2024-2025年人教版九年级上册数学期末专题提升训练21：二次函数综合压轴（特殊四边形问题）（含解析）

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专题21：二次函数综合压轴（特殊四边形问题）--2024-2025年人教版九年级上册数学期末专题提升
1．在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）经过点和点，点是抛物线上一动点，其横坐标为，过点作轴垂线交直线于点，分别作点关于轴的对称点，构造矩形．
(1)求此二次函数的解析式．
(2)当抛物线顶点落在矩形的边上时，求矩形的面积．
(3)当抛物线在矩形内部的图象随的增大而减小时，求的取值范围．
(4)抛物线在矩形内部（包括边界）的最高点与最低点的纵坐标之和的绝对值为2时，直接写出的值．
2．如图，二次函数图象顶点坐标为，一次函数图象与二次函数图象相交于y轴上一点，同时相交于x正半轴上点C．
(1)试求二次函数与一次函数的表达式．
(2)连接，试求四边形的面积．
(3)假设点P 是二次函数对称轴上一动点，点Q 是平面直角坐标系中任意一点，是否存在这样的点P 及点Q，使得以B，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
3．定义：在平面直角坐标系中，当点在图形的内部，或在图形上，且点的横坐标和纵坐标相等时，则称点为图形的“梦之点”．
(1)如图①，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形“梦之点”的是 ；
(2)如图②，已知点，是抛物线上的“梦之点”，点是抛物线的顶点．连接，，，求的面积；
(3)在（2）的条件下，点为抛物线上一点，点为平面内一点，是否存在点、，使得以为对角线，以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
4．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，，顶点为D．
(1)求此函数的关系式；
(2)在下方的抛物线上有一点N，过点N作直线轴，交于点M，当点N坐标为多少时，线段的长度最大？最大是多少？
(3)在对称轴上有一点K，在抛物线上有一点L，若使A，B，K，L为顶点形成平行四边形，求出K，L点的坐标．
5．如图，抛物线与x轴交于点,．与y轴交于点C，，直线交抛物线于点E，且．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若点M为直线上一点，点N为直线EC上一点，求的最小值；
(3)点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P，Q，使得以E，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
6．如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．
(1)求该抛物线的解析式及顶点坐标；
(2)若P是线段OB上一动点，过P作y轴的平行线交抛物线于点H，交BC于点N，设OP＝t时，△BCH的面积为S．求S关于t的函数关系式；若S有最大值，请求出S的最大值，若没有，请说明理由．
(3)若P是x轴上一个动点，过P作射线PQ∥AC交抛物线于点Q，在抛物线上是否存在这样的点Q，使以A，P，Q，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
7．如图，抛物线y＝ax2+bx+4经过点A（﹣1，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C，点是拋物线在轴上方，对称轴右侧上的一个动点，设点D的横坐标为m．连接AC，BC，，DC．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当△BCD的面积与△AOC的面积和为时，求m的值；
(3)在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，为顶点的四边形是平行四边形．请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
8．综合与探究
如图，已知点B（3，0），C（0，-3），经过B．C两点的抛物线y=x2-bx+c与x轴的另一个交点为A．
（1）求抛物线的解析式;
（2）点D在抛物线的对称轴上，当△ACD的周长最小时，求点D的坐标．
（3）若点E（2，-3），在坐标平面内是否存在点P，使以点A，B，E，P为顶点的四边形是平行四边形 若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
9．如图，在直角坐标系中，直线y＝x﹣3交x轴于点B，交y轴于点C，抛物线经过点A(﹣1，0)，B，C三点，点F在y轴负半轴上，OF＝OA．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第一象限的抛物线上存在一点P，满足，请求出点P的坐标；
（3）点D是直线BC的下方的抛物线上的一个动点，过D点作DEy轴，交直线BC于点E，当四边形CDEF为平行四边形时，求D点的坐标．
10．如图，抛物线L1：y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A(﹣1，0)，OB=OC=3OA．若抛物线L2与抛物线L1关于直线x=2对称．
（1）求抛物线L1与抛物线L2的解析式；
（2）在抛物线L1上是否存在一点P，在抛物线L2上是否存在一点Q，使得以BC为边，且以B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出P、Q两点的坐标，若不存在，请说明理由．
11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B（8，0）两点，与y轴交于点C，且OC＝2OA，抛物线的对称轴x轴交于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是第一象限内抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，设点P点的横坐标为m，且S△CDP＝S△ABC，求m的值；
（3）K是抛物线上一个动点，在平面直角坐标系中是否存在点H，使B、C、K、H为顶点的四边形成为矩形？若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，说明理由．
12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与两坐标轴分别交于点A、B、C，直线y＝﹣x+4经过点B，与y轴交点为D，M（3，﹣4）是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）已知点N在对称轴上，且AN+DN的值最小．求点N的坐标．
（3）在（2）的条件下，若点E与点C关于对称轴对称，请你画出△EMN并求它的面积．
（4）在（2）的条件下，在坐标平面内是否存在点P，使以A、B、N、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
