点，
设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的解析式为
联立
解得：或
．
【点睛】本题考查二次函数综合题、待定系数法、一次函数的应用、三角形的面积角平分线等知识，解题时根据灵活运用所学知识，学会构建一次函数，利用方程组求两个函数的交点坐标．
7．(1)；
(2)点D不在抛物线的对称轴上，证明见解析
(3)点P坐标为或
【分析】（1）利用待定系数法可求得函数的表达式；
（2）抛物线的表达式为，点B坐标为（ 4，0），可证明△AOC∽△COB，继而可证AC⊥BC，则将△ABC沿BC所在直线折叠，点D一定落在直线AC上，延长AC至D，使DC＝AC，过点D作DE⊥y轴交y轴于点E，可证△ACO≌△DCE，可得D坐标．则可判断D点是否在抛物线对称轴上；
（3）在中，，，即，点P是抛物线图象上的一动点，当∠PCB＝∠ABC时，分两种情况：①轴，联立求解即可；②与轴交于，根据等腰三角形性质得出，在中利用勾股定理求出线段长得到点坐标，进而求出直线，联立求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线过A（1，0），C（0，﹣2），
∴，解得：，
∴抛物线的表达式为，
设AC所在直线的表达式为y=kx+b，
∴，解得，
∴AC所在直线的表达式为y=2x-2；
（2）：点D不在抛物线的对称轴上，
理由如下∶
∵抛物线的表达式是，
∴令y＝0，则，解得，，
∴点B坐标为（-4，0），
∵OA=1，OC=2，
∴，
又∵，
∴，
∴∠ACO=∠CBO，
∴∠ACO+∠BCO=∠CBO+∠BCO=90°，
∴AC⊥BC，
∴将△ABC沿BC折叠，点A的对应点D一定在直线AC上，
如下图，延长AC到点D，使DC＝AC，过点D作DE⊥y轴，垂足为点E，
又∵∠ACO=∠DCE，
∴，
∴DE＝OA＝1，
∴点D的横坐标为-1，
∵抛物线的对称轴是直线，
∴点D不在抛物线的对称轴上；
（3）解：、，
在中，，，即，
点P是抛物线图象上的一动点，当∠PCB＝∠ABC时，分两种情况：
①轴，如图所示：
联立，解得（与重合舍弃）或，
；
②与轴交于，如图所示：
∠PCB＝∠ABC，
，设，
在中，，，则根据勾股定理可得，即，解得，
，
设直线表达式为，则，解得，
直线表达式为，
联立，解得（与重合舍弃）或，
；
综上所述，坐标为或．
【点睛】本题以二次函数为背景考查了待定系数法求解析式，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形面积的计算，二次函数中常见辅助线的作法，利用点的坐标表示线段的长度，确定函数最值，关键在于作出垂线段利于用点的坐标表示线段的长度．
8．（1）；（2）；（3），
【分析】（1）直接根据对称轴为代入a，b计算即可得出答案；
（2）首先根据点B的坐标及等边三角形求出AC，OC的长度，然后利用勾股定理求出AO的长度，从而得出c的值，最后将点B代入解析式中即可求解；
（3）根据等边三角形的性质及圆周角定理确定出点P的位置从而可确定出点P的坐标．
【详解】（1）∵，
∴．
（2）∵为等边三角形，轴，，
∴，，
在中，
∴
把代入，得，
∴．
（3）如图，由（2）知为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
由同弦所对圆周角等于圆心角的一半可知，以点为圆心，为半径作圆，经过点．
∵在轴上，
∴点即为圆与轴的交点，
∵，
∴，
∵，
∴，
由轴对称性可知，．
【点睛】本题主要考查二次函数与几何综合，掌握待定系数法，等边三角形的性质及圆的有关性质是解题的关键．
9．（1）；（2）的为直角三角形，理由见解析；（3）存在使与直线的夹角等于的2倍的点，且坐标为M1（），M2（，）．
【分析】（1）先根据直线经过点，即可确定B、C的坐标，然后用带定系数法解答即可；
（2）先求出A、B的坐标结合抛物线的对称性，说明三角形APB为等腰三角形；再结合OB=OC得到∠ABP=45°，进一步说明∠APB=90°，则∠APC=90°即可判定的形状；
（3）作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，AC于E；然后说明△ANB为等腰直角三角形，进而确定N的坐标；再求出AC的解析式，进而确定M1E的解析式；然后联立直线BC和M1E的解析式即可求得M1的坐标；在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，利用中点坐标公式即可确定点M2的坐标
【详解】解：（1）∵直线经过点
∴当x=0时，可得y=5，即C的坐标为（0,5）
当y=0时，可得x=5，即B的坐标为（5,0）
∴解得
∴该抛物线的解析式为
（2）的为直角三角形，理由如下：
∵解方程=0，则x1=1，x2=5
∴A（1,0），B（5,0）
∵抛物线的对称轴l为x=3
∴△APB为等腰三角形
∵C的坐标为（5,0）, B的坐标为（5,0）
∴OB=CO=5,即∠ABP=45°
∴∠ABP=45°，
∴∠APB=180°-45°-45°=90°
∴∠APC=180°-90°=90°
∴的为直角三角形；
（3）如图：作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，AC于E，
∵M1A=M1C，
∴∠ACM1=∠CAM1
∴∠AM1B=2∠ACB
∵△ANB为等腰直角三角形.
