专项19：数学广角——数与形（解决问题）（含解析）-2024-2025学年六年级数学上册期末核心考点（人教版）

/ 让教学更有效 典型例题·期末专项考点
专项19：数学广角——数与形（解决问题）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1．
图形 … … … …
三角形个数 1 2 3 4 … 10 n
所需火柴数 3 5 7 9 … 1001
（1）10个三角形需要几根火柴？摆n个呢？
（2）如果有1001根火柴可以摆几个三角形？
2．（佛山）华英学校计划使用如图所示尺寸的4个形状相同的长方形地砖和一个正方形地砖组成的图案铺设风雨走廊．已知走廊也为长方形，长度为18米，宽度是0.6米，长方形地转为3元/块．正方形地转为2元/块．【出处：21教育名师】
（1）若按图1的方法进行密铺，则需要使用长方形及正方形地砖各多少块？
（2）如果改用图2或图3的方案密铺，请分别计算这两种方案所需费用，并比较哪种方案更省钱？
3．小思、小维、小严和小谨4人进行象棋比赛，每2人之间都要下一盘。小思已经下了3盘，小维已经下了2盘，小严已经下了1盘。小谨已经下了（ ）盘，分别和谁下的？用连线的方法表示出来。21教育名师原创作品
4．用同样的小棒搭成以下图案．
需要4+3×1=7根小棒;
需要4+3×2=10根小棒;
需要4+3×3=13根小棒
照这样算:
(1)搭同样的10个正方形需要小棒多少根
(2)现有46根小棒可以搭多少个正方形
5．仔细分析，探究规律。
三角形个数 1个 2个 3个 4个 …
小棒的根数 3根 5根 7根 9根 …
观察图形和表格，如果要摆100个三角形，需要多少根小棒？要摆n个三角形，需要多少根小棒？
6．下图是育苗场树苗情况统计图。
（1）松树有2100棵，育苗场一共有树苗多少棵？
（2）柏树和槐树一共有多少棵？
（3）杨树比柳树多占总棵数的百分之几？
7．下图是杨辉三角，是以我国南宋数学家杨辉的名字来命名的，杨辉在其著作中对杨辉三角的详解比欧洲帕斯卡三角要早393年．请你找出规律，再写出一行数字．
8．下列图中有大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，则第4幅图中有多少个菱形？第幅图中有多少个菱形？
9．把4个完全相同的乒乓球标上数字2，3，4，5，然后放到一个不透明的口袋中，第一次任意摸出一个球（不放回），第二次再任意摸出一个球。21cnjy.com
（1）请补充完整下面的连线图。
（2）根据上图计算，两次摸出的球所标数字之和是7的可能性是多少？
10．小明用牙签搭六边形，如下图。
（1）数一数，上面四幅图每幅各用了多少根牙签？
（2）接着画下去，第五幅图将用多少根牙签？第八幅图呢？
（3）你能利用规律直接写成第n幅图一共要用多少根吗？
11．元旦联欢晚会上，大家围坐在一起，一张桌子可以围坐6个人，两张桌子拼起来可以围坐10个人，如下图所示。
（1）每多一张桌子，可多坐（ ）人，按此规律，n张桌子可坐（ ）人。
（2）五（1）班有54人，至少需要多少张桌子？
12．摆一摆，找规律。
（1）依次摆下去，第6个图形是什么图形？
（2）摆第7个图形需要用多少根小棒？
（3）摆第n个图形需要用多少根小棒？
13．找出下面的数的排列规律：1、﹣1、2、﹣2、3、﹣3……照这样的规律写下去，第25个数是正数还是负数？第46个数呢？21世纪教育网版权所有
14．在六一联欢晚会上，有一个“亲子互动”节目，用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示，按照下面的规律摆下去．
（1）摆4条“金鱼”需要多少根火柴棒？
（2）用122根火柴棒可以摆多少条“金鱼”？
15．摆一摆，找规律．
摆第n个图形需要用多少根火柴棒？
16．如图，10张桌子拼在一起可以坐多少人？如果要坐68人，需要多少张桌子拼在一起？