13．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣x﹣3交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C
（1）求直线AC的解析式；
（2）点P是直线AC上方抛物线上的一动点（不与点A，点C重合），过点P作PD⊥x轴交AC于点D，求PD的最大值；
（3）将△BOC沿直线BC平移，点B平移后的对应点为点B′，点O平移后的对应点为点O′，点C平移后的对应点为点C′，点S是坐标平面内一点，若以A，C，O′，S为顶点的四边形是菱形，求出所有符合条件的点S的坐标．
14．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点M（﹣2，），顶点坐标为N（﹣1，），且与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为直线y＝﹣1上的动点，Q是抛物线线上的动点，若以A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标；
（3）在直线AC上是否存在一点Q，使△QBM的周长最小？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．
15．如图，直线y=﹣x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y=ax2+x+c经过B、C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标和△BEC面积的最大值；
（3）在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
16．如图，抛物线经过（），（），（）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上有一点，使的值最小，求点的坐标；
（3）点为轴上一动点，在抛物线上是否存在点，使得以四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标．
17．平面直角坐标系中，如图，将个边长为1的正方形并排组成矩形OABC，相邻两边OA和OC分别落在x轴和y轴的正半轴上，设抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＜0）过矩形顶点B、C．
（1）当n＝1时，如果a＝－1，试求b的值．
（2）当n＝2时，在矩形OABC上方作一边长为1的正方形EFMN，使EF在线段CB上，如果M，N两点也在抛物线上，求出此时抛物线的解析式．
（3）当n=3时，将矩形OABC绕点O顺时针旋转，使得点B落到x轴的正半轴上，如果该抛物线同时经过原点O，求a的值．
18．如图，抛物线经过点A（1，0），B（5，0），C（0，）三点，设点E（x，y）是抛物线上一动点，且在x轴下方，四边形OEBF是以OB为对角线的平行四边形．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点E（x，y）运动时，试求平行四边形OEBF的面积S与x之间的函数关系式，并求出面积S的最大值；
（3）是否存在这样的点E，使平行四边形OEBF为正方形？若存在，求E点，F点的坐标；若不存在，请说明理由．
19．如图，已知抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于点A、B，且AB=2，抛物线的对称轴为直线x=2；
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如果抛物线的对称轴上存在一点P，使得△APC周长的值最小，求此时P点坐标及△APC周长；
（3）设D为抛物线上一点，E为对称轴上一点，若以点A、B、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标．（直接写出结果）
20．如图，抛物线y=ax2+bx+3经过点A（﹣1，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C，点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m（0＜m＜2）．连接AC，BC，DB，DC．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）△BCD的面积何时最大？求出此时D点的坐标和最大面积；
（3）在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
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参考答案：
1．(1)
(2)12或36
(3)或
(4)或或或
【分析】（1）直接把，代入，求解即可；
（2）分两种情况：当抛物线顶点落在矩形的边上时，当抛物线顶点落在矩形的边上时，分别 求解即可；
（3）画出动点P的几种情况图，利用数形结合求解即可；
（4）根据抛物线在矩形内部（包括边界）的最高点与最低点的纵坐标之和的绝对值为2，当时，当时，当时，当时，当时，分别求解即可．
【详解】（1）解：把，代入，得
，
解得：，
∴；
（2）解： ∵
∴抛物线顶点坐标为，
当抛物线顶点落在矩形的边上时，如图，
∵P、N是关于轴的对称点，
∴轴，
∴点P纵坐标为，
∴点P与抛物线的顶点重合，
即，
∴点，
∴，
∵过点作轴垂线交直线于点，
∴点横坐标为1，
当时，
∴，
∴
∴矩形的面积；
当抛物线顶点落在矩形的边上时，如图，
同理可得点Q的纵坐标为，
当时，则，
解得：，
∴，
∴，
∴，
∵轴，
∴P点的横坐标为，
当时，则，
∴，
∴，
∴矩形的面积；
综上，矩形的面积为12或36．
（3）解：由题意得，
当点P在第二象限，点M恰好在抛物线上时，如图：
则，
∴，
解得：或（舍），
此时符合抛物线在矩形内部的图像y随x的增大而减小，
当点P向右运动，此时时，符合抛物线在矩形内部的图像y随x的增大而减小，如图：
当点继续向右运动与点重合时，此时矩形不存在，如图：
此时，，
解得：或（舍），
当点向右运动，点在点下方时，如图：
此时不符合题意，
∴当，符合抛物线在矩形内部的图像y随x的增大而减小；
当点与点重合时，矩形不存在，
当点继续向右运动，在第四象限时，此时，如图，符合题意：
当点继续向右运动，均符合题意，如图：
当点与点重合时，矩形不存在，此时，
解得：或（舍），
当点继续向右运动，在点上方时，不符合题意 ，如图：
，
∴当，符合抛物线在矩形内部的图像y随x的增大而减小，
综上所述，m的取值范围为：或；
（4）解：∵，
∴顶点为，而，
联立，
解得：或，
①当且时，即：，如图：
此时，而，
∴，
解得：（舍）或（舍）或；
②当，即时，记顶点为点，如图：
此时，
则，
整理得，或，
解得：或（舍）或（舍）或（舍）；
③当时，
此时：，
即：，
整理得，，
解得：或（舍）或（舍）；
④时，
此时，
即：
解得：或（舍）或（舍）或（舍）；
⑤当时，不存在．
综上所述：或或或．