∴AH=BH=NH=2
∴N（3，2）
设AC的函数解析式为y=kx+b
∵C(0，5),A(1，0)
∴ 解得b=5，k=-5
∴AC的函数解析式为y=-5x+5
设EM1的函数解析式为y=x+n
∵点E的坐标为（）
∴=× +n，解得：n=
∴EM1的函数解析式为y=x+
∵ 解得
∴M1的坐标为（）；
在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2
设M2（a，-a+5）
则有：3=，解得a=
∴-a+5=
∴M2的坐标为（，）．
综上，存在使与直线的夹角等于的2倍的点，且坐标为M1（），M2（，）．
【点睛】本题属于二次函数与几何的综合题，主要考查了待定系数法确定函数解析式、等腰直角三角形的判定与性质、一次函数图像、三角形外角等知识，考查知识点较多，综合应用所学知识成为解答本题的关键．
10．(1)，
(2)；
(3)，理由见解析
【分析】（1）对抛物线配方得顶点式，即可得A点坐标，令，可得点B坐标；
（2）过点A作轴，过点B作于点M，过点C作于点N，连接交直线于点D，先利用一线三垂直证明，从而可推出，再证明，得到D点为中点，求出直线的解析式，再联立抛物线解析式，即可求得Q点坐标；
（3）设点，，先求出，直线的解折式，得到，同理求出直线的解折式为，得到，在根据，得到，最后设直线的解折式为，联立得到，代入计算即可．
【详解】（1）解：令，则或，
故点B坐标为，
对抛物线配方得：，
故可得A点坐标为．
故答案为：，
（2）解：过点A作轴，过点B作于点M，过点C作于点N，连接交直线于点D，
B是抛物线与x轴的另一交点，
当时，，
解得：，，
，
∵轴，，，，
，，
，，
，
将线段绕地物线顶点A逆时针旋转得到线段，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
∵轴，，，
，
抛物线与x轴交于原点，B点，且顶点坐标为，
，
，
，
平分，
点D是的中点，
，，
，
设直线的解析式为，
把，代入得，
，
解得，
直线的解析式为，
联立，
解得或，
；
（3）解：由题意设点，，
轴，，
当时，，
，
设直线的解折式，
把，得，
，
解得，
直线的解折式，
直线交x轴于点M，
当时，，
，
，
设直线的解折式，
把，代入得，
，
解得，
直线的解折式为，
当时，，
，
，
，，，
，，
，
，
，
设直线的解折式为，
，，
，
解得，
直线的解折式为，
，
，
，
，
当时，，
直线过一个定点，该定点为．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，全等三角形的判定与性质，韦达定理，二次函数的性质，函数与方程的联系，掌握以上知识并熟练运用是解题的关键．
11．(1)
(2)面积的最大值为，点的坐标为；
(3)点的坐标为或，过程见解析．
【分析】（1）利用待定系数法求解函数解析式即可解题；
（2）设直线的解析式为，利用待定系数法求出直线的解析式，根据平行设直线的解析式为，利用抛物线为得到，将代入求得直线的解析式，设，则，过点作交于点，记交于点，证明为等腰直角三角形，，再根据面积公式得到 ，最后利用二次函数的最值，即可解题；
（3）利用平移的特点得到平移后的拋物线解析式为，以及，，，①连接，作的垂直平分线交于点，利用垂直平分线性质，等腰三角形性质，以及三角形外角定理得到，设，利用勾股定理建立等式，得到点，利用待定系数法求直线的解析式，根据点为新拋物线上的一点，连接交直线于点，联立平移后的拋物线解析式和直线的解析式求解，即可解题，②作关于的对称点，连接，求解过程与①类似．
【详解】（1）解：抛物线与直线交于点，
，解得，
抛物线为；
（2）解：设直线的解析式为，
过点点，
，解得，
直线的解析式为，
，
设直线的解析式为，
当时，，解得，，
，
，解得，
设，则，
过点作交于点，记交于点，
由平移的性质可知，
，
，
即，
，轴交直线于点，
，
，
即为等腰直角三角形，
，
，
，
当时，面积的最大值为，点的坐标为；
（3）解：原拋物线向右平移1个单位，
平移后的拋物线解析式为，
平移后的拋物线解析式为，
同理，求得，，，
①连接，作的垂直平分线交于点，
有，
，
，
设直线的解析式为，
过点，
，解得，
直线的解析式为，
设，则，，
，解得，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
点为新拋物线上的一点，连接交直线于点，
，
整理得，
解得，，
当时，，
点的坐标为，
②作关于的对称点，连接、，交抛物线于点，
，，，
，
，
由对称性可知，
，
设，
，，
，
整理得，
解得，，
当时，，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
，
整理得，
解得，，
当时，，
点的坐标为，
综上所述，点的坐标为或．
【点睛】本题考查了待定系数法求解函数解析式，一次函数与二次函数交点情况，等腰三角形性质，对称的性质，勾股定理求两点间距离，垂直平分线性质，三角形外角定理，函数平移的规律，熟练掌握相关性质是解题的关键．
12．(1)
(2)的最大值为，
