2024-2025年人教版九年级上册数学期末专题提升训练20：二次函数综合压轴（特殊三角形问题）（含解析）

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专题20：二次函数综合压轴（特殊三角形问题）--2024-2025年人教版九年级上册数学期末专题提升训练
1．如图1，抛物线与x 轴交于点和点B，与 y 轴交于点C，连接，已知，点M是抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)如图2，抛物线的对称轴与x 轴相交于点P，与线段相交于点Q，点N 是抛物线的对称轴上的点，且满足，求点N 的坐标．
(3)如图3，连接，点D 是线段上的一个动点，过点D 作交于点E，于 点F， 连接．当面积最大时，求此时点D的坐标．
2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，两点，点是直线上一动点，过点作轴的垂线交抛物线于点、交轴于点．设点的横坐标为．
(1)分别求直线和这条抛物线的解析式；
(2)若，求此时点的坐标；
(3)是否存在这样的点，使得以、、为顶点组成直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
3．如图，已知抛物线 与x轴相交于A、B两点，若已知A点的坐标为．
(1)求抛物线的解析式及它的对称轴方程；
(2)连接，求线段所在直线的解析式，并直接写出当抛物线在直线下方时x的取值范围；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标，请说明理由．
4．如图，已知抛物线经过点，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线．
(1)求抛物线的表达式；
(2)已知点是抛物线对称轴上一点，当的周长最小时，求点的坐标．
(3)是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，求四边形面积的最大值及此时点的坐标；
(4)若点在抛物线对称轴上，是否存在点，使以点，，为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
5．如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过，两点，与轴交于点
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴直线上找一点，使点到点的距离与到点的距离之差最大，求出点的坐标；
(3)设点为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点的坐标．（直接写出结果）
6．如图，已知抛物线与轴相交于点，与轴分别交于点和点，且，

(1)求抛物线解析式．
(2)抛物线上是否存在一点，使得，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由．
(3)抛物线的对称轴交轴于点，在轴上是否存在一个点，使的值最小，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．
7．如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，与轴交于另一个点，对称轴与直线交于点，抛物线顶点为．

(1)求抛物线的解析式；
(2)在第三象限内，为抛物线上一点，以、、为顶点的三角形面积为3，求点的横坐标；
(3)点是对称轴上的一动点，是否存在某一点使、、为顶点的三角形是以为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点坐标；不存在，说明理由．
8．综合与探究
如图，已知直线与x轴，y轴交于B，A两点，抛物线经过点A，B，点P为线段上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点N，交直线于点M，设点P的横坐标为t．

(1)求抛物线解析式；
(2)当，t的值为___________；
(3)若点N到直线的距离为d，求d的最大值；
(4)在y轴上是否存在点Q，使是以为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
9．已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+3与坐标轴分别交于点A，B（﹣3，0），C（1，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PEx轴交抛物线于点E．

(1)求抛物线解析式；
(2)当点P运动到什么位置时，DP的长最大？
(3)是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．
10．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，求出线段EF的最大值及此时E点的坐标；
（3）在x轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．
11．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)，B(3，0，C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标，并求出此时的周长；
（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，请写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
12．如图，抛物线经过三点，已知
求此抛物线的关系式；
设点是线段上方的抛物线上一动点，过点作轴的平行线，交线段于点当的面积最大时，求点的坐标；
点是抛物线上的一动点，当中的面积最大时，请直接写出使的点的坐标
13．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与两轴分别交于A、B、C三点，已知点A（﹣3，0），B（1，0）．点P在第二象限内的抛物线上运动，作PD⊥x轴于点D，交直线AC于点E．
（1）b＝　 　；c＝　 　；
（2）求线段PE取最大值时点P的坐标，这个最大值是多少；
（3）连接AP，并以AP为边作等腰直角△APQ，当顶点Q恰好落在抛物线的对称轴上时，直接写出对应的P点坐标．