17．数一数．
(1)图中各有多少个▲和△？
序号 ① ② ③ ④
▲
△
(2)照这样连续画下去，第7个图形中▲和△各有多少个？
18．照这样画下去，第6个图形中黑色和白色方块各有多少块？第10个图形呢？
黑色： 1块 2块 3块
白色： 8块 13块 18块
19．一种细胞在培养过程中，每30分钟要分裂一次（1个母细胞一分为二成2个子细胞）。这种细胞如果要由1个分裂成8个，需要多少分钟？（请用画图的方法解释说明）
20．摆桌椅．
（1）1张桌子可以坐8人(如上图)，那么4张桌子可以坐多少人？
（2）如果像上面这样继续摆桌椅，分别可以坐多少人呢？
桌子张数 1 2 3 4 5 … n
坐的人数 8 12 16 …
21．六年级同学去春游，租了2只同样的大船和5只同样的小船，正好坐满100人．每只大船比小船多坐8人，每只小船可以坐多少人？21·cn·jy·com
22．用小棒按下面的方法摆图形．
　　　 　 　 …
三角形个数：(　　) (　　) (　　) 　 (　　)…
小棒根数： (　　) (　　) (　　) 　 (　　)…
（1）完成上面的填空．
（2）拼成的三角形的个数与所用的小棒数之间有什么关系？
23．下列图案由边长相等的黑、白两色小正方形按一定规律拼接而成．
黑色：1 2 3
白色：8 13 18
照这样画下去，第10个图形中分别有多少个黑色小正方形和白色小正方形？你能解释其中的道理吗？
24．按如下规律摆放三角形，第五堆有多少个三角形？
25．丁丁觉得游戏很有意思，对牛牛说：“我这儿也有个游戏，有一列数1，3，5，7，9，1，3，5，7，9，1，3，5，7，9，…，问前48个数之和是多少？”2·1·c·n·j·y
26．下图是用圆片摆成的。
（1）填写下表。
图号 ① ② ③ ④
圆片的个数
（2）照这样的规律摆下去，第8个图形一共需要多少个圆片？
（3）第n个图形需要多少个圆片？
27．将奇数1、3、5、7、9……按图中规律排列，如：数19在第3行第3列，数37排在第5行第4列，那么数2001在第几行第几列？www.21-cn-jy.com
参考答案：
1．
图形 … … … …
三角形个数 1 2 3 4 … 10 500 n
所需火柴数 3 5 7 9 … 21 1001 1＋2n
（1）21根小棒；（1＋2n）根。
（2）500个
【分析】（1）观察题干，当三角形的个数为：1、2、3、4时，火柴棒的个数分别为：3、5、7、9，由此可以看出三角形的个数每增加一个，火柴棒的个数增加2根，由此即可推理得出一般规律；【来源：21·世纪·教育·网】
（2）根据上面规律得出关系式，代入相应的数据进行计算即可解答问题。
【详解】
图形 … … … …
三角形个数 1 2 3 4 … 10 500 n
所需火柴数 3 5 7 9 … 21 1001 1＋2n
（1）当三角形的个数为1时，火柴棒的根数为3＝1＋1×2；
当三角形的个数为2时，火柴棒的根数为5＝1＋2×2；
当三角形的个数为3时，火柴棒的根数为7＝1＋3×2；…
由此可以看出：当三角形的个数为n时，火柴棒的根数为1＋2n。
当n＝10时，需要小棒：1＋2×10＝1＋20＝21（根），
答：10个三角形需要21根小棒，摆成n个三角形，需要小棒1＋2n根。
（2）当小棒有1001根时，代入上述关系式可得：1＋2n＝1001，则n＝500，即可以摆成50个小三角形；2-1-c-n-j-y
答：1001根小棒可以摆成500个小三角形。
【点睛】本题考查了规律型：图形的变化。解题关键根据题干中已知的数据总结规律，得到规律：三角形的个数每增加一个，火柴棒的个数增加2根。【来源：21cnj*y.co*m】
2．（1）需要使用长方形地砖480块，正方形地砖120块
（2）因为1692＜1710，所以图2的方案密铺更省钱．
