2024-2025年人教版九年级上册数学期末专题提升训练23：二次函数的对称问题（含解析）

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专题23：二次函数的对称问题--2024-2025年人教版九年级上册数学期末专题提升
一、单选题
1．若抛物线经过，，则它的对称轴为（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
2．已知在函数上有点，点，则关于的大小判断正确的是（ ）
A． B． C． D．无法确定
3．抛物线（，a，b，c为常数）中，y与x的部分对应值如表：
x … 1 3 4 5 7 …
y … 4 5 4 …
下列结论中，正确的是（）
A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴是直线
C．当时，y随x的增大而减小 D．抛物线的顶点坐标为
4．二次函数的图象的对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
5．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为（ ）
A． B． C． D．
6．如图是二次函数图象的一部分，且过点，二次函数图象的对称轴是直线，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．已知二次函数的自变量x与函数y的部分对应值列表如下：
… 0 1 2 …
… 0 5 …
下列说法：①；②函数图象的顶点坐标是；③函数图象与x轴的交点坐标是；④若，是函数图象上两点，则，其中说法正确的有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
8．已知二次函数，则关于该函数的下列说法正确的是（ ）
A．该函数图象与轴的交点坐标是
B．当时，的值随值的增大而减小
C．当取1和3时，所得到的的值相同
D．将的图象先向左平移2个单位，再向上平移5个单位得到该函数图象
二、填空题
9．已知二次函数的x、y部分对应值如下表，则该二次函数图象的对称轴为 ．
x 0 1 2
y 4 2 4 7 12
10．若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（用“<”连接） ．
11．已知，抛物线上的两点，关于它的对称轴对称，若点的坐标为，则点的坐标为 ．
12．已知拋物线经过点，那么点A关于对称轴对称的点B坐标为 ．
13．若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系 （用“＜”连接）．
14．抛物线与轴的一个交点坐标为，对称轴是直线，其部分图象如图所示，则此抛物线与轴的另一个交点坐标为 ．
15．若两点均在抛物线上，则 ．
16．如图是拋物线的部分图象，对称轴为直线，与轴的交点，且，则关于的一元二次方程的整数解的和为 ．
三、解答题
17．抛物线与x轴的公共点是，．
(1)求这条抛物线的对称轴；
(2)求的值．
18．已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：

(1)写出这个二次函数图象的顶点坐标为________，对称轴为________，最小值为________；
(2) ____________；
(3)求这个二次函数的解析式．
19．如图，二次函数的图像过，且顶点为，解答完成下列问题：
(1)当时，y随x增大而________（填“增大”或“减小”）；
(2)当时，y的取值范围是________；
(3)方程的两个根是________．
20．如图，已知二次函数的图象经过点．
(1)求a的值及图象的顶点坐标；
(2)点在该二次函数的图象上
①当时，求n的值：
②若点Q到x轴的距离小于3，请根据图象直接写出m的取值范围．
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参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C C D A C D C
1．C
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数图象的对称性，即可求解．
【详解】解：抛物线经过，，
∴对称轴为直线
故选：C．
2．C
【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握;根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线，根据点，点关于直线对称，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴图象的开口向上，对称轴是直线，
∵点，点关于直线对称，
∴；
故选：C．
3．C