14．如图，抛物线y=ax2+bx+2交x轴于点A(-3，0)和点B(1，0)，交y轴于点C
(1)求这个抛物线的函数表达式．
(2)点D的坐标为(-1，0)，点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP面积的最大值．
(3)点M为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点N，使△MNO为等腰直角三角形，且∠MNO为直角？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
15．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求这个二次函数的关系解析式；
（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；
16．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）交x轴于A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C（0，2）
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为抛物线的顶点，连接BC、CM、BM，求△BCM的面积；
（3）连接AC，在x轴上是否存在点P使△ACP为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
17．如图，抛物线L：y=ax2+bx+c与x轴交于A、B（3，0）两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，3），已知对称轴x=1．
（1）求抛物线L的解析式；
（2）将抛物线L向下平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OBC内（包括△OBC的边界），求h的取值范围；
（3）设点P是抛物线L上任一点，点Q在直线l：x=﹣3上，△PBQ能否成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点P的坐标；若不能，请说明理由．
18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（1，0），直线y=2x﹣1与y轴交于点C，与抛物线交于点C、D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点A到直线CD的距离；
（3）平移抛物线，使抛物线的顶点P在直线CD上，抛物线与直线CD的另一个交点为Q，点G在y轴正半轴上，当以G、P、Q三点为顶点的三角形为等腰直角三角形时，求出所有符合条件的G点的坐标．
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参考答案：
1．(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）根据题意得到，结合利用待定系数法求解即可；
（2）先求出，分点N在x轴上方和下方两种情况讨论，当点N在x轴上方时，根据二次函数的对称性质及等腰三角形的性质推出，则由等腰三形判定得，最后由勾股定理即可求解；当点N在x轴下方时，由对称性即可求解；
（3）如图，过点M作交于点H，设，求出，进而求出，解直角三角形得到，，从而求出在中，，，，，证明，求出，证明，由，得到关系式，利用二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
，
解得：，
抛物线的解析式为：；
（2）解：，，
∴，
，
如图，
点N在抛物线的对称轴上，
，
当点N在x轴上方时，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
抛物线的对称轴为，
，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理可得：，
∴，
∴，
；
当点N在x轴下方时，
由对称性得：；
综上，点N的坐标为或；
（3）解：如图，过点M作交于点H，
设，
点M是抛物线的顶点，
当时，，
，
，
，
在中，，
，，
，
，
，
在中，，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当时，最大，
此时点D的坐标为．
【点睛】本题是二次函数的综合问题，考查了用待定系数法求二次函数与二次函数的解析式，二次函数的图象及最大值，二次函数与特殊三角形问题，二次函数与相似三角形问题，涉及分类讨论思想及方程思想，有一定的难度和运算量．
2．(1)直线的解析式为，
(2),
(3)，，或
【分析】（1）设，将，代入两个函数解析式即可求出答案；
（2）设，，根据，则，即可解答；
（3）设，分当时；，三种情况依次进行讨论即可．
【详解】（1）解：设，将，代入，
得，
解得，
直线的解析式为，
抛物线经过点，两点，将，代入，
，
解得，
；
（2）设，，，则，
当时
∵
，
整理得，
，（舍去）
；
当时
∵
，
整理得，
∴（舍去）或；
∴
当时
∴不存在
综上所述：,
（3）设，则
，，，
①当时，即，
，
，
，
，
，
解得或（舍去），
②时，即，
，
，
，
而，
，
，
③时，即，
，
，
（舍去）或 ，
或，
或，
综上所述：，，或
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，主要考查二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，二次函数与一次函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
3．(1)，
(2)，或
(3)或或
【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想，进行求解，是解题的关键．
（1）利用待定系数法求出函数解析式，对称轴公式求出对称轴即可；
（2）先求出B、C的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式即可；
（3）设，利用勾股定理得到，，，再根据等腰三角形的定义分三种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：把代入抛物线解析式中得，
解得，
∴抛物线解析式为；
∴对称轴为直线；
（2）解：在中，令，则，
∴点C的坐标为；
在中，令，则，
解得或，
∴点B的坐标为；
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
由图象可知：或；
（3）解：存在， 设，
∴，，，
当时，则，此时方程无解，不符合题意；
当时，则，
解得或，
∴点Q的坐标为或；
当时，则，
解得，
∴点Q的坐标为；
综上所述，点Q的坐标为或或．
4．(1)
(2)
(3)，
(4)的坐标为：或或或
【分析】（1）把点，点的坐标带入，再根据对称轴，解出，，，即可；
（2）设直线与对称轴的交点为点，设直线的解析式为：，把点，点的坐标代入，求出解析式，再根据点在上，求出点的坐标；根据直线垂直平分，则，；根据等量代换，三角形三边的关系，则，当点在直线上，则有最小值，根据，是定值，即可；
（3）根据题意，则点，过点作轴交于点，则点，求出的值，根据四边形面积为：，且，当时，有最大值；再根据，即当时，四边形面积有最大值，最后根据点在，即可；
（4）根据等腰三角形的性质，分类讨论：当点与点关于轴对称，则，求出点的坐标；延长交直线于点，此时，三点共线，不存在以点，，为顶点的三角形是等腰三角形；当，求出点的坐标；当时，求出点的坐标，即可．
【详解】（1）∵抛物线经过点，两点，
∴，
∵对称轴为直线，
∴，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：．
（2）设直线与对称轴的交点为点，
设直线的解析式为：，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为：；
∴点，
∵直线垂直平分，
∴，
∴，，
当点与点重合时，，此时有最小值，
∴，此时的值最小，
∵，是定值
∴当点时，有最小值，
故答案为：．
（3）过点作轴交于点，
设点的横坐标为，
∴，，
∴，
∵四边形的面积，，
∴，
∴，
当时，有最大值，，
∵，
∴当时，四边形面积有最大值为：，
∴点．
（4）存在，理由如下：
∵点，对称轴，
∴点，
∴，
设点，
设直线与轴交于点，
∴点与点关于轴对称，
∴，
∴是等腰三角形，
∴点；
延长交直线于点，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，三点共线，
∴不存在以点，，为顶点的三角形是等腰三角形；
当，
∴，
解得：，
∴点或；
当时，
∴，
解得：；
综上所述，当点的坐标为：或或或时，存在以点，，为顶点的三角形是等腰三角形．
【点睛】本题考查二次函数与几何的综合，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，两点间线段最短，等腰三角形的性质，待定系数法求解析式，学会运用数形结合，分类讨论的方法．
5．(1)抛物线解析式
(2)
(3)点坐标为，，，
【分析】（1）由对称轴公式及、两点的坐标代入直接求解即可；
（2）连接并延长与对称轴的交点即为点；
（3）设出点的纵坐标，分别表示出，，三条线段的长度的平方，分三种情况，用勾股定理列出方程求解即可．
【详解】（1）解：由题意的，解得：，
抛物线解析式为；
（2）
设直线解析式，
把，分别代入直线得：
，解得：，
直线解析式为，
设直线与对称轴的交点为M，
则此时的值最大，
把代入直线，得，
，
即点到点的距离与到点的距离之差最大时的坐标为；
（3）
设，又点与点关于直线对称，
点坐标为，
又，
，，，
若B为直角顶点，则： ，
即：，解得：；
若C为直角顶点，则：，
即：，解得：；
若P为直角顶点，则，
即：，解得：．
综上所述，满足要求的点坐标为，，，．
【点睛】本题为二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，勾股定理，一元二次方程等知识点．第三问，根据直角顶点的不同进行分类讨论是解答的关键．
6．(1)
(2)存在，点坐标为或
(3)存在，
【分析】（1）根据点的坐标，可求出点的坐标，运用待定系数法即可求解；
（2）如图所示，过点作交轴于点，交抛物线于点，作关于轴的对称点，作交抛物线于，根据题意分别计算出直线的解析式，根据直线与抛物线由交点，联立方程组求解即可；
（3）如图所示，过点作于，过点作于，交轴于点，根据点的坐标可得是等腰直角三角形，由此可得是等腰直角三角形，可得，当运动到，和重合时，的值最小，最小值是，根据抛物线的特点可得点的坐标，由此可求出的长，根据等腰直角三角形的性质即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，将，，代入得，
，解得，，
∴抛物线的解析式为：．
（2）解：存在一点，使得，理由如下：
如图所示，过点作交轴于点，交抛物线于点，作关于轴的对称点，作交抛物线于，