【点睛】本题属二次函数综合题目，主要考查了用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象性质，矩形的性质，关于y轴对称点的坐标特征，一次函数图象上的点的坐标特征，二次函数最高点与最低点等知识，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键，注意分类讨论．
2．(1)，
(2)
(3)或或或或
【分析】（1）先设顶点式，再把代入计算，即可得出，再求出，结合，运用待定系数法解一次函数解析式，即可作答．
（2）先作图，过点A作平行于x轴的直线交y轴于一点，再过点C作平行于y轴的直线交于一点M，再运用割补法进行列式四边形的面积，然后代入数值进行计算，即可作答．
（3）结合菱形的判定（运用对角线互相平分，得出是平行四边形，再结合一组邻边相等的平行四边形），要进行分类讨论，过程紧扣中点公式列式计算，即可作答．
本题考查了菱形的判定与性质，二次函数的图象性质，待定系数法求出函数解析式，割补法求面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】（1）解：∵顶点坐标为，
∴设二次函数为，
再把代入，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当，
∴，
结合图象，得出，
把，分别代入，
得，
∴，
则；
（2）解：依题意，过点A作平行于x轴的直线交y轴于一点，再过点C作平行于y轴的直线交于一点M，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，，
∴，
∵，
∴
结合图象，
四边形的面积
；
（3）解：或或或或
过程如下：
依题意，设，
当为对角线时，
∵，，且以B，C，P，Q为顶点的四边形是菱形，
则菱形四边相等，即，
∴，
解得，
则该菱形的对角线的中点为，
∴，
∴，，
∴，
当为边时，
∵，，且以B，C，P，Q为顶点的四边形是菱形，
则菱形四边相等，即，
∴，
解得，
则当时， ，
∴此时该菱形的对角线的中点为，
∴，
∴，，
∴，
则当时， ，
∴此时该菱形的对角线的中点为，
∴，
∴，，
∴，
当为边时，
∵，，且以B，C，P，Q为顶点的四边形是菱形，
则菱形四边相等，即，
∴，
解得，
则当时， ，
∴此时该菱形的对角线的中点为，
∴，
∴，，
∴，
则当时， ，
∴此时该菱形的对角线的中点为，
∴，
∴，，
∴，
综上：或或或或．
3．(1)，
(2)
(3)存在，或
【分析】本题是二次函数的综合题，考查了一次函数和二次函数的图象和性质，菱形的性质，理解坐标与图形性质，熟练掌握两点间的距离公式，理解新定义是解题的关键．
（1）根据“梦之点”的定义判断这几个点是否在矩形的内部或边上；
（2）根据“梦之点”的定义和二次函数的解析式，求得，的坐标；根据二次函数的顶点式，求出抛物线的顶点，点的坐标，抛物线的对称轴，根据，即可求得答案；
（3）设，由以为对角线，以、、、为顶点的四边形是菱形可得，利用两点间距离公式建立方程求解即可求得答案．
【详解】（1）∵矩形的顶点坐标分别是，，，，
∴设矩形的“梦之点”为，满足，，
∴点，，中，是矩形“梦之点”为点，．
故答案为：，．
（2）∵，是抛物线上的“梦之点”
∴点，是直线上的点，
∴，
∴，，
∴，；
∵，
∴二次函数的顶点，二次函数的对称轴为，
设抛物线的对称轴交于，
∴，
∴
∴
．
（3）存在，理由如下：
设，
∵以为对角线，以、、、为顶点的四边形是菱形，
∴，
∴，
解得：，
当，，
∴点；
当，，
∴点；
综上所述，点的坐标为：或者．
4．(1)
(2)N的坐标为，有最大值
(3)或或．
【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数图像与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识点，掌握用待定系数法求函数解析式以及数形结合思想是解题的关键．
（1）由求得，然后分别代入抛物线解析式，得到以b，c为未知数的二元一次方程组，求出b，c的值即可；
（2）先求出直线的解析式，再设出M、N的坐标，把表示成二次函数，再运用二次函数的性质求最值即可；
（3）先求出点B的坐标，然后分为边、为对角线两种情况，分别画出图形，再根据平行四边形的性质以及坐标与图形进行分析计算即可．
【详解】（1）∵抛物线经过点A，点C，且,
∴,
∴将其分别代入抛物线，可得，
解得．
故此抛物线的函数表达式为：．
（2）解：设直线的解析式为，
将代入，得，
解得：，
∴直线的解析式为，
设N的坐标为，则，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，且为，
把代入抛物线得，N的坐标为，
当N的坐标为，有最大值．
（3）解：∵，
∴抛物线对称轴为，
令得，，
解得，，，
∴点B的坐标为；
①当和是平行四边形的对角线时，点和都在对称轴上时，
∴；
②当和是平行四边形的两条对边，且在y轴右侧时，
∵，
∴，
∴的横坐标为3，
∴；
当和是平行四边形的两条对边，且在y轴左侧时，
∵，
∴的横坐标为，
∴；
综上所述，K、L点的坐标为或或．
5．(1)
(2)
(3)存在，（1，﹣4）或（7，﹣11）．
【分析】（1）求出C点坐标，再由待定系数法求函数的解析式即可；
（2）作C点关于的对称点，过作交于N，交于点M，连接，，当M、N、三点共线时，的值最小，最小值为，求出即可；
（3）分两种情况讨论：①以为矩形的边，如图2，过点C作交抛物线于，过点E作交抛物线于点，过点作交于，过作交于，求出直线的解析式为，可求出直线的解析式为，联立方程组，可求得，由C点向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到点E，可得，同理可得；②当为矩形对角线时，如图3，以EC为直径的圆与抛物线没有交点，此时P点不存在．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
将点，，代入，
∴，
解得，
∴；
（2）解：作C点关于的对称点，过作交于N，交于点M，连接，，

∴，
∴，
∴M、N、三点共线时，的值最小，
∵，，
∴为线段的垂直平分线，
∴直线的解析式为，
联立方程组，
解得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为．
（3）解：在点P，Q，使得以E，C，P，Q为顶点的四边形是矩形，理由如下：
①以为矩形的边，如图2，过点C作交抛物线于，过点E作交抛物线于点，过点作交于，过作交于，

∵，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
设直线与x轴交点为G，直线与x轴的交点为H，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
可求直线的解析式为，
联立方程组，
解得（舍）或，
∴；
∵C点向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到点E，
∴；
同理可得；
②当为矩形对角线时，如图3，以EC为直径的圆与抛物线没有交点，
∴此时P点不存在；
综上所述：Q点坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的图像及性质，利用轴对称求最短距离的方法，矩形的性质，数形结合，分类讨论是解题的关键．
