第三章函数的概念与性质同步练习卷（含解析）-高一数学上学期人教A版2019

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第三章函数的概念与性质同步练习卷-高一数学上学期人教A版2019
一、单选题
1．函数 的最大值为（ ）
A． B．3 C． D．
2．函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知是奇函数，且在上单调递减，则（ ）
A． B．
C． D．
4．已知函数，则（ ）
A．0 B．1 C． D．
5．下列函数中与函数是同一函数的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数，若为奇函数，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
7．已知函数是定义域为R的偶函数，且对任意，,，当时总有，则满足的的范围是（　　）
A． B． C． D．
8．如图所示，圆柱形水槽内放了一个圆柱形烧杯，向放在水槽底部的烧杯注水（流量一定），注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面上升高度与注水时间之间的函数关系，大致是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知函数的定义域为，且，则（ ）
A． B．是奇函数
C． D．
10．有以下判断，其中是正确判断的有（ ）
A．与表示同一函数
B．函数的图象与直线的交点最多有1个
C．与是同一函数
D．函数的定义域为，则函数的定义域为
11．已知函数对任意实数，都满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A．是偶函数
B．
C．
D．
三、填空题
12．函数的值域是 .
13．已知函数是定义在区间上的奇函数，当时，，则时 .
14．若函数在区间上同时满足：①在区间上是单调函数，②当，函数的值域为，则称区间为函数的“保值”区间，若函数存在“保值”区间，求实数的取值范围 ．
四、解答题
15．已知函数．
(1)若时不等式恒成立，求实数a的取值范围；
(2)用分类讨论的方法解关于x的不等式 （其中）．
16．已知是定义在上的奇函数，当时，.
(1)求时，函数的解析式；
(2)作出的图像；
(3)若函数在区间上单调递增，结合图象求实数的取值范围.
17．已知定义在R上的偶函数，当,时，.
(1)求函数在上的解析式；
(2)求函数在上的最大值和最小值．
18．已知函数，
(1)若，试用定义法证明：为单调递增函数；
(2)若对任意的，都有，求实数的取值范围．
19．函数的定义域为，且满足对于任意，有，当.
(1)证明：在上是增函数；
(2)证明：是偶函数；
(3)如果，解不等式.
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D D A D D A D ACD BCD
题号 11
答案 ACD
1．A
【分析】根据二次函数的性质即可求解.
【详解】，
故当时，取最大值，
故选：A
2．D
【分析】根据给定条件，利用函数有意义列出不等式组求解即得.
【详解】函数有意义，则，解得且，
所以所求定义域为.
故选：D
3．D
【分析】根据函数的奇偶性及单调性判定选项即可.
【详解】因为是奇函数，
所以，则，，
所以A，B均错误．
因为在上单调递减，
所以，则，得，C错误，D正确．
故选：D
4．A
【分析】根据自变量范围代入相应解析式计算可得.
【详解】因为，所以.
故选：A
5．D
【分析】根据同一函数的定义与判定方法，结合函数的定义域与对应关系，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意，函数的定义域为，
对于A中，因为函数的定义域为，所以两函数的定义域不同，
不是同一函数，所以A不符合题意；
对于B中，因为函数的定义域为，所以两函数的定义域不同，
不是同一函数，所以B不符合题意；
对于C中，由函数的定义域为，所以两函数对应关系都不相同，
不是同一函数，所以C不符合题意；
对于D中，因为的定义域为，则两函数的定义域和对应关系都相同，所以两函数是同一函数，所以D符合题意.
故选：D.
6．D
【分析】根据奇函数定义可得恒成立，化简可求.
【详解】因为为奇函数，，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，，
所以，，
故选：D.
7．A
【分析】根据条件判断函数的单调性，结合函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化求解即可．
【详解】任意，,，当时总有，
在,上是增函数，
又是定义域为的偶函数，
故在,上是减函数．
由可得．
所以，解得，
即不等式的解集为,，
故选：A．
8．D
【分析】分析水槽内水面上升的高度的速度，可得问题答案.
【详解】开始注水时，水注入烧杯中，水槽内无水，高度不变；
烧杯内注满水后，继续注水，水槽内水面开始上升，且上升速度较快；
当水槽内水面和烧杯水面持平以后，继续注水，水槽内水面继续上升，且上升速度减慢.
故选：D
9．ACD
【分析】采用赋值法，利用已知条件，分析函数的有关性质即可判断.
【详解】对A,令，则，
化简可得，又因，
所以，故A正确；
对B,令，则，又因
化简可得，所以是偶函数，故B错误；
对C,令，则，因，
所以，故C正确；
对D,令，则，因，
所以，令，则①，
再令，②，由①②知，故D正确.
故选：ACD
10．BCD
【分析】对于A，先求出两函数定义域，由两函数定义域不同即可判断；对于B，由函数定义分函数在处有没有定义即可判断；对于C，由函数的定义域和对应关系即可判断；对于D，先由函数定义域为得，从而得函数有，解该不等式即可得解.