∵，
∴，即点是满足题意的点，
∵，，
∴直线的解析式为：，
设直线的解析式为：，将代入得：，
∴，
∴直线的解析式为：，，
直线与抛物线联立方程组得，
解得，（与重合，舍去）或，
∴，
∵关于轴对称，
∴直线的解析式为：，
∴，，
∴是满足题意的点，
设直线的解析式为：，将代入得：，
∴，
∴直线的解析式为：，
直线与抛物线联立方程组得，
解得，（与重合，舍去）或，
∴，
综上所述，点坐标为或．
（3）解：在轴上存在一个点，使的值最小，理由如下：
如图所示，过点作于，过点作于，交轴于点，

∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴，
∵，，则，
∴是等腰直角三角形
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴最小即是最小，
∴当运动到，和重合时，的值最小，最小值是，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，即的最小值为．
【点睛】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法解二次函数解析式，几何图形的变换特点，一次函数与二次函数联立方程组求解，等腰直角三角形的判定和性质等知识的综合运用是解题的关键．
7．(1)
(2)
(3)存在，和
【分析】（1）先由直线的解析式为，求出它与轴的交点，与轴的交点的坐标，再将，两点坐标代入，再利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）设第三象限内的点的坐标为，运用配方法求出抛物线的对称轴和顶点的坐标，再设抛物线的对称轴与轴交于点，连接，再根据，列出关于的方程，解方程求出的值，进而得出点的坐标；
（3）设点坐标为，先由，两点坐标运用勾股定理求出，再分两种情况讨论：①若，根据勾股定理列出关于的方程，求出值，得出点坐标；②若，同①可求出对应的点坐标，进而得出结果．
【详解】（1）与轴的交点，与轴的交点的坐标，
当时，，即点的坐标为，
当时，，即点的坐标为，
将，代入，
得，
抛物线的解析式为
（2）如图1，设第三象限内的点的坐标为，

则，.
，
对称轴为直线，顶点的坐标为，
设抛物线的对称轴与轴交于点，连接，则，.
直线的解析式为，
当时，，
点坐标为.
，
以、、为顶点的三角形面积为3时，，
解得：，（舍去），
当时，
点的坐标为；
（3）设点坐标为，
，
分两种情况
①如图2，