6．(1)y＝x2﹣2x﹣3；顶点的坐标为（1，﹣4）
(2)S，最大值为
(3)P点的坐标为（2，0）或（2，0）或（1，0）
【分析】（1）根据点A、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再利用配方法可找出顶点的坐标；
（2）根据点B、C的坐标，利用待定系数法可求出直线BC的解析式，设点P的坐标为（t，0），则点N的坐标为（t，t﹣3），H（t，t2﹣2t﹣3），根据两点的距离公式可得NH的长，利用三角形的面积公式可得S与t的关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题；
（3）分两种情况：①Q在x轴的上方时，根据A和C坐标平移规律可确定点Q的纵坐标为3，代入抛物线的解析式得Q的横坐标，从而知P的横坐标；②Q在x轴的下方，同理可得结论．
【详解】（1）解：把点A（﹣1，0），点C（0，﹣3）代入抛物线的解析式为y＝x2+bx+c中得：
解得：
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4
∴顶点的坐标为（1，﹣4）
（2）如图1，设直线BC的解析式为y＝kx+d（k≠0）
当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0
解得：x1＝3，x2＝﹣1
∴B（3，0）
将B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝kx+d中
得：，解得：
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3
∵OP＝t
设点P的坐标为（t，0），则点N的坐标为（t，t﹣3），H（t，t2﹣2t﹣3）
∴NH＝t﹣3﹣（t2﹣2t﹣3）＝﹣t2+3t
∴
∵0≤t≤3，，
∴当t时，S取最大值，最大值为；
（3）分两种情况：
①当Q在x轴的上方时，如图2和图4，四边形ACPQ是平行四边形
根据A（﹣1，0）和C（0，﹣3）可知：点Q的纵坐标为3
当y＝3时，x2﹣2x﹣3＝3
解得：x1＝1，x2＝1
∴P（2，0）或（2，0）
②当Q在x轴的下方时，如图3，四边形ACQP是平行四边形，
当y＝﹣3时，由对称得：Q（2，﹣3）
∴P（1，0）
综上，P点的坐标为（2，0）或（2，0）或（1，0）
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、待定系数法求一次函数解析式、二次函数的性质、三角形的面积、平行四边形的性质和判定，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用三角形的面积公式确定S与t的关系式；（3）利用平移的观点确定Q和P的坐标．
7．(1)
(2)m＝
(3)存在，M点的坐标为或或或．
【分析】（1）把，代入中进行求解即可；
（2）如图，连接，求解对称轴为， 由题意可知，，，结合，与，利用即可得到答案；
（3）由（2）得：D点为，再分两种情况讨论，①当BD是平行四边形的一条边时， 如图，当在轴的上方时，由平行四边形的性质与抛物线的性质可得关于抛物线的对称轴对称，重合， 设点， 如图，当在轴的下方时，由平行四边形对角线中点坐标相同得到，， 解方程求解，可得，；②如图，当BD是平行四边形的对角线时， 则，同理可得关于抛物线的对称轴对称，从而可得 从而可得答案．
【详解】（1）（1）把，代入：
，
解得：
∴抛物线表达式为：；
（2）如图，连接，
∵抛物线解析式为：，且抛物线与y轴交于点C
∴抛物线的对称轴为，
∴OC=4，
∵点D的横坐标为m，
∴，
∵，，
∴AO=1，BO=2，
∴
又∵
∴，
解得：，，
当时，点在对称轴上，不合题意，舍去，所以取，
综上，；
（3）当时，
D点为，
①当BD是平行四边形的一条边时， 如图，当在轴的上方时，
由平行四边形可得，
关于抛物线的对称轴对称，
重合，
如图，当在轴的下方时，设点， ，
∴，（平行四边形对角线中点坐标相同），
∴，
解得或
∴或，
∴或；
②如图，当BD是平行四边形的对角线时， 则，
∴，关于抛物线的对称轴对称，
，
综上，点的坐标为： 或或或．
【点睛】主要考查了二次函数的综合，二次函数的性质，平行四边形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
8．（1）；（2）点D的坐标为；（3）存在，，，．
【分析】（1）根据题意利用待定系数法将点B、C的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
（2）由题意根据点B是点A关于函数对称轴的对称点，连接BC交函数对称轴于点D，则点D为所求点，进行分析求解；
（3）根据题意分AB是平行四边形的边、AB是平行四边形的对角线两种情况，结合平行四边形的性质并进行分析即可求解．
【详解】解：（1）将点代入抛物线，
得，，解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）如图：
由得
对称轴为
点A，B关于直线对称，
∴连结与对称轴为的交点就是符合条件的点D，
设直线的解析式为，
将代入解析式
得，解得
∴
当时，，
∴点D的坐标为；
（3）存在，
如图：
①当为边长，为边长，
如图四边形为平行四边形
∵对称轴为，
∴
∴
∴
∵
∴
∴
②当为边长，为边长，
∵
∴
∴
③当为对角线，四边形为平行四边形
∵四边形为平行四边形
易得恰好交y轴
∴
综上所述，，，．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、点的对称性、平行四边形的性质，熟练掌握相关性质并运用数形结合思维分析是解题的关键．
9．（1）y=x2-2x-3；（2）点P的坐标为（4，5）；（3）点D的坐标为（1，-4）或（2，-3）．
【分析】（1）先求得点B和点C的坐标，然后设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），将点C的坐标代入求得a的值即可；
（2）过点A作AP∥BC，交抛物线于点P．则S△ABC=S△PBC，然后求得AP的解析式，最后再求得直线AP与抛物线的交点坐标即可；
（3）设点D的坐标为（m，m2-2m-3），则点E（m，m-3）．ED=-m2+3m，依据平行四边形的判定定理可知当FC=DE时，四边形FCDE为平行四边形，从而可得到关于m的方程，故此可求得m的值，从而可求得到D的坐标；
【详解】解：（1）把x=0代入y=x-3得：y=-3，
∴C（0，-3）．
把y=0代入y=x-3得：x=3，
∴B（3，0）．
设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），将点C的坐标代入得：-3a=-3，解得：a=1，
∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3．
（2）过点A作AP∥BC，交抛物线于点P．
∵AP∥BC，
∴△BCA与△BCP是等底等高的三角形，
∴S△ABC=S△PBC，
设直线AP的解析式为y=x+b，将点A的坐标代入得：-1+b=0，解得：b=1，
∴直线PA的解析式y=x+1．
将y=x+1与y=x2-2x-3联立解得：（舍）或，
所以点P的坐标为（4，5）．
