2024-2025学年江苏省常州市天宁区正衡中学九年级（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年江苏省常州市天宁区正衡中学九年级（上）期中
数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列图形中，中心对称图形是( )
A. B. C. D.
2.已知一个多边形的每个外角为，则该多边形的边数为( )
A. B. C. D.
3.一元二次方程的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 有一个实数根 D. 没有实数根
4.如图，直线，，，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
5.往水平放置的半径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如图所示，若水面宽度，则水的最大深度为( )
A.
B.
C.
D.
6.如图，四边形内接于，若，则( )
A. B. C. D.
7.如图，是的切线，为切点，连接交圆于点，其延长线交圆于点，，则的长度是( )
A.
B.
C.
D.
8.某款纯电动汽车采取智能快速充电模式进行充电，当充电量达到电池容量的时，为保护电池，充电速度会明显降低如图是该款电动汽车某次充电时，汽车电池含电率电池含电率随充电时间分钟变化的函数图象，下列说法错误的是( )
A. 本次充电开始时汽车电池内仅剩的电量
B. 本次充电分钟，汽车电池含电率达到
C. 本次充电持续时间是分钟
D. 若汽车电池从无电状态到充满电需要耗电千瓦时，则本次充电耗电千瓦时
二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。
9.已知，则 ______．
10.是第五代移动通信技术，网络理论下载速度可以达到每秒以上．用科学记数法表示是______．
11.已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是______．
12.一个扇形半径，圆心角，用它作一个圆锥的侧面，则圆锥底面半径为______．
13.如图，线段两个端点的坐标分别为，，以原点为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的后得到线段，则端点的坐标为______．
14.如图，是的内切圆，若，则的度数为______
15.如图，正十二边形，连接，，则______．
16.如图，将放在每个小正方形边长为的网格中，点，，均在格点上，则的值是______．
17.如图，已知点是反比例函数在第一象限图象上的一个动点，连接，以为长，为宽作矩形，且点在第四象限，随着点的运动，点也随之运动，但点始终在反比例函数的图象上，则的值为______．
18.如图，在矩形中，，点、分别是、上的动点，且，连接，将矩形沿折叠，点落在点处，点落在处在点从移动到中点的过程中，线段的最大值为______．
三、解答题：本题共10小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
计算：
；
．
20.本小题分
解方程组和不等式组：
；
．
21.本小题分
先化简，再求值：，其中．
22.本小题分
如图，已知，，求证：．
23.本小题分
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点．
求一次函数与反比例函数的解析式；
求的面积；
直接写出不等式的解集．
24.本小题分
如图，在长为米，宽为米的矩形土地上修建同样宽度的两条道路互相垂直，其余部分种植花卉，并使种植花卉的总面积为平方米．
求道路的宽度；
园林部门要种植、两种花卉共株，其中种花卉每株元，种花卉每株元，园林部门采购花卉的费用不超过元，则最多购进种花卉多少株？
25.本小题分
如图，四边形是的内接四边形，是直径，是的中点，过点作交的延长线于点．
求证：是的切线；
若，，求的长．
26.本小题分
已知：如图，是的直径，点在上，请用无刻度直尺画图保留作图痕迹，不写画法．
如图，若是半圆的中点，且与点在同一侧，画出的平分线并说明理由；
如图，若，画出的平分线；
在的作图下，已知，，交直径于点，则 ______．
27.本小题分
如图，平行四边形的面积为，，，为锐角点在边上，过点作边的垂线，交平行四边形的其它边于点，在的右侧作正方形．
如图，若点在对角线上，则正方形的边长为______；
设与对角线交于点，如果点与点重合，求：的值；
如果点在边上，且与相似，求的长．
28.本小题分
如图是课本上的折纸活动．
【重温旧知】
上述活动，有的是为了折出特殊图形，如图、和；有的是为了发现或证明定理，如图和；有的是计算角度，如图；有的是计算长度，如图和．
图中的的形状是______，图的活动发现了定理“______”注：填写定理完整的表述，图中的的长是______．
【新的发现】
图中，在第次折后，点落在点处，直接写出点的位置特点．
【换种折法】
图中，在第次折后，再次折叠，如图，使点与点重合，折痕为，点落在点处，与交于点说明为的三等分点．
【继续探索】
如何折叠正方形纸片得到边的五等分点？请画出示意图，简述折叠过程，并说明理由．
参考答案
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19.解：
；
．
20.解：，
，
则或，
所以，．
，
解不等式得，，
解不等式得，，
所以不等式组的解集为：．
21.解：原式
，
当时，．
22.证明：，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
．
23.解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，
，
，，
反比例函数解析式为：，
，在一次函数的图象上，
，解得，
一次函数解析式为：．
在一次函数中，令，则，
，
；
根据两个函数图象的位置及交点坐标，可直接写出不等式的解集为：或．
24.解：设道路的宽度为米，
由题意得：，
解得：，不符合题意，舍去，
答：道路的宽度为米；
设购进种花卉株，则购进种花卉株，
由题意得：，
解得：，
答：最多购进种花卉株．
25.证明：如图，连接，
，
，
是的中点，
，
，
，
，
，
是半径，
是的切线；
解：为直径，
，
，，
，
又，，
∽，
，
即，
，
点是的中点，
，
，
．
26.
27.（1）
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