【详解】试题分析：（1）根据图1的方法进行密铺，得出是按照边长是20+10厘米的正方形进行铺设的，而走廊的长是18米=1800厘米，宽是0.6米=60厘米，由此求出走廊中能够铺设几个边长是20+10厘米的正方形，进而求出需要使用长方形及正方形地砖的块数；
（2）根据图2的方法进行密铺，得出是按照长是20×3厘米，宽是10×5厘米的长方形进行铺设的，而走廊的长是18米=1800厘米，宽是0.6米=60厘米，由此求出走廊中能够铺设几个这样的长方形，进而求出需要使用长方形及正方形地砖的块数，最后求出此方案所需要的费用；【版权所有：21教育】
（3）根据图3的方法进行密铺，得出是按照边长是20×3厘米的正方形进行铺设的，而走廊的长是18米=1800厘米，宽是0.6米=60厘米，由此求出走廊中能够铺设几个边长是20×3厘米的正方形，进而求出需要使用长方形及正方形地砖的块数，最后求出此方案所需要的费用．
解答：解：（1）因为18米=1800厘米，0.6米=60厘米，
所以1800÷（20+10）=60（个），60÷（20+10）=2（个），
边长是30厘米的正方形的个数：60×2=120（个），
长方形的个数：120×4=480（个），
正方形的个数是120个；
答：需要使用长方形地砖480块，正方形地砖120块．
（2）图2的方法进行密铺：1800÷（10×5）=36（个），
60÷（20×3）=1（个），
因为长是20×3厘米，宽是10×5厘米的长方形里面有13个长方形，4个正方形，
所以需要的费用：
36×13×3+36×4×2，
=468×3+36×8，
=1404+288，
=1692（元）；
图3的方法进行密铺：1800÷（20×3），
=1800÷60，
=30（个），
60÷（20×3）=1（个），
因为边长是20×3厘米里面有15个长方形，6个正方形，
所以需要的费用：30×15×3+30×6×2，
=30×45+30×12，
=30×57，
=1710（元），
因为1692＜1710，
所以图2的方案密铺更省钱．
点评： 关键是根据每种图的密铺方法，得出所铺设的图形的个数，进而求出需要的长方形和正方形的地砖的块数，进而解决问题．21*cnjy*com
3．2；分别和小思、小维下了一盘；图见详解
【分析】小思已经下了3盘，说明小思和剩下的每个人都下了一盘；小严只下了一盘，说明只和小思下了一盘；那么小维已经下了2盘，除了和小思下了一盘外，还和小谨下了一盘；据此得出小谨下的盘数，以及分别和谁下的。
【详解】由分析知，连线如下：
即小谨已经下了2盘，分别和小思、小维下了一盘。
4．(1)31根 (2)15个
【解析】略
5．201根；（2n＋1）根
【分析】搭第一个图形需要3根小棒，结合图形，发现：后边每多一个图形，则多用2根小棒。据此解答。
【详解】搭第100个图形，需要小棒：
3＋2×（100 1）
＝3＋198
＝201（根）
则要搭n个三角形时，需要小棒：
3＋2（n 1）＝（2n＋1）根
答：摆100个三角形，需要201根小棒，要摆n个三角形，需要（2n＋1）根小棒。
【点睛】此题考查了数与形问题，要能够从图形中发现规律。
6．（1）14000棵；（2）3780棵；（3）8%
【分析】（1）树苗的总棵数＝松树的棵数÷松树棵数占树苗总棵数的百分率；
（2）柏树和槐树的总棵数＝树苗的总棵数×（柏树的百分率＋槐树的百分率）；
（3）杨树比柳树多占总棵数的百分率＝杨树占总棵数的百分率－柳树占总棵数的百分率。
【详解】（1）2100÷15%＝14000（棵）
答：育苗场一共有树苗14000棵。
（2）14000×（17%＋10%）
＝14000×0.27
＝3780（棵）
答：柏树和槐树一共有3780棵。
（3）33%－25%＝8%
答：杨树比柳树多占总棵数的8%。
【点睛】掌握标准量和比较量的计算方法是解答题目的关键。
7．1，6，15，20，15，6，1
【解析】略
8．7个；（2n－1）个