若，
则，即，
，
点的坐标为；
②如图3，

若，
则，即
点的坐标为；
综上所述，点坐标为或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题型，运用待定系数法求抛物线的解析式，函数图像上的点的坐标特征，抛物线的顶点坐标和三角形面积的求法，直角三角形性质和勾股定理，其中利用面积的和差表示出和分类讨论是解本题的关键．
8．(1)
(2)1
(3)
(4)存在，，，
【分析】（1）先求出一次函数与坐标轴的交点，然后代入二次函数求解即可；
（2）根据点，确定点，，得出，，根据题意代入求解即可；
（3）点N到直线的距离为d，求d的最大值即为求面积的最大值，连接，根据（2）中代入确定面积最大值，然后由等面积法求解即可；
（4）分两种情况分析：当时，当时，分别利用全等三角形的判定和性质及二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：当时，，
∴点A的坐标为；
当时，，解得；，
∴点B的坐标为．
将，代入，
得：，
解得：，
∴这个抛物线的解析式为；
（2）点，则点，，
∴，，
∵，
∴，
解得：或（与点B重合，舍去），
故答案为：1；
（3）点N到直线的距离为d，求d的最大值即为求面积的最大值，
连接，如图所示：

∵点B的坐标为．
∴，，
由（2）得，
∴，
∴面积最大为：8，
∵，
∴，解得：；
（4）存在， ，，，理由如下：
当时，如图所示：，

过点N作轴，过点B作轴交延长线于点C，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
解得：，（负值舍去）
∴；
当时，如图所示：，

∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
解得：，
∴或，
∵点Q在x轴下方，
∴，；
综上可得：，，．
【点睛】题目主要考查二次函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，线段及面积问题，特殊三角形的问题及全等三角形的判定和性质，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
9．(1)y＝﹣x2﹣2x+3
(2)点P的坐标为
(3)存在，点P坐标为（﹣2，3）或（，）
【分析】（1）利用待定系数法即可确定抛物线的解析式；
（2）先求出直线AB的解析式，再设出点P的坐标，然后求出点D的坐标，再列出PD的长度的表达式，确定PD取最大值时求出点P的坐标即可；
（3）先设出点P的坐标，然后表示出PD的长度，再根据抛物线的对称性表示出PE的长度，列出关于点P的横坐标的方程，求出点P的横坐标，即可确定点P的坐标．
【详解】（1）解：∵抛物线y＝ax2+bx+3过点B（﹣3，0），C（1，0），
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）解：∵x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3，
∴A（0，3），
∴直线AB解析式为y＝x+3，
∵点P在线段AB上方抛物线上，
∴设P（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0），
∴D（t，t+3），
∴PD＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t＝，
∵a＝﹣1＜0，
∴当时，DP的长最大，
此时，点P的坐标为（，）；
（3）解：存在点P使△PDE为等腰直角三角形，
设P（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0），则D（t，t+3），
∴PD＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t，
∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴对称轴为直线x＝﹣1，
∵PE∥x轴交抛物线于点E，
∴E、P关于对称轴对称，
∴xE﹣（﹣1）＝（﹣1）﹣t，
∴xE＝﹣2﹣t，
∴PE＝|xE﹣xP|＝|﹣2﹣2t|，
∵△PDE为等腰直角三角形，∠DPE＝90°，
∴PD＝PE，
①当﹣3＜t≤﹣1时，PE＝﹣2﹣2t，
∴﹣t2﹣3t＝﹣2﹣2t，
解得：t1＝1（舍去），t2＝﹣2，
∴P（﹣2，3），
②当﹣1＜t＜0时，PE＝2+2t，
∴﹣t2﹣3t＝2+2t，
解得：，（舍去）
∴P（，），
综上所述，点P坐标为（﹣2，3）或（，）时，使△PDE为等腰直角三角形．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，关键是要会用待定系数法求抛物线的解析式以及牢记等腰直角三角形的性质，当遇到线段取最值的问题时，一般是先用含字母的式子表示出线段的长度，然后利用二次函数的知识解决即可．
10．（1）；（2），E（2，1）；（3）存在，（-1，0）；（4，0）；（）
【分析】（1）由、的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；
（2）由、的坐标可求得直线的解析式，可设出点坐标，则可表示出点的坐标，从而可表示出的长，可表示出的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值及此时点的坐标；
