人教版八年级上册第十二章全等三角形（典型例题与跟踪训练）（含解析）

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第十二章全等三角形（典型例题与跟踪训练）-数学八年级上册人教版
一、单选题
1．三角形三个内角的平分线交于点，且，垂足为，，，，，（　　）
A． B． C． D．不能计算
2．如图，在中，，平分交于点D，若，且，则点D到的距离为（ ）
A．10 B．8 C．6 D．5
3．如图，，，下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列说法正确的是（ ）
A．全等三角形是指形状相同的两个三角形
B．全等三角形是指面积相等的两个三角形
C．全等三角形的周长和面积相等
D．所有等边三角形是全等三角形
5．如图，若，，则直接判定的理由是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，中，，，，，点P与点Q分别在和的垂线上移动，则当（ ）时， 和全等．
A．3 B．6 C．3或 D．3或6
7．如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点C在书架底部上，当顶点A落在右侧书籍的上方边沿时，顶点 B 恰好落在左侧书籍的上方边沿．已知每本书长，厚度为，则两摞书之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
8．（1）小明回顾用尺规作一个角等于已知角的作图过程（如图①所示）．
（2）工人师傅经常利用角尺平分一个任意角，如图②所示，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与D，E重合，这时过角尺顶点P的射线就是的平分线．
（3）如图③，小敏做了一个角平分仪，其中，，将仪器上的点A与的顶点R重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线，就是的平分线．
（4）小颖在作业本上画的被墨迹污染（如图④），小颖想用尺规作一个与原来完全一样的．
以上作图过程都用到了三角形全等的判定，其中，判定方法不一样的是（　　）
A．（1） B．（2） C．（3） D．（4）
二、填空题
9．如图，小明把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，最省事的办法是带 去（填序号）．
10．如图，已知，要使，只需添加一个条件： （写一个即可）．
11．如图，，垂足为，则图中全等的三角形共有 对．
12．如图，，，，垂足为D、E，，，则 ．
13．如图，在中，，是高，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点E，再分别以B、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点F，作射线，则 ．
14．如图，在中，平分，于点，若的面积为，则阴影部分的面积为 ．
15．如图，在中，，，分别过点A，C作过点B的直线的垂线AD，CE．若，，则 ．
16．如图，在中，，，过点B作，且，延长至点E，使，连接并延长交边于点F，若，则 ．
三、解答题
17．如图，，．求证：．
18．如图，在中，，的角平分线交于点，过点作交的延长线于点．

(1)若，求的度数．
(2)若是上的一点，且，求证：．
19．如图，在中，于点，于点，，相交于点，且．求证：．
20．如图，已知三角形和射线，用直尺和圆规按下列步骤作图(保留作图痕迹，不写作法)：
(1)在射线的上方，作；
(2)在射线上作线段，在射线上作线段，使得，；
(3)连接，观察并猜想：与的数量关系是_____，填(“＞”、“＜”或“＝”)
21．如图，在中，，，边沿着过点的某条直线对折得到，连接，以为边在左侧作，其中，，与交于点，连接．
(1)如图1，连接，当点在外部时，试说明；
(2)如图2，连接，当点在的斜边上时，试判断的形状并说明理由；
(3)如图3，当点在的内部时，若点为的中点，且，求的长．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C D C C D A D
1．B
【分析】此题考查了角平分线的性质．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．首先根据题意作图，然后连接，，，过点作于，作于，由三角形三个内角的平分线交于点，根据角平分线的性质，即可得，又由，即可求得答案．
【详解】解：如图：连接，，，过点作于，作于，
三个内角的平分线交于点，，
，，
，
，，，
．
故选：B
2．C
【分析】过点D作于点M，证明即可．
本题考查了角的平分线性质，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】解：过点D作于点M，
∵平分，，
∴，
∵，且，
∴，
故选C．
3．D
【分析】根据“全等三角形对应角相等，对应边相等”依次判断即可．
本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
，
故A选项正确；
∵中，，
，
，
∴，
故B选项正确；
∵中，，
，
，
，
，
∴，
故C选项正确；
∵，
，
，
故D选项错误．
故选：D
4．C
【分析】本题考查了全等三角形的性质；全等三角形的判定．根据全等三角形定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形进行分析即可．
【详解】解：∵能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，
∴指形状相同的两个三角形、面积相等的两个三角形以及所有等边三角形都不是全等三角形，
∴选项A、B、D的说法错误，不符合题意；
全等三角形的周长和面积相等，
∴选项C说法正确，符合题意；
故选：C．
5．C
【分析】本题考查了三角形全等的判定方法，掌握“角边角”的判定方法是解题的关键，根据题意，运用“角边角”的判定方法即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
故选：C ．
6．D
【分析】本题考查了全等三角形的判定，分类讨论：①当时，②当时，即可求解；能根据对应边的不同进行分类讨论是解题的关键．
【详解】解：，
，
①当时，
在和中
，
（）；
②当时，
同理可证：（）；
3或6时，和全等；
故选：D．
7．A
【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质，根据题意得，，即可证明，则有，结合即可求得答案．