【分析】根据图意，第1幅图中有1个菱形，第二个图中有3＝2×2－1，第三个图中有5＝2×3－1，第4幅图有7＝2×4－1，以此类推，则第n个图中，有（2n－1）个菱形。注意分析菱形的个数与第几个图形的对应关系。21·世纪*教育网
【详解】由分析可知：
则第4幅图中有：
2×4－1
＝8－1
＝7（个）
则第n个图中，有（2n－1）个菱形。
【点睛】此题考查的是找规律，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律并运用规律。
9．（1）如下图所示：
（2）共有12种情况，和为7的有4种情况，可能性为。
【详解】略
10．（1）6根；11根；16根；21根；
（2）26根；41根；
（3）（5n＋1）根
【分析】分析图形可知，每增加一个六边形就增加5根牙签，第1个图形一共用了6根牙签，第2个图形一共用了（6＋5）根牙签，第3个图形一共用了（6＋5×2）根牙签，第4个图形一共用了（6＋5×3）根牙签……则第n个图形一共用了[6＋5×（n－1）]根牙签，据此解答。www-2-1-cnjy-com
【详解】（1）第1幅图用了6根，第2幅图用了11根，第3幅图用了16根，第4幅图用了21根。
（2）第5幅图：6＋5×（5－1）
＝6＋5×4
＝6＋20
＝26（根）
第8幅图：6＋5×（8－1）
＝6＋40－5
＝46－5
＝41（根）
答：第五幅图将用26根牙签，第八幅图将用41根牙签。
（3）6＋5×（n－1）
＝6＋5n－5
＝（5n＋1）根
答：第n幅图一共要用（5n＋1）根。
【点睛】用含有字母的式子表示出图形变化的规律是解答题目的关键。
11．（1）4；4n＋2
（2）13张
【分析】（1）先观察图形，找出桌子数量和能坐人数之间的规律。通过对比一张桌子、两张桌子能坐的人数，来确定每多一张桌子多坐的人数。21*cnjy*com
一张桌子可以围坐：4×1＋2＝4＋2＝6（人）
两张桌子拼起来可以围坐：4×2＋2＝8＋2＝10（人）
三张桌子拼起来可以围坐：4×3＋2＝12＋2＝14（人）
四张桌子拼起来可以围坐：4×4＋2＝16＋2＝18（人）
……
n张桌子拼起来可以围坐：4×n＋2＝（4n＋2）人
一张桌子可以围坐6个人，两张桌子拼起来可以围坐10个人，10－6＝4（人），所以每多一张桌子，可多坐 4 人。
（2）五（1）班有54人，设至少需要x张桌子，由（1）可得4x＋2＝54，解出方程，即可求出五（1）班有54人，至少需要多少张桌子。
【详解】（1）由分析可得：每多一张桌子，可多坐4人，按此规律，n张桌子可坐（4n＋2）人。
（2）解：设至少需要x张桌子。
4x＋2＝54
4x＝54－2
4x＝52
x＝52÷4
x＝13
答：五（1）班有54人，至少需要13张桌子。
12．（1）平行四边形；（2）15；（3）2n＋1
【分析】第1个图形是1个三角形，用3根小棒摆成的；
第2个图形是一个由2个三角形组成的平行四边形，用5根小棒摆成的；
第3个图形是一个由3个三角形组成的梯形，用7根小棒摆成的；
第4个图形是一个由4个三角形组成的平行四边形，用9根小棒摆成的；
依次摆下去：
第5个图形是一个由5个三角形组成的梯形，用11根小棒摆成的；
第6图形是一个由6个三角形组成的平行四边形，用13根小棒摆成的；
第7个图形是一个由7个三角形组成的梯形，用15根小棒摆成的；
…
通过观察可以发现，从第2个图开始，第偶数个图形是平行四边形，第奇数个图形是梯形；小棒的根数则是每次比前一次增加2根。
【详解】答：（1）第6个图形是平行四边形。
（2）1个三角形所需小棒的根数是3；
2个三角形所需小棒的根数是3＋2；
3个三角形所需小棒的根数是3＋2×2：
…
n个三角形所需小棒的根数是3＋2×（n－1）＝2n＋1，
当n＝7时，2n＋1＝2×7＋1＝15（根）
摆第7个图形需要 15根小棒。
