2024-2025学年江苏省西安交通大学苏州附属中学高一上学期期中数学试题（含答案）

2024-2025 学年江苏省西交大附中高一上学期期中数学试题
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设 = {1,2,4,6,8}， = {1,2,4}， = {2,4,6}，则下列结论中正确的是( )
A. B.
C. ∩ = {2} D. ∩ ( ) = {1}
2 + 1, 1,
2.已知函数 ( ) = {1 则 ( ( 1)) =( )
, > 1,

1
A. 2 B. C. 1 D. 1
2
2
3.幂函数 ( ) = ( 2 1) 2 2在(0,+∞)上递增，则实数 =( )
A. 2 B. 1 C. 2 D. 2或 1
( +1)
4.已知 ( ) = √ + 1 + √ 3 ，则函数 ( ) = 的定义域是( )
1
A. [ 2,1) ∪ (1,2] B. [0,1) ∪ (1,4] C. [0,1) ∪ (1,2] D. [ 1,1) ∪ (1,3]
1 4
5.若两个正实数 ， 满足 + = 2，且不等式 + < 2 有解，则实数 的取值范围是( )
4
A. ( 1,2) B. ( ∞, 2) ∪ (1,+∞)
C. ( 2,1) D. ( ∞, 1) ∪ (2,+∞)
6.若定义在 上的偶函数 ( )在区间[0,+∞)上单调递增，且 (3) = 0，则满足( 2 9) ( 2) ≤ 0的 的取
值范围为( )
A. [ 3, 1] ∪ [3,5] B. ( ∞, 1] ∪ [3,5] C. [ 1,0] ∪ [3,5] D. [1,3] ∪ ( ∞, 5]
20222+1 20232+1 20242+1
7.设 = , = , = 则( )
2021×2023 2022×2024 2023×2025
A. > > B. > > C. > > D. > >
(1 2 ) + 3 , < 1,
8.已知函数 ( ) = { 1 的值域为 ，那么 的取值范围是 ( )
, ≥ 1

1 1
A. ( ∞, 1] B. ( 1, ) C. [ 1, ) D. (0,1)
2 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列几种说法中，正确的是( )
A. “ > ”是“ 2 > 2”的充分不必要条件
B. 命题“ ∈ ， 2 > 0”的否定是“ 20 ∈ ， 0 ≤ 0”
第 1 页，共 7 页
C. 若不等式 2 + < 0的解集是( 2,3)，则 2 + > 0的解集是( 3,2)
3
D. “ ∈ ( 3,0)”是“不等式2 2 + < 0对一切 都成立”的充要条件
8
10.图①是某大型游乐场的游客人数 (万人)与收支差额 (万元)(门票销售额减去投入的成本费用)的函数图
象，销售初期该游乐场为亏损状态，为了实现扭亏为盈，游乐场采取了两种措施，图②和图③中的虚线为
采取了两种措施后的图象，则下列说法正确的是( )
A. 图①中点 的实际意义表示该游乐场的投入的成本费用为1万元
B. 图①中点 的实际意义表示当游客人数为1.5万人时，该游乐场的收支恰好平衡
C. 图②游乐场实行的措施是降低门票的售价
D. 图③游乐场实行的措施是减少投入的成本费用
+ 2, < 1
11.已知 ( ) = { (常数 ≠ 0)，则( )
+ + 2, ≥ 1

A. 当 > 0时， ( )在 上是减函数
1
B. 当 > 时， ( )没有最小值
2
C. 当 = 1时， ( )的值域为[0,1) ∪ (1,+∞)
D. 当 = 3时， 1 ≥ 1, 2 < 1，有 ( 1) + ( 2) = 0
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
1
12.不等式 > 2的解集为 ．

