2024-2025学年贵州省县中新学校计划项目高二上学期期中联考数学试卷（PDF版，含答案）

2024-2025 学年贵州省县中新学校计划项目高二上学期期中联考数学
试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线 经过点 ( 3,0)， ( 2,3)，则直线 的斜率为( )
1 1
A. 3 B. C. 3 D.
3 3
2.已知集合 = { | = 2 , ∈ }， = { | = 4 + 2, ∈ }，则“ ∈ ”是“ ∈ ”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知数据 1， 2，…， 20的极差为4，方差为2，则数据3 1 + 5，3 2 + 5，…，3 20 + 5的极差和方差分
别是( )
A. 4，2 B. 4，18 C. 12，2 D. 12，18
4.在正方体 1 1 1 1中，直线 1与平面 1 1所成角的正切值为( )
√ 3 √ 3 1
A. B. C. D. √ 3
2 3 2
5.已知函数 ( ) = + ， ( ) = ln + ， ( ) = 3 + 的零点分别为 ， ， ，则( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
6.已知点 (1,0,1)， (3,1,2)， (2,0,3)，则 在 上的投影向量为( )
4 8 8 4 2 2 4 4 2 2
A. ( , 0, ) B. ( , 0, ) C. ( , , ) D. ( , , )
5 5 5 5 3 3 3 3 3 3
7.若直线 + = 1与圆 2 + 2 = 1有交点，则( )
A. 2 + 2 ≥ 1 B. 2 + 2 ≤ 1 C. 2 + 2 > 1 D. 2 + 2 < 1
8.已知实数 ， 满足 2 + 2 4 2 4 = 0，则2 的最大值为( )
3√ 5
A. 3 + B. 3 + √ 5 C. 3 + 3√ 5 D. 12
5
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中的真命题是( )
A. 若直线 不在平面 内，则 //
B. 若直线 上有无数个点不在平面 内，则 //
C. 若 // ，则直线 与平面 内任何一条直线都没有公共点
D. 平行于同一平面的两直线可以相交
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2 3
10.甲、乙两人各投篮1次，已知甲命中的概率为 ，乙命中的概率为 ，且他们是否命中相互独立，则( )
3 5
1 7
A. 恰好有1人命中的概率为 B. 恰好有1人命中的概率为
2 15
2 13
C. 至多有1人命中 概率为 D. 至少有1人命中的概率为
5 15
11.“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创词汇，定义如下：在直角坐标平面上任意两点
( 1, 1)， ( 2, 2)的曼哈顿距离为： ( , ) = | 1 2| + | 1 2|.在此定义下以下结论正确的是( )
A. 已知点 1( 1,0)， 2(1,0)，满足 ( 1, 2) = 2
B. 已知点 (0,0)，满足 ( , ) = 1的点 轨迹围成的图形面积为2
C. 已知点 1( 1,0)， 2(1,0)，不存在动点 满足方程：| ( , 1) ( , 2)| = 1
√ 5
D. 已知点 在圆 : 2 + 2 = 1上，点 在直线 : 2 + 6 = 0上，则 ( 、 )的最小值为3
2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知 是虚数单位，则复数 = (√ 3 + ) (√ 3 5 )的虚部是 ．
13.若向量 = + + ，则称( , , )为 在基底{ , , }下的坐标．已知向量 在单位正交基底
{ , , }下的坐标为(3,1,3)，则 在基底{ , + , }下的坐标为 ．
14.已知某三棱台的高为2√ 5，上、下底面分别为边长为4√ 3和6√ 3的正三角形，若该三棱台的各顶点都在
球 的球面上，则球 的表面积为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知函数 ( ) = (2 + )， ( ) = (2 )( > 0, ≠ 1)， ( ) = ( ) ( )．
(1)求函数 ( )的定义域 ；
(2)实数 ∈ ，且 ( ) = 2，求 ( )的值．
16.(本小题12分)
记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知向量 = (sin , 1)， = (√ 3, cos 2)，其中 ⊥ ，
= 2．
(1)求角 ；
(2)若 是锐角三角形，求 的周长的取值范围．
17.(本小题12分)
设圆 的半径为 ，圆心 是直线 = 2 4与直线 = 1的交点．
(1)若圆 过原点 ，求圆 的方程；
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(2)已知点 (0,3)，若圆 上存在点 ，使| | = 2| |，求 的取值范围．
18.(本小题12分)
1
如图，在直三棱柱 1 1 1中， = = 1 = 1， ⊥ ， 为 1 上的动点， 为棱 1 的中2
点．
(1)设平面 1 ∩平面 = ，若 为 1 的中点，求证： // ；
(2)设 = 1，问线段 1 上是否存在点 ，使得 ⊥平面 1 ？若存在，求出实数 的值；若不存在，
请说明理由．
19.(本小题12分)
材料：我们把经过两条直线 1： 1 + 1 + 1 = 0， 2： 2 + 2 + 2 = 0( 1 2 ≠ 2 1)的交点的直线
方程叫做共点直线系方程，其交点称作共点直线系方程的“共点”，共点直线系方程也可表示为： 1 +
1 + 1 + ( 2 + 2 + 2) = 0(其中 ∈ ，且该方程不表示 2).
问题：已知圆 ： 2 + 2 2 + 4 3 = 0.求：
(1)求共点直线系方程3 + + 3 + (2 + 3) = 0( ∈ )的“共点” 的坐标；
(2)设点 为第(1)问中的“共点”，点 为圆 上一动点，求| |的取值范围；
|3 + +3| |2 +3|
(3)若有唯一一组非零实数对( , )满足关于实数 的方程： = = .设过点 ( , 2)的直线
√ 2 2 √ 2 2 + +
与圆 相交于 ， 两点，当| |取得最小值时，求直线 的方程．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】 4√ 3
13.【答案】(1,2,3)
14.【答案】144
15.【答案】(1)
由题意， ( ) = ( ) ( ) = (2 + ) (2 )，
2 + > 0
由{ ，解得 2 < < 2，
2 > 0
则函数 ( )的定义域为 = ( 2,2)．
(2)
由(1)知， ( ) = (2 + ) (2 )，
又 ∈ ( 2,2)，则 ∈ ( 2,2)，
则 ( ) = (2 + ) (2 ) = 2，
所以 ( ) = (2 ) (2 + ) = 2
16.【答案】(1)
因为 ⊥ ，所以 = 0，