（3）由（2）可知，摆成第n个图形需要用（2n＋1）根小棒。
13．第25个数是正数，第46个数是负数。
【分析】从这些数的排列中可以看出：序数是奇数的都是正数，序数是偶数的都是负数。
【详解】答：第25个数是奇数，所以是正数，第46个数是偶数，所以是负数。
【点睛】此题的解答需要学生认真观察和分析题目，找出规律即可。
14．（1）26根
（2）20条
【详解】摆1条“金鱼”需要火柴棒：8根；
摆2条“金鱼”需要火柴棒：8+6＝14（根）；
摆3条“金鱼”需要火柴棒：8+6+6＝20（根）；
……
摆n条“金鱼”需要火柴棒：8+6（n﹣1）＝（6n+2）根．
（1）摆4条“金鱼”需要火柴棒：
4×6+2
＝24+2
＝26（根）
答：摆4条“金鱼”需要26根火柴棒．
（2）6n+2＝122
6n＝120
n＝20
答：用122根火柴棒可以摆20条“金鱼”．
15．(7n+1)根
【详解】略
16．44人；16张
【分析】观察图可知，1张桌子可以坐8人，可以写成1×4＋4；2张桌子可以坐12人，可以写成2×4＋4；3张桌子可以坐16人，可以写成3×4＋4。由此可得：n张桌子可以坐4n＋4人，当有10张桌子拼在一起时，要求可以坐多少人，将n＝10代入式子4n＋4中求值即可；已知现在坐的人数是68人，要求需要几张桌子拼成，也就是4n＋4＝68。据此解方程即可。
【详解】由分析可知：
4×10＋4
＝40＋4
＝44（人）
解：设如果要坐68人，需要n张桌子拼在一起。
4n＋4＝68
4n＝64
n＝16
答：如图，10张桌子拼在一起可以坐44人。如果要坐68人，需要16张桌子拼在一起。
17．（1）1，3，6，10
3，6，10，15
（2）▲有28个，△有36个
【详解】(1)填表如下：
序号 ① ② ③ ④
▲ 1 3 6 10
△ 3 6 10 15
(2)1+2+3+4+…+7=28(个)
1+2+3+4+…+8=36(个)
答：第7个图形中▲有28个，△有36个．
18．6块，33块；10块，53块
【分析】根据第几个图形
1 2 3 4 n
黑色：1块 2块 3块 4块 n块
白色：8块 13块 18块 23块 （3＋5n）块
3＋5×1 3＋5×2 3＋5×3 3＋5×4 3＋5n
所以，第6个图形中黑色有6块，白色方块有33块；第10个图形中黑色有10块，白色方块有53块。
【详解】由分析得，
第6个图形中黑色有6块，白色方块有：
3＋5×6
＝3＋30
＝33（块）
第10个图形中黑色有10块，白色方块有：
3＋5×10
＝3＋50
＝53（块）
【点睛】此题考查的是找规律，解答此题关键是正确找出规律并用规律解决问题。
19．90分钟
【分析】一个细胞经过30分钟分裂成2个细胞，2个细胞经过30分钟分裂成4个细胞，4个细胞经过30分钟分裂成8个细胞，据此解答。
【详解】画图如下。
30×3＝90（分钟）
答：需要90分钟。
【点睛】解决此题的关键是确定一个母细胞分裂成8个子细胞需要分裂的次数。
20．（1）20人　（2） 20　24　4(n＋1)
【解析】略
21．12人．
【详解】试题分析：设每只大船坐x人，那么每只小船就坐x﹣8人，大船可坐2x人，小船可坐5×（x﹣8）人，再根据两船可坐总人数是100人可列方程：2x+5×（x﹣8）=100，依据等式的性质即可求解．
解：设每只大船坐x人，则每只小船就坐x﹣8人，根据题意得：
2x+5×（x﹣8）=100
2x+5x﹣40=100
7x﹣40+40=100+40
7x÷7=140÷7
x=20
20﹣8=12（人）
答：每只小船可坐12人．
【点评】此题属于含有两个未知数的应用题，这类题用方程解答比较容易，关键是找准数量间的相等关系，设一个未知数为x，另一个未知数用含x的式子来表示，进而列并解方程即可．
22．（1）1；2；3；4　
3；5；7；9
（2）用n代表三角形个数，拼n个三角形所用小棒数为2n+1.