（3）可设出点坐标，则可表示出、和的长，分、两种情况分别得到关于点坐标的方程，可求得点坐标．
【详解】解：（1），在抛物线上，则，解得，
抛物线解析式为；
（2）当时，即，解得或，
，，
设直线解析式为，由题意可得，解得，
直线解析式为，
点是线段上的一个动点，
可设，则，
，
当时，有最大值，最大值为2，
此时，
，即为的中点，
综上所述，当运动到的中点时，，此时点坐标为．
（3）存在，理由：
，
抛物线对称轴为直线，
，，且，
，
点在轴上，
可设，，
，
当时，则有点和点关于轴对称，此时点坐标为 ，；
当时，
则有，
∴
∴或
此时点坐标为，或（4，0）；
综上可知存在满足条件的点，其坐标为，；（4，0）；，；
【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、方程思想及分类讨论思想等知识，能熟练应用相关知识点是解题的关键．
11．（1）y＝－x2＋2x＋3；（2）点P的坐标为(1，2)，△PAC周长的最小值为＋3；（3）存在符合条件的M点，坐标为(1，)或(1，－)或(1，1)或(1，0)．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）点A关于函数对称轴的对称点为点B，连接BC交函数对称轴于点P，则点P为所求点，即可求解；
（3）分AC=CM、AC=AM、CM=AM三种情况，分别求解即可．
【详解】解：（1）将A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)代入抛物线解析式y＝x2＋bx＋c中，
得，解得，
∴抛物线的解析式为：y＝－x2＋2x＋3．
（2）y＝－x2＋2x＋3的对称轴为直线x＝1，
设点P为(1，p)，
因为对称轴垂直平分AB，所以PA＝PB．
△PAC的周长＝AC＋PC＋PA＝AC＋PC＋PB，
其中AC＝＝，
当B，P和C三点共线时(如图所示)，
则PC＋PB存在最小值，PC＋PB的最小值＝BC＝＝3，
直线BC：y＝－x＋3，点P在直线BC上，p＝－1＋3＝2，
所以点P的坐标为(1，2)，
此时△PAC周长的最小值为＋3．
（3）抛物线的对称轴为直线x＝－＝1，
设M(1，m)，已知A(－1，0)，C(0，3)，
则：MA2＝m2＋4，MC2＝m2－6m＋10，AC2＝10．
①若MA＝MC，则MA2＝MC2，得m2＋4＝m2－6m＋10，解得m＝1；
②若MA＝AC，则MA2＝AC2，得m2＋4＝10，解得m＝±；
③若MC＝AC，则MC2＝AC2，得m2－6m＋10＝10，解得m＝0或m＝6，
当m＝6时，M，A，C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去．
综上，存在符合条件的M点，且坐标为(1，)或(1，－)或(1，1)或(1，0)．
【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及了抛物线的性质及解析式的确定、等腰三角形的判定等知识，在判定等腰三角形时，一定要根据不同的腰和底分类进行讨论，以免漏解．
12．（1）；（2）点；（3）点的坐标为或
【分析】（1）由经过点，利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式.
（2）首先设点令，求得，然后设直线的关系式为，由待定系数法求得BC的解析式为，可得，的面积为利用二次函数的性质即可求解；
（3）根据，，分别设，，根据点坐标即可求出b，再与抛物线联系即可得出点M的坐标．
【详解】将分别代入
可解得
即抛物线的关系式为．
设点令
解得
则点．
设直线的关系式为为常数且)，
将点的坐标代入，
可求得直线的关系式为．
点
设的面积为
则
当时，有最大值，此时点．
∵，
第一种情况：令,
解得：b=0
∴
解得：
∴
第二种情况：令,
解得：b=3
∴
解得：x=0或x=3（舍去）
∴
满足条件的点的坐标为或
【点睛】此题主要考查待定系数法求函数解析式和二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键.
13．（1）b=-2，c=3； （2）当P时，线段PE有最大值；（3）
【分析】（1）只需把点A、B的坐标代入y=-x2+bx+c即可求得b、c的值；
（2）用待定系数法求出直线AC的解析式，设点P的横坐标为a，则点E的横坐标也为a，则点P、E的纵坐标就可用a的代数式表示，PE的长度也就可以用a的代数式表示，然后运用二次函数的最值性就可求出PE最大时点P的坐标．
（3）等腰直角△APQ的三边都可能是底边，故分三种情况进行讨论，然后构造全等三角形，得到相等线段，然后用一个字母表示一条线段，从而将点P的坐标用该字母表示，然后代入抛物线的解析式，就可求出点P的坐标．
【详解】解：（1）∵抛物线y=-x2+bx+c经过点A（-3，0），B（1，0），
∴．
解得：．
故答案为：-2、3；
（2）由（1）知抛物线的解析式为y=-x2-2x+3．
则点C坐标为（0，3），
设直线AC的解析式为y=mx+n，
则有 ．
解得：．
∴直线AC的解析式为y=x+3．
设点P的横坐标为a，则点E的横坐标也为a．
∴yP=-a2-2a+3，yE=a+3．
∴PE=yP-yE=（-a2-2a+3）-（a+3）
=-a2-3a
=-（a+）2+．
∵-1＜0，
∴当a=-时，PE取到最大值，此时点P坐标为
故当P时，线段PE有最大值；
（3）Ⅰ．若AQ为等腰直角△APQ的底边，如图2，