13.已知 > 0, > 0且满足3 + = 2 + ，则2 + 的最小值为

14.若函数 ( ) = |√ + |在区间(1, 2)上存在最小值，则实数 的取值范围是 ．
√
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知集合 = { |4 ≤ ≤ 6}， = { |1 < < 5}， = { |2 3 ≤ ≤ + 1}．
(1)求 ∪ ，( ) ∩ ；
第 2 页，共 7 页
(2)若“ ∈ ”是“ ∈ ”的必要不充分条件，求实数 的取值范围．
16.(本小题12分)
+ 1
已知函数 ( ) = 2 ( ∈ [ 1,1])是奇函数， ( ) =
2 + ( 2) + 1是偶函数．
+1
(1)求 + ．
(2)判断函数 ( )在[ 1,1]上的单调性并说明理由，再求函数 ( )在[ 1,1]上的最值．
(3)若函数 ( )满足不等式 ( 1) + (2 ) < 0，求出 的范围．
17.(本小题12分)
已知函数 ( ) = 3 2 + (5 ) + ．
(1)当不等式 ( ) > 0的解集为( 1,3)时，求实数 , 的值；
(2)若对任意实数 ， (2) < 0恒成立，求实数 的取值范围，
(3)设 为常数，解关于 的不等式 (1) < 0．
18.(本小题12分)
某光伏企业投资144万元用于太阳能发电项目， ( ∈ )年内的总维修保养费用为(4 2+ + 20 )万元，该项
目每年可给公司带来100万元的收入．假设到第 年年底，该项目的纯利润为 万元．(纯利润=累计收入 总
维修保养费用 投资成本)
(1)写出纯利润 的表达式，并求该项目从第几年起开始盈利．
(2)若干年后，该公司为了投资新项目，决定转让该项目，现有以下两种处理方案：
①年平均利润最大时，以72万元转让该项目；
②纯利润最大时，以8万元转让该项目．
你认为以上哪种方案最有利于该公司的发展？请说明理由．
19.(本小题12分)
已知函数 ( ) = 3 2 + 1, ( ) = 2 2 | | + ．
(1)若 = 1，求 ( )在 ∈ [ 2,2]上的值域；
(2)设 ( ) = ( ) ( )，记 ( )的最小值为 ( )，求 ( )的最小值．
第 3 页，共 7 页
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
1
12.【答案】(0, )
2
13.【答案】3 + 2√ 2
14.【答案】( 2, 1) ∪ (1, 2)
15.【答案】解：(1)因为 = { |4 ≤ ≤ 6}， = { |1 < < 5}，
所以 = { |1 < 6}， = { | < 4或 > 6}
则( ) = { |1 < < 4}
(2) ∵ 是 的必要不充分条件
∴
①当2 3 > + 1即 > 4时， = ，满足
②当2 3 ≤ + 1即 ≤ 4时
+ 1 6
{2 3 4
4
7
∴ ≤ ≤ 4
2
7
综上所述： 的取值范围为[ , + ∞)
2
16.【答案】解：(1)
因为 ( )在[ 1,1]是奇函数，
第 4 页，共 7 页
∴ (0) = 0, ∴ = 1

验证： ( ) = 2 ， ( ) = 2 = ( )，函数 ( )为奇函数； +1 +1
( )为偶函数，则 = 2
验证： ( ) = 2 + 1， ( ) = 2 + 1 = ( )，函数 ( )为偶函数．
∴ + = 3
(2)

( ) = 2 是区间[ 1,1]上的增函数，理由如下： +1
设 1, 2是区间[ 1,1]上任意两个实数，且 1 < 2，
1 2 ( 1 2)(1 )则 ( 1) ( 2) = 2 =
1 2
1+1
2
2+1 (
2
1+1)(
2
2+1)
因为 1 ≤ 1 < 2 ≤ 1所以 1 < 1 2 < 1, 1 2 < 0, ∴ 1 1 2 > 0
∴ ( 1) ( 2) < 0, ∴ ( 1) < ( 2)