【解析】略
23．黑色10个，白色53个；道理：每增加一个黑色小正方形，就增加5个白色小正方形．
【分析】由图可知，每个图形比前一个图形增加1黑色小正方形与5个白色小正方形，以此规律即可得出答案．
【详解】黑色：10个 ；
白色：3＋5×10＝53(个)；
道理：每增加一个黑色小正方形，就增加5个白色小正方形．
24．17个
【分析】这是一组等差数列，公差是3，从左到右依次加3。第1堆，5个△，5＝3×1＋2；第2堆，8个△，8＝3×2＋2；第3堆，11个△，11＝3×3＋2…第n堆，（3n＋2）个△。
【详解】第1堆，5个△，5＝3×1＋2；
第2堆，8个△，8＝3×2＋2；
第3组，11个△，11＝3×3＋2
…
第n堆，（3n＋2）个△。
当n＝5时，
3×5＋2
＝15＋2
＝17（个）
答：第五堆有17个三角形。
【点睛】此题考查的是找规律，解答此题的关键是找到规律后，再根据规律解答就比较容易了。
25．234
【分析】观察数列可知，数列是按照1，3，5，7，9 循环进行排列的，先求出一组的和是多少，然后再求出前48个数共有多少组，余数是几就从左向右数几，然后相加即可。
【详解】1＋3＋5＋7＋9
＝4＋5＋7＋9
＝9＋7＋9
＝16＋9
＝25
48÷5＝9（组） 3（个）
25×9＋1＋3＋5
＝225＋1＋3＋5
＝226＋3＋5
＝229＋5
＝234
答：前48个数之和是234。
【点睛】本题考查循环数列，明确共有几个循环是解题的关键。
26．（1）1；4；9；16
（2）64个
（3）n2个
【分析】第1个图形有1个圆片；第2个图形有2×2个圆片；第3个图形有3×3个圆片；第4个图形有4×4个圆……，则第n个图形有n×n个圆，据此解答。
【详解】（1）填写下表。
图号 ① ② ③ ④
圆片的个数 1 4 9 16
（2）8×8＝64（个）
答：第8个图形一共需要64个圆片。
（3）n×n＝n2（个）
答：第n个图形需要n2个圆片。
【点睛】分析题意找出图形变化的规律是解答题目的关键。
27．251行第2列
【分析】根据上表可以得出以下信息，即每一行为4个相邻的奇数，当行数为奇数时从第二列开始到第五列，当行数为偶数时，从第四列开始到第一列，奇数都是递增排列的，所以可以得出2001的位置。21教育网
【详解】由题意可知：排列为1，3，5，7，……2n－1，
2n－1＝2001
解：2n－1＋1＝2001＋1
2n＝2002
2n÷2＝2002÷2
n＝1001
说明2001是第1001个奇数
1001÷4＝250……1
所以是在第251行，该行是从左到右写，因此是第2列。
答：数2011排在第251行第2列。
【点睛】通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力。
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世教育网(www.1cnjy.com)