则有AP=PQ，∠APQ=90°．
过点P作PG⊥OA，垂足为G，过点P作PT⊥QH，垂足为T，
∵∠PGH=∠GHT=∠PTH=90°，
∴四边形PGHT是矩形．
∴∠GPT=90°，PT=GH，PG=HT．
∴∠APG=90°-∠GPQ=∠TPQ．
在△AGP和△QTP中，
∵
∴△AGP≌△QTP．
∴AG=TQ，PG=PT．
∴PG=GH．
∵抛物线y=-x2-2x+3的对称轴为x=,
∴OH=1．
设PG=t（t＞0），则OG=GH+OH=PG+OH=t+1．
∵点P在第二象限，
∴点P的坐标为（-t-1，t）．
∵点P在抛物线y=-x2-2x+3上，
∴t=-（-t-1）2-2（-t-1）+3．
整理得：t2+t-4=0．
解得：（舍去），，
∴点P的坐标为
Ⅱ．若PQ为等腰直角△APQ的底边，如图3，

则有AP=AQ，∠PAQ=90°．
过点P作PG⊥OA，垂足为G，
则有∠APG=90°-∠PAG=∠HAQ．
在△AGP和△QHA中
∵
∴△AGP≌△QHA．
∴PG=AH．
∵AH=AO-OH=3-1=2，
∴PG=2．
∴yP=2．
解-x2-2x+3=2得，
∵点P在第二象限，
∴点P的坐标为（，2）．
Ⅲ．若AP为等腰直角△APQ的底边，如图4，