【详解】对于A，函数的定义域为，函数定义域为R，
故函数和不是同一函数，故A错误；
对于B，若函数在处有定义，则的图象与直线的交点有1个，
若函数在处没有定义，则的图象与直线的没有交点；
所以函数的图象与直线的交点最多有1个，故B正确；
对于C，因为函数与的定义域均为R，
且两函数对应关系相同，所以函数与是同一函数，故C正确；
对于D，对函数，其定义域为，所以，故，
所以对函数有，解得，
所以函数的定义域为，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】方法点睛：判断函数是不是同一函数的方法：
1.先求出两函数定义域，判断定义域是否相同，若不相同，则是不同的函数，若相同，再判断对应关系；
2.定义域相同情况下，判断函数的对应关系，若对应关系相同，则为同一函数，若不相同则不是同一函数.
11．ACD
【分析】对A、B、C分别利用赋值法可逐项判断，对D利用赋值法可求出是周期函数，再根据周期函数可判断.
【详解】因为，
对B，令，得，因为，所以，故B错误；
对A，令，则，由B知，
则，所以，且定义域为，
故是偶函数，故A正确；
对C，令，则，所以，
令，则，故C正确；
对D，有，则，
所以函数周期，则，
所以，故D正确．
故选：ACD．
12．
【分析】利用二次函数以及反比例函数性质计算可得结果.
【详解】易知函数的值域为，
再根据反比例函数性质可得的值域即为.
故答案为：
13．
【分析】利用函数的奇偶性和题设条件，易求得时的函数解析式.
【详解】当时，，则有，
因函数是定义在区间上的奇函数，
故得.
故答案为：.
14．
【分析】由二次函数的性质可得函数单调区间，分类讨论结合二次函数根的分布分别求解，最后再求并集即得答案．
【详解】函数在上单调递减，在上单调递增，
若，则，
由，即函数在有两个不等的实数根；
设，
所以，解得．
若，则，
由，
两式相减可得，所以，
从而，即，
同理可得，
设，
所以，解得．
综上可得，实数的取值范围为．
故答案为：．
15．(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）不等式 在 上恒成立, 转化为 在 上恒成立, 求出 在 上的最小值即可求出 的取值范围；
（2） 将不等式 化为 ,讨论 的取值即可求解不等式的解集.
【详解】（1），
不等式化为，
即，
不等式在上恒成立，
在上恒成立，
即在上恒成立，
，
设，，根据对勾函数的性质知其在上单调递减，在上单调递增，
当；当；当，
，
，即的取值范围是.
（2）不等式化为，
即，
即，
①当时，不等式为，不等式解集为，
②当时，即时，不等式为，不等式解集为;
③当时，，不等成解集为;
④当时，，不等式解集为
⑤时，不等式解集为.
16．(1)；
(2)图象见解析；
(3).
【分析】（1）根据给定条件，利用奇函数定义求出解析式.
（2）利用二次函数图象，结合奇函数作出函数的图象.
（3）由的单调性，结合函数图象，列出不等式组求解即得.
【详解】（1）设，则，于是，
又为奇函数，即，
所以当时，.
（2）当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，
作出在上的图象，再作出所作图象关于原点对称的图形，
如图为函数的图象，
（3）观察图象知，函数在上单调递增，而函数在上单调递增，
则，于是，解得，
所以的取值范围是.
17．(1)
(2)在,上的最大值是，最小值是．
【分析】（1）根据题意，设，则，分析可得的解析式，结合函数为偶函数，分析可得答案；
（2）由（1）的结论可得函数的解析式，分析其在,的单调性，进而分析可得答案．
【详解】（1）根据题意，设，则，则，
又由为偶函数，则
（2）由（1）的结论：，
在,上单调递增，在,上单调递减，
则；，
函数在,上的最大值是，最小值是．
18．(1)证明见解析
(2)．
【分析】（1）根据函数单调性的定义，分区间讨论即可得证；
（2）由二次不等式的恒成立，列出不等式式组得解.
【详解】（1）证明：当时，，
当时，
，
由于，则，，，
则，，即；
当时，，
由于，则，则，
，即；
当时，，
由于，则，
，即；
综上，为单调递增函数；
（2）①当时，恒成立，即恒成立，
或，解得；
②当时，恒成立，即恒成立，即在上恒成立，则；
综上，实数的取值范围为．
19．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据函数的单调性的定义，即可证得函数的为单调递增函数；
（2）令，求得，再由，求得，进而得出，即可证明结论；
（3）由（2）可得不等式可变为，结合（1）可求得不等式的解集.
【详解】（1）设，则，
由于，所以，所以，
所以，所以，
所以在上是增函数；
（2）因对定义域内的任意，有，
令，则有，
又令，得，
再令，得，从而，
于是有，所以是偶函数．
（3）由于，所以，
于是不等式可化为，
由（2）可知函数是偶函数，则不等式可化为，
又由（1）可知在上是增函数，所以可得，
解得，所以不等式的解集为．
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