(3)或
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）由，即可求解；
（3）第一种情况，过点N作，交抛物线于点，则，求出直线的解析式为：，进而求解；第二种情况，作，交抛物线于点，同理可解．
【详解】（1）解：∵抛物线过点，点，
∴设抛物线的解析式为：，
把点代入可得，，
解得：，
∴抛物线解析式为：；
（2）解：由点B、C的坐标得，直线的表达式为：，
设点，则点，
则，
则，
即的最大值为：，
此时，则点；
（3）解：∵抛物线，
∴将原抛物线沿x轴向右平移1个单位长度，新抛物线的解析式为：，
令，则，令，则，
解得，，
∴，，
∵点N是第一象限中新抛物线上一点，且点N到y轴的距离等于点到y轴的距离的一半，
∴且，
把代入得：，
∴，
∵，，
由点、的坐标得，直线的解析式为，
分以下两种情况：
第一种情况，过点N作，交抛物线于点，则，如图2，
∴设直线的解析式为，把点代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为：，
联立新抛物线与直线为方程组得：，
解得：（舍去）或，
∴；
第二种情况，作，交抛物线于点，交直线于点H，如图3，
∴，
设，且，，
∴，，
即，
解得，，
∴，
由点H、N的坐标得，直线的解析式为，
联立抛物线与直线为方程组得：，
解得：（舍去）或，
∴；
综上所述，存在点M，使得，点M的坐标为或．
【点睛】本题主要考查二次函数与图形的综合，掌握待定系数法求二次函数解析式与一次函数解析式，二次函数最值问题，函数平移的性质，等腰三角形的性质，二次函数与二元一次方程组求解交点等知识的综合运用是解题的关键．
13．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）将点和点代入得到关于、的二元一次方程组，求解即可；
（2）先确定直线的解析式，设点，则点，根据三角形的面积公式列出函数解析式求解即可；
（3）分两种情况求解：当点在轴上方时和当点在轴下方时．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点和点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）如图1，过点作轴交线段于点，垂足为点，
∵抛物线与轴交于点，
当时，，
∴，
设直线的表达式为，过点，，
∴，
解得：，
∴直线的表达式为，
设点，则点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，的面积有最大值，面积的最大值为；
（3）如图2，当点在直线的上方的抛物线上时，
∵，
∴，
∴点，的纵坐标相等，即点的纵坐标为，
当时，则，
解得，，，
∴，
如图3，当点在直线的下方的抛物线上时，
设交轴于点，
∵，
∴，
设，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
∴，
设直线的解析式为，过点，，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：， ，
∴，
综上所述，点D的坐标为或．
【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数与坐标轴的交点，平行线的判定，勾股定理，等腰三角形的判定，二次函数与几何综合，数形结合是解题的关键．
14．(1)
(2)的最大值为
(3)存在，
【分析】（1）根据题意得出，，代入函数解析式得：，得出；
（2）设，则，，则，，得出，故当时，的最大值为；
（3）取点关于轴的对称点，连接交抛物线于点，的解析式为：，联立，解得：（舍去）或，得出．
【详解】（1）解：，
，
，，
，
，
把，，代入函数解析式得，
解得，
；
（2）解：，，
设直线的解析式为，把代入，得，
，
设，则，，
，，，
，，
，
当时，的最大值为；
（3）解：令，解得：，，
，
，点为的中点，
，
，，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理得，
，
，，
，，
，
，
取点关于轴的对称点，连接交抛物线于点，如图所示：

则，，
设的解析式为，
，解得，
，
联立，解得（舍去）或，
．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，中垂线的判定和性质，等积法求线段的长，坐标与轴对称，勾股定理等知识点，综合性强，难度大，计算量大，属于中考压轴题，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键．
15．(1)
(2)的面积的最大值为，．
(3)的坐标为或．
【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可．
（2）如图1中，过点作轴交于点．设，则．根据，所以的值最大值时，的面积最大，求出的最大值即可．
（3）如图2中，将线段绕点逆时针旋转得到，则，设交轴于点，则，作点关于的对称点，设交轴于点，则，分别求出直线，直线的解析式即可解决问题．