则有AQ=PQ，∠AQP=90°．
过点P作PT⊥QH，垂足为T，
则有∠AQH=90°-∠PQT=∠TPQ．
在△AHQ和△QTP中，
∵
∴△AHQ≌△QTP．
∴AH=QT，QH=PT．
∵AH=2，
∴QT=2．
设QH=PT=p（p＞0），则TH=p+2，
∵点P在第二象限，
∴点P的坐标为（-p-1，p+2）．
∵点P在抛物线y=-x2-2x+3上，
∴p+2=-（-p-1）2-2×（-p-1）+3．
整理得：p2+p-2=0．
解得：p1=-2（舍去），p2=1，
∴点P的坐标为（-2，3）．
综上所述：点P的坐标为
【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数及一次函数的解析式、二次函数的最值性、全等三角形的判定与性质、解一元二次方程、等腰直角三角形的性质、矩形的判定与性质等知识，还考查了分类讨论的思想，有较强的综合性，有一定的难度．而正确分类及构造全等三角形是解决最后一小题的关键．
14．(1)y=-x2-x+2；(2)S的最大值为；(3)存在，点N的坐标为：(，)或(，)或(，)或(，)．
【分析】(1)抛物线的表达式为：y=a(x+3)(x-1)=a(x2+2x-3)=ax2+2ax-3a，即-3a=2，即可求解；
(2)S四边形ADCP=S△APO+S△CPO-S△ODC，即可求解；
(3)分点N在x轴上方、点N在x轴下方两种情况，分别求解．
【详解】解：(1)抛物线的表达式为：y=a(x+3)(x-1)=a(x2+2x-3)=ax2+2ax-3a，
即-3a=2，解得：a=-，
故抛物线的表达式为：y=-x2-x+2，
则点C(0，2)，函数的对称轴为：x=-1；
(2)连接OP，设点P(x，-x2-x+2)，
则S=S四边形ADCP=S△APO+S△CPO-S△ODC=×AO×yP+×OC×|xP|-×CO×OD
=(-x2-x+2)×2×(-x)-=-x2-3x+2，
∵-1＜0，故S有最大值，当x=-时，S的最大值为；
(3)存在，理由：
△MNO为等腰直角三角形，且∠MNO为直角时，点N的位置如下图所示：
①当点N在x轴上方时，点N的位置为N1、N2，
N1的情况(△M1N1O)：
设点N1的坐标为(x，-x2-x+2)，则M1E=x+1，
过点N1作x轴的垂线交x轴于点F，过点M1作x轴的平行线交N1F于点E，
∵∠FN1O+∠M1N1E=90°，∠M1N1E+∠EM1N1=90°，∴∠EM1N1=∠FN1O，
∠M1N1E=∠N1OF=90°，ON1=M1N1，
∴△M1N1E≌△N1OF(AAS)，∴M1E=N1F，
即：x+1=-x2-x+2，解得：x=(舍去负值)，
则点N1(，)；
N2的情况(△M2N2O)：
同理可得：点N2(，)；
②当点N在x轴下方时，点N的位置为N3、N4，
同理可得：点N3、N4的坐标分别为：(，)、(，)；
综上，点N的坐标为：(，)或(，)或(，)或(，)．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及三角形全等、等腰直角三角形的性质、图形的面积计算等，其中(3)，要注意分类求解，避免遗漏．
15．（1）；（2）存在，点P，使△PAC的面积最大；（3）存在点Q，使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形．Q点坐标为：Q1（2，3），Q2（3，1），Q3（﹣1，﹣1），Q4（﹣2，1）．
【分析】（1）直接把点A（﹣3，0），B（1，0）代入二次函数y＝ax2+bx+2求出a、b的值即可得出抛物线的解析式；
（2）设点P坐标为（m，n），则n＝﹣m2﹣m+2，连接PO，作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N．根据三角形的面积公式得出△PAC的表达式，再根据二次函数求最大值的方法得出其顶点坐标即可；
（3）以BC为边，在线段BC两侧分别作正方形，正方形的其他四个顶点均可以使得“△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形”，因此有四个点符合题意要求，再过Q1点作Q1D⊥y轴于点D，过点Q2作Q2E⊥x轴于点E，根据全等三角形的判定定理得出△Q1CD≌△CBO，△CBO≌△BQ2E，故可得出各点坐标．
【详解】（1）∵抛物线y＝ax2+bx+2过点A（﹣3，0），B（1，0），
∴
∴二次函数的关系解析式为y＝﹣x2﹣x+2；
（2）存在．
∵如图1所示，设点P坐标为（m，n），则n＝﹣m2﹣m+2．
连接PO，作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N．
则PM＝﹣m2﹣m+2．，PN＝﹣m，AO＝3．
∵当x＝0时，y＝﹣×0﹣×0+2＝2，
∴OC＝2，
∴S△PAC＝S△PAO+S△PCO﹣S△ACO
＝AO PM+CO PN﹣AO CO
＝×3×（﹣m2﹣m+2）+×2×（﹣m）﹣×3×2
＝﹣m2﹣3m
∵a＝﹣1＜0
∴函数S△PAC＝﹣m2﹣3m有最大值
∴当m＝﹣＝﹣时，S△PAC有最大值．
∴n＝﹣m2﹣m+2＝﹣×（﹣）2﹣×（﹣）+2＝，
∴存在点P（﹣，），使△PAC的面积最大．
（3）如图2所示，以BC为边在两侧作正方形BCQ1Q2、正方形BCQ4Q3，则点Q1，Q2，Q3，Q4为符合题意要求的点．过Q1点作Q1D⊥y轴于点D，过点Q2作Q2E⊥x轴于点E，
∵∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，∠3+∠4＝90°，
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，
在△Q1CD与△CBO中，
∵，
∴△Q1CD≌△CBO，
∴Q1D＝OC＝2，CD＝OB＝1，
∴OD＝OC+CD＝3，
∴Q1（2，3）；
同理可得Q4（﹣2，1）；
同理可证△CBO≌△BQ2E，
∴BE＝OC＝2，Q2E＝OB＝1，
∴OE＝OB+BE＝1+2＝3，
∴Q2（3，1），
同理，Q3（﹣1，﹣1），
∴存在点Q，使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形．Q点坐标为：Q1（2，3），Q2（3，1），Q3（﹣1，﹣1），Q4（﹣2，1）．
【点睛】本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求二次函数解析式，二次函数极值、全等三角形的判定与性质，正方形及等腰直角三角形的性质等知识，涉及面较广，难度较大．
16．（1）y=﹣x2+x+2；（2）6；（3）存在P1、P2、P3、P4四个点，它们的坐标分别是P1（﹣1﹣，0）、P2（﹣1，0）、P3（，0）、P4（1，0）．
【详解】试题分析：（1）将A（﹣1，0），B（5，0），C（0，2）三点坐标分别代入y=ax2+bx+c，求出a、b、c的值，从而确定抛物线解析式；（2）先求出顶点M的坐标，然后过M作MN垂直y轴于N，把△BCM的面积转化成梯形OBMN的面积减去两个直角三角形的面积,求出相应的长度，代入面积公式即可；（3）因为P点在x轴上，∴P点纵坐标为0，因为AO=1，CO=2，所以AC=，然后分类讨论，根据AC为腰，AC为底两种情况求P点坐标．当AC为腰时，分为A为等腰三角形的顶点（左右各有一点P），C为等腰三角形的顶点（有一点P），两种情况求P点坐标；当AC为底，P为顶点时，作线段AC的垂直平分线交x轴于点P，利用勾股定理求出OP,进而得到P点坐标．
