九年级数学上册人教版第二十一章《一元二次方程》单元练习题（含答案）

九年级数学上册人教版第二十一章《一元二次方程》单元练习题
一、单选题
1．下列方程中：①；②；③；④，是一元二次方程的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．已知是关于的一元二次方程的解，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．5
3．若一元二次方程的一个根为1，则a的值为（ ）
A．3 B． C．4 D．
4．若是方程的一个根，则代数式的值为（ ）
A． B． C． D．
5．设方程的一个正实数根为a，则的值是（ ）
A． B． C． D．
6．若关于x的方程是一元二次方程，那么m的值为（　　）
A． B． C． D．
7．一元二次方程化为一般形式后为，则一次函数的图象不经过（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．关于x的方程，其中a，b，c满足和．则该方程的根是（ ）
A．1，3 B．1， C．，3 D．，
9．若a是关于x的方程的一个根，则的值是（ ）
A．2025 B．2026 C．2022 D．2023
10．我国的乒乓球“梦之队”在年巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场）．计划分为4组，每组安排场比赛，设每组邀请个球队参加比赛，可列方程得（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．若方程有一个根是a，则的值为 ．
12．已知一元二次方程的其中一个根为，则的值为 ．
13．一元二次方程化成一般形式为 ，其中二次项系数为 ，常数项为 ．
14．已知、是方程的两个实数根，则 ．
15．若关于的一元二次方程的两个实数根分别为3和，则多项式可以因式分解为 ．
16．已知、是一元二次方程的两个实数根，则 ．
17．某种药品经过两次降价，由每盒60元调至36元，若第二次降价的百分率是第一次的2倍．设第一次降价的百分率为，由题意可列得方程： ．
18．某天，张老师带领同学们利用棋子构图研究数字规律．将一些棋子按如图所示的规律摆放，若第个图中共有个棋子，则的值是 ．
三、解答题
19．计算：
(1)解方程：（配方法） (2)解方程： （求根公式法）
(3)解方程： (4)解方程：
20．化简求值: ，其中x 是一元二次方程的解．
21．已知 x 满足一元二次方程，求下列各式的值：
(1)
(2)
(3)
22．已知关于的方程．
(1)求证：无论为何值，原方程都有实数根；
(2)若该方程的两实数根为一直角三角形的两条直角边长，且，求值及该直角三角形的斜边．
23．已知关于x的方程．
(1)若该方程的一个根为，求a的值及该方程的另一个根；
(2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
24．如图，在平面直角坐标系中，直线交两坐标轴于、两点，，且、的长分别是一元二次方程的两根．
(1)求，的长度；
(2)以线段的长为边作正方形（如图所示），对角线、交于点，的平分线交于，求的长；
(3)若点是轴上任一点，点是坐标平面内一点，若以、、、为顶点的四边形是菱形，请直接写出点的坐标．
25．国宝第一市，天下好运城．国庆期间运城博物馆是外地游客来运必游之地．某运城特色文创商铺销售一批手工艺品，每件手工艺品的进价为80元．当售价为148元时，每天可售出30件．为了吸引更多游客，增加销售量，该商铺决定采取降价策略．经过市场调研，发现手工艺品的售价每降低4元，每天的销售量就增加10件．商铺老板希望每天的盈利能达到3960元且销量更大，每件手工艺品应该降价多少元？
26．定义：我们把关于x的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是．
(1)写出一元二次方程的“友好方程”______．
(2)已知一元二次方程的两根为，它的友好方程的两根为、______．根据以上结论，猜想的两根与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为______．
(3)已知关于x的方程的两根，请利用（2）中的结论，求出关于x的方程的两根．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A A C B A D B B D
11．6
12．
13． 3
14．/
15．
16．
17．
18．8
19．
（1）解：，
，
，
，
∴，
∴，
∴，；
（2）解：，
，
∴，
∴，；
（3）解：，
，
∴或，
解得，；
（4）解：，
，
∴或，
解得，．
20．解：依题意，，
∴或，
解得，，
；
∴
∵x 是一元二次方程的解．
∴
则．
21．（1）解：∵x 满足一元二次方程，
∴，，
∴
；
（2）∵x 满足一元二次方程，
∴方程的另一个根为：，
∴，
∴，
∴；
（3）原式的倒数为：，
由（2）知：，
∴上式，
∴原式．
22．（1）证明：根据题意得：，
无论为何值，总有，即，
无论为何值，原方程都有实数根．
（2）解：根据题意得，
，
，
解得，
，，
斜边．
23．（1）解：把代入方程，得：
，
解得：，
把代入方程，得：
，
解得：，，
该方程的另一个根为；
（2）证明：，
不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
24．（1）解：解一元二次方程得，
，，
，
∴，；
（2）解：如图2，过作于，
是的平分线，
，
又四边形为正方形，
，
又，
，
设，则，
由勾股定理得，，
即，
解得，，（舍去），
答：的长为；
（3）解：如图3，四边形为菱形，
点的坐标为，
如图4，四边形为菱形，
则，
点的坐标为，
如图5，四边形为菱形，
设，则，，
由勾股定理得，，
即，
解得，，
点的坐标为，
如图6，四边形为菱形，
，
点的坐标为，
以、、、为顶点的四边形是菱形，点的坐标为或或或．
25．解：设每件手工艺品应该降价元，
由题意可得：，
解得：，，
商铺老板希望每天的盈利能达到元且销量更大，
，
则，
答：每件手工艺品应该降价元．
26．（1）解：一元二次方程的“友好方程”为：；
故答案为：；
（2）解：对于方程，
，
解得：，
根据以上结论，猜想的两根与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为互为倒数；
证明如下：
∵一元二次方程的两根为，
“友好方程”的两根，
，
，
即原方程的两根与“友好方程”的两根互为倒数；
故答案为：；互为倒数；
（3）解：∵方程的两根是，
∴该方程的“友好方程”的两根为，
则方程的两根，
即，
整理方程得，
∴关于的方程的两根为和．
答案第1页，共2页
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