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是读懂表格掌握二次函数的图象和性质．根据当时和当时的函数值相同，可得对称轴是直线，进而根据表格数据可得顶点坐标为，再由对称轴处的函数值大于其他位置的函数值可知抛物线开口向下，则当时，随的增大而减小，据此可得答案．
【详解】解：由图表函数值相等可知：对称轴为直线，
顶点坐标为，
当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，
该抛物线有最大值，即抛物线开口向下，当时，y随x的增大而减小，
四个选项中，只有C选项说法正确，符合题意；
故选：C．
4．D
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由交点式得到函数图象与x轴的交点坐标，然后利用对称性即可得到函数图象的对称轴．
【详解】解：，
令，则或，
函数图象与x轴的交点坐标为，，
函数图象的对称轴为直线，
故选：D．
5．A
【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，先根据对称性求出二次函数与与x轴的另一个交点坐标为，再根据二次函数与x轴两个交点的横坐标即为二次函数对应的一元二次方程的两个解即可得到答案．
【详解】解：由函数图象可知，二次函数的对称轴为直线，且与x轴的一个交点坐标为，
∴二次函数与与x轴的另一个交点坐标为，
∴关于的一元二次方程的解为，
故选：A．
6．C
【分析】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解答本题的关键．根据二次函数的图像与性质逐项进行判断即可．
【详解】解：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴，即，故选项A错误；
∵抛物线开口向上，
∴，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴，
∴，故选项B错误；
∵二次函数图象的对称轴是直线，
∴，
∴，
∴，故选项C正确；
∵二次函数图象过点，对称轴是直线，
∴二次函数图象过点，
∴，故选项D错误；
故选：C．
7．D
【分析】本题主要查了二次函数的图象和性质．先求出抛物线的对称轴为直线，可得抛物线的顶点坐标为，可判断①②；再由函数图象与x轴的一个交点坐标是，可得函数图象与x轴的另一个交点坐标，可判断③，；根据二次函数的性质可判断④．
【详解】解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴抛物线的顶点坐标为，即函数有最小值，
∴抛物线开口向上，
∴，故①②正确；
∵函数图象与x轴的一个交点坐标是，
∴函数图象与x轴的另一个交点坐标是，
即函数图象与x轴的交点坐标是故③正确；
∵，，是函数图象上两点，
∴，故④正确．
故选：D
8．C
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；因此此题根据二次函数解析式可得开口向上，对称轴为直线，然后根据二次函数的性质及图象的平移可进行求解．
【详解】解：A、当时，则有，所以该函数图象与y轴的交点坐标为；故原说法错误；
B、由二次函数解析式可知：对称轴为直线，开口向上，所以当时，的值随值的增大而增大；故原说法错误；
C、因为二次函数的对称轴为直线，且，所以当取1和3时，所得到的的值相同，故原说法正确；
D、该二次函数是由的图象先向右平移2个单位，再向上平移5个单位得到该函数图象，故原说法错误；
故选C．
9．直线
【分析】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，比较简单．
由于时的函数值相等，然后根据二次函数的对称性列式计算即可得解．
【详解】解∶和2时的函数值都是4，
对称轴为直线，
故答案为∶直线．
10．
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质，把在抛物线对称轴两侧的点全部转化到对称轴的一侧是解题的关键；确定出抛物线的对称轴为直线，求出点A关于对称轴对称的点的坐标，利用二次函数的增减性质即可确定函数值的大小关系．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴点A关于对称轴对称的点的坐标为，
∵二次函数的二次项系数为正数，
∴当时，函数值y随自变量x的增大而增大，
∵，
∴；
故答案为：．
11．
【分析】本题主要考查了二次函数的性质．根据对称轴为直线，点P的坐标为，利用点P和点Q关于直线对称，即可求得点Q的坐标．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，点P的坐标为，
设点，
∴点P和点Q关于直线对称，
∴，
解得：，
∴点Q的坐标为：，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
由题意知，对称轴为直线，则点A关于对称轴对称的点B坐标为．
【详解】解：∵，
∴对称轴为直线，