试题解析：（1）因为抛物线经过A,B,C三点，所以将A（﹣1，0），B（5，0），C（0，2）分别代入y=ax2+bx+c得，a-b+c=0,25a+5b+c=0,c=2；组成三元一次方程组，解得a=﹣,b=,c=2,∴抛物线的解析式是y=﹣x2+x+2；（2）先根据顶点坐标公式：，和解析式求出顶点M的坐标，顶点M的坐标是M（2，）．过M作MN垂直y轴于N，如图，S△BCM=S四边形OBMN﹣S△OBC﹣S△MNC，其中CN=-2=,MN=2，BO=5，∴S△BCM=（2+5）﹣×5×2﹣×（﹣2）×2=6；
（3）因为P点在x轴上，∴P点纵坐标为0，因为AO=1，CO=2，所以AC=，分类讨论，根据AC为腰，AC为底两种情况求P点坐标．当以AC为腰时，在x轴上有两个点分别为P1，P2，AP1=AP2=AC=,P1在x轴负半轴，P2在x轴正半轴，∵0P1=1+，OP2=﹣1，∴P1，P2的坐标分别是P1（﹣1﹣，0），P2（﹣1，0）；当以AC为底,P为顶点时，作AC的垂直平分线交x轴于P3，连接CP3,设OP3为x，因为CP3=AP3，由勾股定理得：，解得x=,则P3的坐标为P3（，0）．当AC为腰， C为等腰三角形的顶点时，AC=PC，OP=AO=1,则P4（1，0）．所以存在P1、P2、P3、P4四个点，使△ACP为等腰三角形,它们的坐标分别是P1（﹣1﹣，0）、P2（﹣1，0）、P3（，0）、P4（1，0）．
考点：1．二次函数综合题；2．等腰三角形的性质．
17．(1)y=﹣x2+2x+3；(2)2≤h≤4；(3)（1，4），（0，3），（，）和（，）．
【分析】(1)利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
(2)先求出直线BC解析式为y=﹣x+3，再求出抛物线顶点坐标，得出当x=1时，y=2；结合抛物线顶点坐即可得出结果；
(3)设P（m，﹣m2+2m+3），Q（﹣3，n），由勾股定理得出PB2=（m﹣3）2+（﹣m2+2m+3）2，PQ2=（m+3）2+（﹣m2+2m+3﹣n）2，BQ2=n2+36，过P点作PM垂直于y轴，交y轴与M点，过B点作BN垂直于MP的延长线于N点，由AAS证明△PQM≌△BPN，得出MQ=NP，PM=BN，则MQ=﹣m2+2m+3﹣n，PN=3﹣m，得出方程﹣m2+2m+3﹣n=3﹣m，解方程即可．
【详解】(1)∵抛物线的对称轴x=1，B（3，0），
∴A（﹣1，0）
∵抛物线y=ax2+bx+c过点C（0，3），
∴当x=0时，c=3．
又∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0）
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3；
(2)∵C（0，3），B（3，0），
∴直线BC解析式为y=﹣x+3，
∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点坐标为（1，4），
∵对于直线BC：y=﹣x+1，
当x=1时，y=2；
将抛物线L向下平移h个单位长度，
∴当h=2时，抛物线顶点落在BC上；
当h=4时，抛物线顶点落在OB上，
∴将抛物线L向下平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OBC内（包括△OBC的边界），
则2≤h≤4；
(3)设P（m，﹣m2+2m+3），Q（﹣3，n），
①当P点在x轴上方时，过P点作PM垂直于y轴，交y轴与M点，过B点作BN垂直于MP的延长线于N点，如图所示：
∵△PBQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，
∴∠BPQ=90°，BP=PQ， 则∠PMQ=∠BNP=90°，∠MPQ=∠NBP，
在△PQM和△BPN中，，
∴△PQM≌△BPN（AAS），
∴PM=BN，
∵PM=BN=﹣m2+2m+3，
根据B点坐标可得PN=3﹣m，且PM+PN=6，
∴﹣m2+2m+3+3﹣m=6，
解得：m=1或m=0，
∴P（1，4）或P（0，3）．
②当P点在x轴下方时，过P点作PM垂直于l于M点，过B点作BN垂直于MP的延长线与N点，
同理可得△PQM≌△BPN，
∴PM=BN，
∴PM=6﹣（3﹣m）=3+m，BN=m2﹣2m﹣3， 则3+m=m2﹣2m﹣3，
解得m=或．
∴P（，）或（，）．
综上可得，符合条件的点P的坐标是（1，4），（0，3），（，）和（，）．
18．（1）抛物线的解析式为：y=x2﹣1．（2）点A到直线CD的距离为．（3）符合条件的点G有两个，其坐标为（0，4）或（0，9）．
【详解】试题分析：（1）首先求出点C坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）设直线CD与x轴交于点E，求出点E的坐标，然后解直角三角形（或利用三角形相似），求出点A到直线CD的距离；
（3）△GPQ为等腰直角三角形，有三种情形，需要分类讨论．为方便分析与计算，首先需要求出线段PQ的长度．
方法一：
解：（1）直线y=2x﹣1，当x=0时，y=﹣1，则点C坐标为（0，﹣1）．
设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，
∵点A（﹣1，0）、B（1，0）、C（0，﹣1）在抛物线上，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为：y=x2﹣1．
（2）如图所示，直线，当时，．
设直线CD交x轴于点E，则点E的坐标为．
在中，，，由勾股定理得．
方法1：
设，则，．
过点A作于点F，
则．
∴点A到直线CD的距离为．
方法2：
∵，，
∴．
∴，即，解得．
∴点A到直线CD的距离为．
（3）∵平移后抛物线的顶点P在直线上，
∴设点P得坐标为，则平移后抛物线的表达式为．
由，得，
解得，．
∴点Q的坐标为．
即点P，点Q的横坐标相差2，
∴．
若为等腰三角形，可能有以下几种情况．
方法1：
①若点P为直角顶点，如图所示，则．
∴．
∴，∴点G的坐标为．
②若点Q为直角顶点，如图所示，则，同理可得点G的坐标为．
③若点G为直角顶点，如图所示，此时，则．
分别过点P，Q作y轴的垂线，垂足分别为点M，N．
易证，
∴，．
在中，由勾股定理得，即．①
∵点P，Q横坐标相差2，∴，代入①式，得，解得，∴．
直线，当时，，∴点P的坐标为，即．
∴，∴点G的坐标为．
综上所述，符合条件的点G有两个，其坐标为或．
方法2：
①当为等腰三角形，且，时，如图所示，过点P作轴于点M，再过点Q作于点N，
∴，．
∴．
∴．
∴．
∴，．
设点G的坐标为，
∴，解得．
∴点G的坐标为．
②如图所示，当为等腰三角形，且，时，同理可得，点G的坐标为．
③如图所示，当为等腰三角形，且，时，同理可得，点G的坐标为．
综上所述，符合条件的点G有两个，其坐标为或．
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