（3）设点D的坐标为（m，m2-2m-3），则点E（m，m-3）．
∴ED=（m-3）-（m2-2m-3）=-m2+3m．
∵当FC=DE时，四边形FCDE为平行四边形，
∴-m2+3m=2，解得m=1或m=2．
∴点D的坐标为（1，-4）或（2，-3）．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、三角形的面积公式、平行四边形的判定定理，（2）中理解同底等高的三角形面积相等是解题关键；（3）中用含m的式子表示ED的长是解题的关键．
10．（1）抛物线L1的解析式为y=-x2+2x+3，抛物线L2的解析式为y=-(x-3)2+4；（2）存在P(2，3)，Q(5，0)或P(，)，Q(，)，使得以BC为边且以B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形．
【分析】（1）用待定系数法求抛物线L1的解析式并配方成顶点式，得到抛物线L1的顶点坐标D；由抛物线L2与抛物线L1关于直线x＝2对称可得两抛物线开口方向、大小相同，且两顶点关于直线x＝2对称，因此求得抛物线L2的顶点D'，进而得到抛物线L2的顶点式；
（2）由于BC为边，以B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，所以有两种情况：①BQ∥PC，BQ＝PC；②BP∥CQ，BP＝CQ．因为可把点B、C之间看作是向左（或右）平移3个单位，再向上（或下）平移3个单位得到，所以点P、Q之间也有相应的平移关系，故可由点P坐标（t， t ＋2t＋3）的t表示点Q坐标，再把点Q坐标代入抛物线L2解方程即求得t的值，进而求得点P、Q坐标．
【详解】（1）∵A(﹣1，0)，
∴OB=OC=3OA=3，
∴B(3，0)，C(0，3)
∵抛物线L1：y=ax2+bx+c经过点A、B、C，
∴，解得：，
∴抛物线L1的解析式为y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，
∴抛物线L1的顶点D(1，4)，
∵抛物线L2与抛物线L1关于直线x=2对称，
∴两抛物线开口方向、大小相同，抛物线L2的顶点D'与点D关于直线x=2对称，
∴D'(3，4)，
∴抛物线L2的解析式为y=-(x-3)2+4；
（2）存在满足条件的P、Q，使得以BC为边且以B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，设抛物线L1上的P(t，-t2+2t+3)，
①若四边形BCPQ为平行四边形，如图1，
∴BQ∥PC，BQ=PC，
∴BQ可看作是CP向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到的，
∴Q(t+3，-t2+2t)，
∵点Q在抛物线L2上，
∴﹣t2+2t=-(t+3-3)2+4，解得：t=2，
∴P(2，3)，Q(5，0)；
②若四边形BCQP为平行四边形，如图2，
∴
BP∥CQ，BP=CQ，
∴CQ可看作是BP向左平移3个单位，再向上平移3个单位得到的，
∴Q(t﹣3，-t2+2t+6)，
∴﹣t2+2t+6=-(t-3-3)2+4，解得：t，
∴P(，)，Q(，)；
综上所述：存在P(2，3)，Q(5，0)或P(，)，Q(，)，使得以BC为边且以B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的几何变换，平行四边形的性质，平移的性质，一次方程（组）的解法．平行四边形顶点的存在性问题，往往可以利用平行四边形对边平行且相等，转化为平移得到顶点坐标之间的关系，再进行后续计算．
11．（1）y＝﹣x2+x+4；（2）m1＝4或m2＝；（3）点H坐标为（6，﹣4），（6，﹣2），（﹣18，﹣32）．
【分析】（1）结合A（﹣2，0），B（8，0）由两点式可得抛物线解析式为y＝a（x+2）（x﹣8），求出点C坐标，代入即可求出抛物线解析式；
（2）点P在抛物线上，可设P（m，﹣m2+m+4），结合C点坐标可得直线PC的解析式，已知直线与对称轴交点E的坐标，DE长可知，根据S△ABC＝×AB×OC求出其面积，由题中条件可知△CDP的面积，由三角形面积公式可得m的值；
（3）分类讨论，①若BC为边，∠CBK＝90°时，将BC绕点B逆时针旋转90°得到BC'，根据AAS证明△BCO≌△BC'E，依据全等的性质可得点B点C的坐标，求出直线BC的表达式与抛物线的解析式联立求解可得点K横坐标，由矩形的性质可知xC﹣xB＝xH﹣xK，，结合点B、C、D点坐标可得H点坐标.②若BC为边，∠BCK＝90°时，同理可求：直线CK的解析式，与抛物线的解析式联立求解可得点K横坐标，同理可得H点坐标；③若BC为对角线，由B点C点坐标可得BC的中点坐标及BC的长，点K在抛物线上，设设点K（x，﹣x2+x+4），利用勾股定理可求出x的值，选择符合题意的，求出点K坐标后结合KH的中点坐标可知H点坐标，综上所述，点H的坐标有3种情况.
【详解】（1）∵A（﹣2，0），B（8，0）
∴OA＝2，OB＝8，
∵OC＝2OA，
∴OC＝4，
∴点C（0，4）
∵设y＝a（x+2）（x﹣8）经过点C，
∴4＝﹣16a，
∴a＝﹣，
∴抛物线解析式为：y＝﹣（x+2）（x﹣8）＝﹣x2+x+4；
（2）如图1，
由题意：点D（3，0），
∴OD＝3，
设P（m，﹣m2+m+4），（m＞0，﹣m2+m+4＞0）
∵C（0，4），
∴直线PC的解析式可表示为：y＝（﹣m+）x+4，
设直线PC与对称轴的交点为E，则点E（3，﹣m+），
∴DE＝﹣m+，
∵S△ABC＝×AB×OC，
∴S△ABC＝×10×4＝20，
∵S△CDP＝S△ABC，
∴×（﹣m+）×m＝×20，
∴m1＝4或m2＝；
（3）若BC为边，∠CBK＝90°时，如图2，将BC绕点B逆时针旋转90°得到BC'，
∴BC＝BC'，∠CBC'＝90°，
∴∠CBO+∠C'＝90°，∠CBO+∠OCB＝90°，
∴∠OCB＝∠EBC'，且BC＝BC'，∠BEC'＝∠BOC＝90°，
∴△BCO≌△BC'E（AAS）
∴BE＝OC＝4，OB＝EC'＝8，
∴点C'（4，﹣8），且B（8，0）
∴直线BC'解析式为：y＝2x﹣16，
∴2x﹣16＝﹣x2+x+4，
∴x1＝﹣10，x2＝8，
∴点K（﹣10，﹣36），
∵xC﹣xB＝xH﹣xK，
∴0﹣8＝xH﹣（﹣10），
∴xH＝﹣18，
∵，
∴yH＝﹣32，
∴点H（﹣18，﹣32），
若BC为边，∠BCK＝90°时，
同理可求：直线CK的解析式为：y＝2x+4，
∴2x+4＝﹣x2+x+4，
∴x1＝﹣2，x2＝0，
∴点K坐标（﹣2，0）
∵，
∴0﹣8＝﹣2﹣xH，
∴xH＝﹣6，
∵，
∴yH＝﹣4，
∴点H（6，﹣4），
若BC为对角线，
∵B、C、K、H为顶点的四边形成为矩形，
∴BC＝KH，BC与KH互相平分，
∵B（8，0），C（0，4）
∴BC中点坐标（4，2），BC＝＝＝4，
设点K（x，﹣x2+x+4）
∴（x﹣4）2+（﹣x2+x+4﹣2）2＝（2）2，
∴x（x﹣2）2（x﹣8）＝0，
∴x1＝0，x2＝2，x3＝8，
∴K（2，6），且KH的中点坐标（4，2），
∴点H（6，﹣2）
综上所述：点H坐标为（6，﹣4），（6，﹣2），（﹣18，﹣32）．
【点睛】本题考查了抛物线的综合，熟练掌握抛物线解析式的求法及利用矩形的性质求满足条件的抛物线上的点坐标是解题的关键.