【详解】（1）解：抛物线与轴交于、两点，
解得：
抛物线的解析式为，
（2）∵点，在抛物线上，
∴
∴，
直线经过、
设直线的解析式为，
则，
解得，，
直线的解析式为；
如图1中，过点作轴交于点．设，则．
，
的值最大值时，的面积最大，
，
，
时，的值最大，最大值为，此时的面积的最大值为，．
（3）如图2中，将线段绕点逆时针旋转得到，分别过点作轴的垂线，垂足分别为，
∴，，
∴，，，
∴
∴
又∵将线段绕点逆时针旋转得到，
∴，
在与中，
∴
∴，，
∵，
∴
∴
∴，
设交轴于点，则，
，
设直线的解析式为
∴
解得：
直线的解析式为，当时，
，
作点关于的对称点，
设直线的解析式为
∴
解得：
则直线的解析式为，
设交轴于点，则，当时，
，
综上所述，满足条件的点的坐标为或．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建二次函数解决最值问题，学会构造特殊三角形解决问题．
16．(1)
(2)①P在上面，；②P在下面，
(3)存在，点P的坐标为或
【分析】（1）首先求出点C的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）分P在上面和P在下面两种情况讨论可得y与m之间的函数关系式；
（3）本问符合条件的点P有2个，如答图2所示，注意不要漏解．在求点P坐标的时候，需要充分挖掘已知条件，构造直角三角形或相似三角形，解方程求出点P的坐标．
【详解】（1）解：在直线解析式中，令，得，
．
∵点在抛物线上，
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：．
（2）解：①当在上面，
点的坐标为，点的坐标为，
线段的长度为；
②当在下面，
点的坐标为，点的坐标为，
线段的长度为；

（3）解：存在．
理由：如图所示，过点作于点，

则，
，
，
在中，由勾股定理得：．
过点作于点，则．
∵，
∴，
则，
，
在冲，由勾股定理得：．
∵，
∴，整理得：，
解得：（舍去）或，
∴；
同理求得，另一点为．
∴符合条件的点的坐标为或．
【点睛】本题是二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、解方程（方程组）、三角函数、勾股定理等重要知识点．第（2）问采用分类讨论思想求解；第（3）问中，符合条件的点P有两个，注意不要漏解．
17．(1)
(2)见解析
(3)或
【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式即可；
（2）根据顶点式求出点的坐标，然后令求出点A的坐标，然后根据两点间距离公式求出、、，然后利用勾股定理的逆定理解题即可；
（3）分为点F在下方和点F在上方两种情况，求出直线的解析式，联立解方程即可．
【详解】（1）解：把和代入得：
，
解得，
∴抛物线的表达式为，
（2）解：如图，
∵，
∴ 点的坐标为，
令，则，解得，，
∴点A的坐标为，点B的坐标为，
∵，
即，，，
∴，
∴；
（3）解：如图，当点F在下方时，设与交于点G，
∵，
∴，
又∵，
∴，
则，
∴，
∴，
∵
则
∴点G的坐标为，
设直线的解析式为，
把和代入得：
，解得，
∴直线的解析式为，
解方程组
得或，
∵，
∴点的坐标为；
当点F在上方时，如图，
则直线，
设直线的解析式为，
代入和得：
，
解得，
∴直线的解析式为，
设直线的解析式为，
代入可得，
解得，
∴直线的解析式为，
解方程组
得或，
∵
∴点的坐标为；
综上所述，点的坐标为或．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，待定系数法解一次函数和二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，勾股定理的逆定理是解题的关键．
18．(1)抛物线的表达式为，；
(2)；
(3)点的坐标为或．
【分析】（1）由待定系数法求出函数表达式，进而求解；
（2）由得为直角三角形，则点是的中点，求出点，即可求解；
（3）当点在直线下方的抛物线上时，则，则点与关于对称轴对称，当点在直线的上方时，设交轴于，则，设，则，在中，由勾股定理得方程，可求出点的坐标，从而求出直线的解析式，与抛物线求交点即可．
【详解】（1）解：由题意得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：，
令，则或，
即点；
（2）解：由点、、的坐标得，，，，
则，
即为直角三角形，
由将沿着翻折，使点落在点处知，点是的中点，
由中点坐标公式得，点，
由、的坐标得，直线的表达式为：；
（3）解：当点在直线下方的抛物线上时，则，
点与关于对称轴直线对称，
，
当点在直线的上方时，

设交轴于，
则，
设，则，
在中，由勾股定理得，，
解得，
，
直线的解析式为，
，
解得，（舍），
，
综上：点的坐标为或．
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