∴ ( ) = 2 是区间[ 1,1]上的增函数， +1
1 1
( )max = (1) = , ( )min = ( 1) = 2 2

(3)因为 ( ) = 2 是区间[ 1,1]上的增函数，且是奇函数， +1
由 ( )满足 ( 1) + (2 ) < 0, ∴ ( 1) < (2 ) = ( 2 )，
1 ≤ 1 ≤ 1
∴ { 1 < 2 ,
1 ≤ 2 ≤ 1
1 1
∴ 0 ≤ < ，即 的范围是0 ≤ < ．
3 3
17.【答案】解：(1)由 ( ) > 0的解集为( 1,3)，所以 1,3是方程 3 2 + (5 ) + = 0的两根，
3 (5 ) + = 0 2所以{ ，即{ 5 + 3 = 0 ，解得 = 2, = 9或 = 3, = 9．
27 + 3 (5 ) + = 0 3 2 + 15 + 27 = 0
(2)因为 (2) < 0恒成立，即2 2 10 + 12 > 0恒成立，
1
则 = 100 8(12 ) < 0，整理得到8 + 4 < 0，所以 < ．
2
(3)由 (1) < 0，得 2 5 + 3 > 0， = 4 + 13
13
①当 < 0，即 < ，解集为
4
13 5
②当 = 0，即 = ，解集为{ | ≠ }
4 2
第 5 页，共 7 页
13 2 5 √ 4 +13 5+√ 4 +13③当 > 0，即 > ，由 5 + 3 = 0，得到 = 或 = ，解集为{ | <
4 2 2
5 √ 4 +13 5+√ 4 +13
或 > }，
2 2
13
综上，①当 < ，原不等式的解集为
4
13 5
②当 = ，原不等式的解集为{ | ≠ }
4 2
13 5 √ 4 +13 5+√ 4 +13
③当 > ，原不等式的解集为{ | < 或 > }，
4 2 2
18.【答案】解：(1)由题意可知 = 100 (4 2 + 20 ) 144 = 4 2 + 80 144( ∈ +)，
令 > 0，得 4 2 + 80 144 > 0，解得2 < < 18，
所以从第3年起开始盈利；
36 36
(2)若选择方案①，设年平均利润为 1万元，则 1 = = 80 4( + ) ≤ 80 4 × 2√ = 32，
36
当且仅当 = ，即 = 6时等号成立，所以当 = 6时， 1取得最大值32，
此时该项目共获利32 × 6 + 72 = 264(万元)．
若选择方案②，纯利润 = 4 2 + 80 144 = 4( 10)2 + 256，
所以当 = 10时， 取得最大值256，此时该项目共获利256 + 8 = 264(万元)．
以上两种方案获利均为264万元，但方案①只需6年，而方案②需10年，所以仅考虑该项目的获利情况时，
选择方案①更有利于该公司的发展．
2 2 + 1, ≥ 1
19.【答案】解：(1) ( ) = 2 2 | 1| + = { 2 , 2 + 2 1, < 1
当 ∈ [ 2,1), ( ) = 2 2 + 2 1,
1 1
( )在[ 2, )单调递减，在( , 1)单调递增，
2 2
1 3 3
( ) = , ( 2) = 3，∴函数 ( )在 ∈ [ 2,1)上值域为[ , 3]，
2 2 2
当 ∈ [1,2], ( ) = 2 2 + 1, ( )在[1,2]单调递增，
(1) = 3, (2) = 9，∴函数 ( )在 ∈ [1,2]上值域为[3,9]，
3
综上所述，函数 ( )在 ∈ [ 2,2]上值域为[ , 9]；
2
2 + 1, ≥
(2)由题意可知， ( ) = { 2 , + 1, <
第 6 页，共 7 页
1
①当 < 时，根据二次函数的性质，
2
1 1
可知函数 ( )在( ∞, )单调递减，在( ,+∞)上单调递增，
2 2
1 5
函数 ( )的最小值为 ( ) = ；
2 4
1 1
②当 ≤ ≤ 时，根据二次函数的性质，
2 2
可知函数 ( )在( ∞, ]单调递减，在( ,+∞)上单调递增，
∴函数 ( )的最小值为 ( ) = 2 1；
1
③当 > 时，根据二次函数的性质，
2
1 1
可知函数 ( )在( ∞, ]单调递减，在( ,+∞)上单调递增，
2 2
1 5
故函数 ( )的最小值为 ( ) = ，
2 4
5 1
, ≤
4 21 1
综上所述， ( ) = 2 1, < ≤ ,
2 2
5 1
{ + , >4 2
1 5 3
∴当 ≤ 时，函数 ( )的最小值为 ，此时 ( ) ≥ ；
2 4 4
1 1
当 < ≤ 时，函数 ( )的最小值为 2 1，此时 ( ) ≥ 1；
2 2
1 5 3
当 > 时，函数 ( )的最小值为 + ，此时 ( ) ≥ ．
2 4 4
综上所述， ( )的最小值为 1．
第 7 页，共 7 页