12．（1）y＝x2﹣6x+5；（2）N(3，)；（3）画图见解析，S△EMN＝；（4）存在，满足条件的点P的坐标为（3，﹣）或（7，）或（﹣1，）．
【分析】（1）先确定出点B坐标，最后用待定系数法即可得出结论；
（2）先判断出点N是直线BC与对称轴的交点，即可得出结论；
（3）先求出点E坐标，最后用三角形面积公式计算即可得出结论；
（4）设出点P坐标，分三种情况利用平行四边形的两条对角线互相平分和中点坐标公式求解即可得出结论．
【详解】解：（1）针对于直线y＝﹣x+4，
令y＝0，则0＝﹣x+4，
∴x＝5，
∴B（5，0），
∵M（3，﹣4）是抛物线的顶点，
∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2﹣4，
∵点B（5，0）在抛物线上，
∴a（5﹣3）2﹣4＝0，
∴a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝（x﹣3）2﹣4＝x2﹣6x+5；
（2）由（1）知，抛物线的解析式为y＝（x﹣3）2﹣4，
∴抛物线的对称轴为x＝3，
∵点A，B关于抛物线对称轴对称，
∴直线y＝﹣x+4与对称轴x＝3的交点就是满足条件的点N，
∴当x＝3时，y＝﹣×3+4＝，
∴N（3，）；
（3）作图见下图；
∵点C是抛物线y＝x2﹣6x+5与y轴的交点，
∴C（0，5），
∵点E与点C关于对称轴x＝3对称，
∴E（6，5），
由（2）知，N（3，），
∵M（3，﹣4），
∴MN＝﹣（﹣4）＝，
∴S△EMN＝MN |xE﹣xM|＝××3＝；
（4）设P（m，n），
∵A（1，0），B（5，0），N（3，），
当AB为对角线时，AB与NP互相平分，
∴（1+5）＝（3+m），（0+0）＝（+n），
∴m＝3，n＝﹣，
∴P（3，﹣）；
当BN为对角线时，（1+m）＝（（3+5），（0+n）＝（0+），
∴m＝7，n＝，
∴P（7，）；
当AN为对角线时，（1+3）＝（5+m），（0+）＝（0+n），
∴m＝﹣1，n＝，
∴P（﹣1，），
即：满足条件的点P的坐标为（3，﹣）或（7，）或（﹣1，）．
【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形面积公式，对称性，平行四边形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
13．（1）；（2）；（3）（，）或（，）或（）或（）或（）
【分析】（1），令y=0，则x=-1或-6，故点A、B、C的坐标分别为：（-6，0）、（-1，0）、（0，-3），然后用待定系数法即可求解；（2）设点P（x，），则点D（x，），则PD=-（）=，然后配方法分析其最值，即可求解；（3）分AC是菱形的边、AC是对角线两种情况，分别求解即可．
【详解】解：（1）当y=0时，
解得：x=-1或-6，
当x=0时，y=-3
∴点A、B、C的坐标分别为：（-6，0）、（-1，0）、（0，-3），
设直线AC的表达式为：
将点A、C的坐标代入得：
解得：
∴直线AC的解析式为：
（2）设点P（x，），则点D（x，）
则PD=-（）=
∵ ＜0，故PD有最大值为
（3）设直线BC的表达式为：
将点B、C的坐标代入得：
解得：
∴直线BC的解析式为：
①如图3或4中，当四边形ACSO'是菱形时，设AS交CO′于K，AC=AO′=3，
点O平移后的对应点为点O′，平移直线的k为，
则设点O向左平移m个单位，则向上平移3m个单位，则点O′（-m，3m），设点S（a，b），
∴（m+6）2+（-3m）2=（3）2，
解得m=，
∴O′（，）或（，）
由中点公式可得：K（，）或（，），
∵AK=KS，
∴S（，）或（，）
②如图5或6中，当四边形ACO'S是菱形时，设CS交AO′于K，AC=CO′=3，
∵点O平移后的对应点为点O′，平移直线的k为，C（0，-3），设O′（m，-3m），
∴m2+（-3m+3）2=（3）2，
解得m=，
∴O′（）或（），
由中点公式可得：K（）或（），
∵CK=KS，
∴S（）或（）
③如图7中，当四边形ASCO′是菱形时，SO垂直平分线段AC，
直线SO′的解析式为
由 ，
解得 ，
∴O′（）
∵KS=KO′，
∴S（）
综上所述，满足条件的点S坐标为（，）或（，）或（）或（）或（）
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到菱形的性质、图形的平移、中点公式的运用，此题难度较大，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
14．（1）y＝﹣；（2）点P（0，﹣1）或（﹣2﹣2，﹣1）或（﹣，﹣1）；（3）存在，点Q（﹣）．
【分析】（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）2，将点M的坐标代入上式，即可求解；
（2）分AC是平行四边形的一条边、AC是平行四边形对角线两种情况，分别求解即可；
（3）作点M关于直线AC的对称轴M′，连接BM′交直线AC于点P，则点P为所求，即可求解．
【详解】解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）2，
将点M的坐标代入上式得：＝a（﹣2+1）2，解得：a＝﹣，
故抛物线的表达式为：y＝﹣；
（2）设点Q（m，n），则n＝﹣m2﹣m+，点P（s，﹣1），
①当AC是平行四边形的一条边时，
点C向下平移个单位得到A，
同样，点Q（P）向下平移个单位得到P（Q），
故：m﹣＝s，n+1＝﹣1，或m+＝s，n﹣1＝﹣1，且n＝﹣m2﹣m+，
解得：m＝或﹣2﹣或1或3（舍去1），
故s＝0或﹣2﹣2或﹣，
故点P（0，﹣1）或（﹣2﹣2，﹣1）或（﹣，﹣1）；
②当AC是平行四边形对角线时，
1＝m+s，＝n﹣1，解得：方程无解；
综上，故点P（0，﹣1）或（﹣2﹣2，﹣1）或（﹣，﹣1）；
（3）作点M关于直线AC的对称轴M′，连接BM′交直线AC于点P，则点P为所求，
连接MC，∵点M、C的纵坐标相同，故CM∥x轴，过点M′作MC的垂线交MC的延长线于点H，连接CM′，
直线AC的倾斜角为60°，则∠OCA＝∠CMM′＝30°＝∠CM′M，则CM＝2＝CM′，
则∠M′CH＝60°，故CH＝CM′＝1，则M′H＝，故点M′为（1，2）；
将点A、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b并解得：
直线AC的表达式为：y＝﹣x+；
同理直线BM′的表达式为：y＝x+；
联立AC、BM′的函数表达式并解得：x＝﹣ ，
故点Q（﹣）．
【点睛】本题为二次函数综合题，难度大，属于中考必考压轴题，熟练掌握待定系数法求函数解析式、平行四边形的性质以及最值问题是解题关键，注意分类讨论思想的运用.