【详解】解：∵为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵每本书长，厚度为，
∴，
∴．
故选：A．
8．D
【分析】本题主要考查了三角形全等判定的应用，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，先根据作图分别判断三角形全等的判定方法，然后进行判断即可．
【详解】解：（1）从作图可知：，，
根据“”可得：，
所以；
（2）从操作可得：，，，根据“”得；
（3）因为，，，根据“”得，
所以是的平分线；
（4）从图形可知：应该先画，然后边和上分别截取，，连接，根据“”得；
综上分析可知：判定方法不一样的是（4）．
故选：D．
9．③
【分析】本题是一道利用全等三角形解决实际问题的题目，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理；
利用三角形全等的判定定理“两角及其夹边对应相等的两个三角形全等”，即可确定；
【详解】解：第③块玻璃含有两个角，能确定整块玻璃的形状．第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据“”来配一块一样的玻璃．应带③去．
故答案为：③．
10．（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，根据题意可知，推出，，则可添加条件，利用即可证明．
【详解】解：添加条件，理由如下：
∵，
∴，，
∴，
故答案为：（答案不唯一）．
11．3/三
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是要找准对应边和对应角；
由于于，根据垂直定义可得，结合已知条件和公共边可证出；用同样的方法可证得，根据全等三角形的性质，可得到，再结合公共边，同样可得和的关系，至此可得答案．
【详解】解：∵于，
∴，
∴在和中，，
∴，
∴．
又∵，
∴，
同理可证：，
所以图中的全等三角形有3对．
故答案为：3．
12．
【分析】先证明，再计算即可．
本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：∵，，，，
∴，
∵
∴，
∴，，
∵，，，
∴，
故答案为：
13．/10度
【分析】本题主要考查角平分线的作法及三角形内角和定理，根据题意得出平分，然后利用三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：因为，
所以，
根据题意得：平分，
所以，
因为为高，
所以，
所以,
所以，
故答案为：．
14．3
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，以及三角形中线的性质．遇到角平分线和垂线，构造全等三角形是解题的关键．延长交于，证明，利用三角形的中线的性质即可得解．
【详解】解：延长交于，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴， ，
∴阴影部分的面积；
故答案为：3．
15．8
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，直角三角形两锐角互余，由垂直的定义可得出，由直角三角形两锐角互余可得出，，由平角的定义得出，等量代换得出，利用证明，由全等三角形的性质得出，，根据线段的和差关系可得出答案．
【详解】解：∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中
，
∴
∴，，
∴，
故答案为：8．
16．12
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质的应用，过点D作交的延长线于点G，分别利用证明出和，然后利用线段和差即可得解，熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键．
【详解】如图，过点D作交的延长线于点G，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：12．
17．证明见解析．
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，先证明，从而可得结论．
【详解】证明：在和中，
∴，
∴．
18．(1)；
(2)见解析
【分析】本题考查了平行线及角平分线的性质和图形的全等，解题时注意结合图形分析已知条件与问题之间的位置关系，把条件与问题的联系作为主要的思考方向．
（1）由可求的大小，因是其角平分线，即，由，可得
（2）可得，进而得出，又有可推出，即可得出答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
（2）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
∴，
∴．
19．见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．首先推导出，然后利用证得．
【详解】证明：，，
，
，
，即，
在和中，
，
．
20．(1)作图见解析
(2)作图见解析
(3)=
【分析】本题主要考查了作一个角等于已知角、作一条线段等于已知线段、全等三角形的判定与性质，正确作出图形是解题的关键．
（1）利用基本作图作一个角等于已知角作图即可；
（2）利用基本作图作一条线段等于已知线段作图即可；
（3）证明，然后根据全等三角形的性质即可证明．
【详解】（1）解：如图，即为所作；
（2）如上图，和即为所作；
（3）在中，
，
，
．
21．(1)见解析
(2)是等腰三角形；理由见解析
(3)
【分析】（1）根据证明三角形全等即可；
（2）是等腰三角形．证明即可；
（3）延长到T，使得，连接，延长交于点M，证明是等腰三角形，推出点E是三角形的重心，可得，再证明，可得结论．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵在和中
，
∴．
（2）解：结论：是等腰三角形．理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
（3）解：延长到T，使得，连接，延长交于点M，如图所示：
∵，，
∴（SAS）
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴平分，
∵，
∴点E是是重心，
∴，
∵垂直平分线段，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的重心的性质，属于中考压轴题．
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