所以√ 3sin + cos 2 = 0 2sin ( + ) = 2，
6

又 为三角形内角，所以 + = = ．
6 2 3
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(2)
2 4√ 3
由正弦定理： = = = = ，
sin sin sin sin 3
3
4√ 3 4√ 3
所以 = sin ， = sin ．
3 3
2
又 是锐角三角形，且 = ，所以 + = ，且 ∈ ( , )．
3 3 6 2
4√ 3 4√ 3 2 4√ 3 3 √ 3
所以 + = (sin + sin ) = [sin ( ) + sin ] = ( sin + cos ) = 4sin ( + )．
3 3 3 3 2 2 6
2 √ 3
因为 ∈ ( , )，所以 + ∈ ( , )，所以sin ( + ) ∈ ( , 1],
6 2 6 3 3 6 2
所以 + ∈ (2√ 3, 4]，所以 的周长： + + ∈ (2 + 2√ 3, 6]．
17.【答案】解：(1)根据题意，圆心 是直线 = 2 4与直线 = 1的交点，
= 2 4 = 3
则{ ，解可得{ ，即圆心的坐标为(3,2)，
= 1 = 2
若圆 经过原点，则其半径 = | | = √ 9 + 4 = √ 13，
故圆 的方程为( 3)2 + ( 2)2 = 13，
(2)设点 ( , )， (0,3)，
由| | = 2| |，即 2 + ( 3)2 = 4 2 + 4 2，
化简得： 2 + ( + 1)2 = 4，
则点 的轨迹为以(0, 1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆 ，
又点 在圆 上，则圆 与圆 的关系为相交或相切，
又由| | = √ 9 + 9 = 3√ 2，
则有| 2| ≤ 3√ 2 ≤ + 2，解可得：3√ 2 2 ≤ ≤ 3√ 2 + 2，
即 的取值范围为[3√ 2 2,3√ 2 + 2]．
18.【答案】(1)
证明：设 的中点为 ，连接 , , ，
因为 为 1 的中点， 为 1 的中点，
1 1
所以 // 1 ， = 1 ， = 1 ， 2 2
在直三棱柱 1 1 1中， 1 // 1 ， 1 = 1 ，
所以 1 // ，且 1 = ，
所以四边形 为平行四边形，
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则 // ，又 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ，
又平面 1 ∩平面 = ， 平面 1 ，
所以 // ．
(2)
在直三棱柱 1 1 1中， 1 ⊥平面 ， ⊥ ，
故可以 为原点，以 , , 1所在直线分别为 , , 轴建立空间直角坐标系，
1
因为 = = 1 = 1， 2
所以 (1,0,0), (0,0,1), 1(0,1,2), (0,1,0)，
则 1 = ( 1,1,2), 1 = (0, 1, 1)， = (1, 1,0)，
又 = 1 (0 ≤ ≤ 1)，则 = ( , , 2 )，
所以 = + = (1 , 1,2 )，

若 ⊥平面 ，则{ 1
= 0
1 ,
1 = 0
(1 ) + 1 + 4 = 0 1
则{ ，解得 = ，
( 1) 2 = 0 3
1
所以线段 1 上存在点 ，使得 ⊥平面 1 ，此时 = ． 3
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19.【答案】(1)
6
3 + + 3 = 0 =
由{ { 5．
2 + 3 = 0 3 =
5
6 3
所以“共点” 的坐标为：( , )
5 5
(2)
圆 ：( 1)2 + ( + 2)2 = 8，所以圆心 (1, 2)，半径2√ 2，
6 2 3 2 290
由| |2 = ( 1) + ( + 2) = > 8，
5 5 25
所以点 在圆 外.
√ 290 √ 290
所以| | ∈ [ 2√ 2, + 2√ 2]．
5 5
(3)
|3 + +3| |2 +3|
由 = 得：点 (3,1)和 (2, 1)到直线 + + 3 = 0的距离相等．
√ 2 2 2+ √ 2+
所以直线 + + 3 = 0过 的中点或与直线 平行或重合，又非零实数对( , )唯一存在，所以 +
+ 3 = 0就是直线 ．
所以 = 0．
因为：(0 1)2 + ( 2 + 2)2 < 8，所以点 在圆 内.
因为 = 0，所以当| |最小时，直线 的方程为： = 0．
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