15．（1）；（2）点E的坐标是（2，3）时，△BEC的面积最大，最大面积是3；（3）P的坐标是（﹣3，）、（5，）、（﹣1，）．
【详解】解：（1）∵直线y=﹣x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，
∴点B的坐标是（0，3），点C的坐标是（4，0），
∵抛物线y=ax2+x+c经过B、C两点，
∴，解得，
∴y=﹣x2+x+3．
（2）如图1，过点E作y轴的平行线EF交直线BC于点M，EF交x轴于点F，
∵点E是直线BC上方抛物线上的一动点，
∴设点E的坐标是（x，﹣x2+x+3），则点M的坐标是（x，﹣x+3），
∴EM=﹣x2+x+3﹣（﹣x+3）=﹣x2+x，
∴S△BEC=S△BEM+S△MEC==×（﹣x2+x）×4=﹣x2+3x=﹣（x﹣2）2+3，
∴当x=2时，即点E的坐标是（2，3）时，△BEC的面积最大，最大面积是3．
（3）在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形．
①如图2，
由（2），可得点M的横坐标是2，
∵点M在直线y=﹣x+3上，
∴点M的坐标是（2，），
又∵点A的坐标是（﹣2，0），
∴AM=，
∴AM所在的直线的斜率是：；
∵y=﹣x2+x+3的对称轴是x=1，
∴设点Q的坐标是（1，m），点P的坐标是（x，﹣x2+x+3），
则
解得或，
∵x＜0，
∴点P的坐标是（﹣3，﹣）．
②如图3，
由（2），可得点M的横坐标是2，
∵点M在直线y=﹣x+3上，
∴点M的坐标是（2，），
又∵点A的坐标是（﹣2，0），∴AM=，
∴AM所在的直线的斜率是：；
∵y=﹣x2+x+3的对称轴是x=1，
∴设点Q的坐标是（1，m），点P的坐标是（x，﹣x2+x+3），则，
解得或，
∵x＞0，
∴点P的坐标是（5，﹣）．
③如图4，
由（2），可得点M的横坐标是2，
∵点M在直线y=﹣x+3上，
∴点M的坐标是（2，），
又∵点A的坐标是（﹣2，0），
∴AM=，
∵y=﹣x2+x+3的对称轴是x=1，
∴设点Q的坐标是（1，m），点P的坐标是（x，﹣x2+x+3），
则
解得，
∴点P的坐标是（﹣1，）．
综上，可得在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标是（﹣3，﹣）、（5，﹣）、（﹣1，）．
【点睛】本题考查二次函数综合题．
16．（1）（2）（）．（3）符合条件的点N的坐标为（4，﹣），（2+，）或（2﹣，）．
【详解】试题分析：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），再把A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点代入求出a、b、c的值即可；
（2）因为点A关于对称轴对称的点A的坐标为（5，0），连接BC交对称轴直线于点P，求出P点坐标即可；
（3）分点N在x轴下方或上方两种情况进行讨论．
试题解析：解：（1）设抛物线的解析式为，
∵抛物线经过（），（），（）三点，
解得
∴所求抛物线的解析式为
（2）如图，连结，
则与对称轴的交点就是所求的点．
设直线的解析式为，
∵（），（），
解得
∴直线的解析式为
∵抛物线的对称轴为直线
把代入中，得，
∴（）．
（3）存在， ．
①当点N在x轴下方时，
∵抛物线的对称轴为直线x=2，C（0，﹣），
∴N1（4，﹣）；
②当点N在x轴上方时，
如图，过点N作ND⊥x轴于点D，
在△AND与△MCO中，
∴△AND≌△MCO（ASA），
∴ND=OC=，即N点的纵坐标为．
∴x2﹣2x﹣=，
解得x=2+或x=2﹣，
∴N2（2+，），N3（2﹣，）．
综上所述，符合条件的点N的坐标为（4，﹣），（2+，）或（2﹣，）．
考点：二次函数综合题
17．（1）1；（2）y=-x2+x+1；（3）-．
【详解】试题分析：（1）根据已知得到抛物线对称轴为直线x=，代入即可求出b；
（2）设所求抛物线解析式为y=ax2+bx+1，由对称性可知抛物线经过点B（2，1）和点M（，2），把B、M的坐标代入得到方程组，求出a、b的值即可得到抛物线解析式；
（3）当n=3时，OC=1，BC=3，设所求抛物线解析式为y=ax2+bx，过C作CD⊥OB于点D，则Rt△OCD∽Rt△OBC，得出，设OD=t，则CD=3t，根据勾股定理OD2+CD2=OC2，求出t，得出C的坐标，把B、C坐标代入抛物线解析式即可得到方程组，求出a即可．
试题解析：（1）∵抛物线过矩形顶点B、C，其中C（0，1），B（n，1）
∴当n=1时，抛物线对称轴为直线x=，
∴-，
∵a=-1，
∴b=1，
答：b的值是1．
（2）设所求抛物线解析式为y=ax2+bx+1，
由对称性可知抛物线经过点B（2，1）和点M（，2），
则，
解得
∴所求抛物线解析式为y=-x2+x+1，
答：此时抛物线的解析式是y=-x2+x+1
（3）当n=3时，OC=1，BC=3，
设所求抛物线解析式为y=ax2+bx，
过C作CD⊥OB于点D，
则Rt△OCD∽Rt△OBC，
∴，
设OD=t，则CD=3t，
∵OD2+CD2=OC2，
∴（3t）2+t2=12，
∴t=，
∴C（，），
又∵B（，0），
∴把B、C坐标代入抛物线解析式，得，
解得：a=-，
答：a的值是-．
考点：二次函数综合题
18．（1）y=x2﹣4x+；（2）S=﹣x2+20x﹣（1＜x＜5），S的最大值为；（3）存在，E（，﹣），F（，）．
【分析】（1）由抛物线经过点A（1，0），B（5，0），C（0，）三点，利用待定系数法求二次函数的解析式；
（2）由点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，可得y＜0，即﹣y＞0，﹣y表示点E到OA的距离，又由S=2S△OBE=2××OB |y|，即可求得平行四边形OEBF的面积S与x之间的函数关系式，结合图象，求得自变量x的取值范围；