∴点A关于对称轴对称的点B坐标为，
故答案为：．
13．
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键．将二次函数解析式化为顶点式，得出二次函数的对称轴为直线，抛物线开口向上，再由时，随的增大而增大，即可得出，，的大小关系．
【详解】二次函数，
二次函数的对称轴为直线，
且，
二次函数的图像，抛物线开口向上，
当时，随的增大而增大，
又由与3关于对称轴对称，
可得当时，，
，
，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了二次函数的对称性，解题关键是明确二次函数的对称性，根据关于对称轴对称点的坐标特征解答．根据对称性可直接求出坐标．
【详解】解：设抛物线与轴的另一个交点坐标为，
∵抛物线对称轴是直线，
∴抛物线与轴的两个交点关于直线对称，
∴，
解得：，
∴抛物线与轴的另一个交点坐标为，
故答案为：．
15．2
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，抛物线上两个不同点，，若有，则，两点是关于抛物线对称轴对称的点，且这时抛物线的对称轴是直线：．
【详解】解：∵点的纵坐标相等，
∴点关于对称轴对称，
∵对称轴是直线，
∴．
故答案为：2．
16．
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数与一元二次方程的关系，及二次函数图象的对称性．判断出抛物线与轴的另一个交点的坐标，方程的解是抛物线与轴的交点的横坐标，据此即可求解．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，与轴的交点，且，
∴另一个交点的坐标为，且，
将抛物线向左平移个单位得，则抛物线与轴的交点在与和与之间，
∴关于的一元二次方程的整数解为，，
∴整数解的和为，
故答案为：．
17．(1)
(2)
【分析】本题主要考查抛物线的对称性，待定系数法求函数解析式，关键在于理解二次函数的性质．
（1）根据二次函数的抛物线的对称性，可得二次函数与x轴的交点是关于抛物线的对称轴对称的，利用两个交点的坐标，求出中点，即可求出对称轴；
（2）由题意可设抛物线为，进而求得，，即可求解．
【详解】（1）解：由抛物线的对称性可知，，关于对称轴对称，
∴抛物线的对称轴是直线．
（2）抛物线与x轴的公共点是，，
可设抛物线为．
．
，．
的值为．
18．(1)，，
(2)25
(3)
【分析】本题考查二次函数的图象和性质：
（1）由二次函数的对称性求出对称轴，进而得到顶点坐标及最小值；
（2）由二次函数的对称性可得y的值；
（3）根据顶点坐标设出顶点式，将代入，可得解析式．
【详解】（1）解：由表格数据可知，和为抛物线上的对称点，
因此对称轴为直线，顶点坐标为，最小值为，
故答案为：，，
（2）解：由题意知和为对称点，
因此，
故答案为：25；
（3）解：顶点坐标为，
设抛物线的解析式为，
将代入，得：，
解得，
这个二次函数的解析式为．
19．(1)减小
(2)
(3)，
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程等知识，熟悉二次函数的图象与性质是关键．
（1）由顶点坐标设二次函数解析式为顶点式，再把点坐标代入即可求出函数解析式；由顶点坐标及函数增减性质即可完成；
（2）由抛物线对称性可求得抛物线与x轴的另一个交点坐标，结合二次函数的图象与性质即可求解；
（3）考虑二次函数与直线的交点横坐标，即可求得方程的解．
【详解】（1）解：∵二次函数顶点为，
∴设，
∵图像过，
∴，
即，
∴，抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴当时，y随x增大而减小；
故答案为：减小；
（2）解：∵抛物线对称轴为直线，与x轴一个交点为，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为，
∵抛物线开口向上，函数取得最小值，
∴当时，y的取值范围是；
故答案为：；
（3）解：对于，当时，，
即抛物线与y轴的交点坐标为；
由抛物线对称性知，关于对称轴的对称点坐标为；
对于方程的解，就是二次函数与直线的交点横坐标，
而二次函数与直线的交点为与，
∴方程的解为，；
故答案为：，．
20．(1)，顶点坐标为
(2)
【分析】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．
（1）把点代入求解，然后化成顶点式即可求解；
（2）①把代入（1）中解析式求解n即可；
②点Q到x轴的距离小于3，利用抛物线对称性质求解即可．
【详解】（1）解：把点代入中，
即
解得：，
∴，
∴顶点坐标为；
（2）解：①当时，，
②点Q到x轴的距离小于3，且，顶点坐标为，
∴与点P关于对称轴直线对称的点的横坐标为：0，
则m的取值范围为．
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