（3）由当OB⊥EF，且OB=EF时，平行四边形OEBF是正方形，可得此时点E坐标只能（，﹣），而坐标为（，﹣）点在抛物线上，故可判定存在点E，使平行四边形OEBF为正方形．
【详解】解：（1）设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
∵抛物线经过点A（1，0），B（5，0），C（0，）三点，则由题意可得：
，解得．
∴所求抛物线的解析式为：y=x2﹣4x+；
（2）∵点E（x，y）是抛物线上一动点，且在x轴下方，
∴y＜0，
即﹣y＞0，﹣y表示点E到OA的距离．
∵OB是平行四边形OEBF的对角线，
∴S=2S△OBE=2×OB |y|=﹣5y=﹣5（x2﹣4x+）=﹣x2+20x﹣，
∵S=﹣（x﹣3）2+
∴S与x之间的函数关系式为：S=﹣x2+20x﹣（1＜x＜5），S的最大值为；
（3）∵当OB⊥EF，且OB=EF时，平行四边形OEBF是正方形，
∴此时点E坐标只能（，﹣），而坐标为（，﹣）点在抛物线上，
∴存在点E（，﹣），使平行四边形OEBF为正方形，
此时点F坐标为（，）．
【点睛】本题考查二次函数综合题，熟练掌握二次函数的性质是解决问题的关键．
19．（1）抛物线的函数表达式为y=x2﹣4x+3．（2）△APC周长的最小值3+．（3）D的坐标可以为：（2，﹣1）、（0，3）、（4，3）．
【详解】试题分析：（1）由AB=2，抛物线的对称轴为x=2，得知抛物线与x轴交点为（1，0）、（3，0），即1、3为方程x2+bx+c=0的两个根，结合跟与系数的关系可求得b、c；
（2）由抛物线的对称性，可得出PA+PC最短时，P点为线段BC与对称轴的交点，由此可得出结论；
（3）平行四边形分两种情况，一种AB为对角线，由平行四边形对角线的性质可求出D点坐标；另一种，AB为一条边，根据对比相等，亦能求出D点的坐标．
试题解析：（1）∵AB=2，对称轴为直线x=2，
∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（3，0），
∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A，B，
∴1，3是方程x2+bx+c=0的两个根，
由根与系数的关系，得1+3=﹣b，1×3=c，
∴b=﹣4，c=3，
∴抛物线的函数表达式为y=x2﹣4x+3．
（2）连接AC，BC，BC交对称轴于点P，连接PA，如图1，
由（1）知抛物线的函数表达式为y=x2﹣4x+3，点A，B的坐标分别为（1，0），（3，0），
∴点C的坐标为（0，3），
∴BC==3，AC==．
∵点A，B关于对称轴直线x=2对称，
∴PA=PB，
∴PA+PC=PB+PC，此时，PB+PC=BC，
∴当点P在对称轴上运动时，PA+PC的最小值等于BC，
∴△APC周长的最小值=AC+AP+PC=BC+AC=3+．
（3）以点A、B、D、E为顶点的四边形是平行四边形分两种情况，
①线段AB为对角线，如图2，
∵平行四边对角线互相平分，
∴DE在对称轴上，此时D点为抛物线的顶点，
将x=2代入y=x2﹣4x+3中，得y=﹣1，
即点D坐标为（2，﹣1）．
②线段AB为边，如图3，
∵四边形ABDE为平行四边形，
∴ED=AB=2，
设点E坐标为（2，m），则点D坐标为（4，m）或（0，m），
∵点D在抛物线上，
将x=0和x=4分别代入y=x2﹣4x+3中，解得m均为3，
故点D的坐标为（4，3）或（0，3）．
综合①②得点D的坐标可以为：（2，﹣1）、（0，3）、（4，3）．
考点：1、二次函数的综合运用，2、行四边形的性质，3、抛物线的对称性
20．（1）；（2）当m=1，△BCD面积最大为，此时D点为（1，3）；（3）存在，点N的坐标为：（0，3）或（，﹣3）或（，﹣3）
【分析】（1）由抛物线交点式表达式得：y=a（x+1）（x﹣2），将（0，3）代入上式，即可求解；
（2）过点D作y轴的平行线交直线BC与点H，由S△BDC=S△DHC+S△HDB=HD×OB，即可求解；
（3）分BD是平行四边形的一条边、BD是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可．
【详解】解：（1）由抛物线交点式表达式得：y=a（x+1）（x﹣2），
将（0，3）代入上式得：﹣2a=3，解得：a=，
故抛物线的表达式为：；
（2）点C（0，3），B（2，0），
设直线BC的表达式为：y=kx+n，则，解得：，
故直线BC的表达式为：，
如图所示，过点D作y轴的平行线交直线BC与点H，
设点D（m，），则点H（m，m+3），
S△BDC=S△DHC+S△HDB=HD×OB=，
∵﹣＜0，故△BCD的面积有最大值，
当m=1，△BCD面积最大为，此时D点为（1，3）；
（3）m=1时，D点为（1，3），
①当BD是平行四边形的一条边时，
设点N（n，），
则点N的纵坐标为绝对值为3，
即，
解得：n=0或1（舍去）或，
故点N的坐标为（0，3）或（，﹣3）或（，﹣3），
②当BD是平行四边形的对角线时，
设点M（z，0），点N（s，t），
由中点坐标公式得：，解得t=3，
而，解得s=0或s=1（舍去），
N的坐标为（0，3）；
综上，点N的坐标为：（0，3）或（，﹣3）或（，﹣3）．
【点睛】本题考查二次函数综合，求二次函数解析式，求一次函数解析式．（1）中掌握待定系数法求二次函数解析式的方法是解题关键；（2）中掌握“割补法”求图形面积是解题关键；（3）中能分类讨论是解题关键．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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