2024-2025学年浙江省宁波市鄞州第二实验中学八年级（上）期中考试数学试卷（含答案）

2024-2025学年浙江省宁波市鄞州第二实验中学八年级（上）期中考试数学试卷
一、选择题：本题共5小题，每小题3分，共15分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列曲线不能表示是的函数的是( )
A. B.
C. D.
2.若，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
3.如图，已知每个小方格的边长为，、两点都在小方格的顶点上，请在图形中找一个格点，使是等腰三角形，这样的格点有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
4.一次函数与的图象如图所示，下列结论中正确的有( )
对于函数来说，随的增大而减小；函数的图象不经过第一象限；；
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
5.如图，在正中，，分别在边，上，连接，的平分线过的内心，交于点，连接若要知道的周长，则只需要知道下列哪个三角形的周长？该三角形是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
6.设的平均数为，的平均数为，又的平均数为，若，则与大小关系 ．
7.中，，，是的中线，设长为，则的取值范围是 ．
8.如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知正方形、、、的面积分别是，，，，则正方形，的面积是 ．
9.如图，中，平分，于点，，，则 ．
10.已知有序数对及常数，我们称有序数对，为有序数对的“阶结伴数对”如的“阶结伴数对”为即若有序数对与它的“阶结伴数对”关于轴对称，则此时的值为 ．
11.设直线和直线是正整数与轴围成的三角形面积为，则 ．
12.如图，七个边长为的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过点的一条直线将这七个正方形分成面积相等的两部分，则该直线对应的函数表达式为 ．
13.已知关于的不等式组，恰有个整数解，则的取值范围是
14.如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，，点是坐标系内一点，给出定义：若存在过点的直线与线段，都有公共点，则称点是线段，的“联络点”现有点在直线上，且它是线段，的“联络点”，则的取值范围是 ．
15.如图，在中，为边上的高线，点为线段上一点，且，若，，则 ．
三、解答题：本题共3小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
如图，一辆货车从甲地出发匀速驶往丙地，途经乙地；同时，一列轿车从乙地出发匀速驶往甲地，到达甲地后停留小时，然后原速返回乙地，两车同时到达目的地，设货车行驶时，货车与乙地的距离为，轿车与乙地的距离为，，与的函数图象如图所示．
货车的速度是 ，轿车的速度是 ；
计算点、点的坐标，并分别解释这两个点的实际意义；
设轿车、货车的距离为，在图中画出与的函数图象标明必要的数据．
17.本小题分
【自主探究】如图，在中，点、、分别在边、、上，若，那么与有何关系，并加以证明；
【拓展应用】如图，在中，，，点、分别是边、上的动点，以为腰向右作等腰，使得，，连接．
试判断线段、、之间的数量关系，并说明理由；
如图已知，点是的中点，连接、，直接写出的最小值．
18.本小题分
柯西是一位伟大的法国数学家，许多数学定理和结论都以他的名字命名，柯西不等式就是其中之一，它在数学的众多分支中有精彩应用，柯西不等式的一般形式为：设有两组实数，，，，；，，，，，则，当且仅当或存在一个数，使得时，等号成立．
请你写出并证明柯西不等式的二元形式即取；
设是边长为的正三角形内的任意一点，点到三条边的距离分别为、、，求的最小值；
已知，，，，是满足的实数，试确定的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.或
15.
16.【小题】
【小题】
解：设所在直线的关系式为，根据题意，得
解得
所在直线的关系式为；
货车的速度是，
所在直线的关系式为．
轿车的速度是，
，
点，点，
所在直线的关系式为．
设所在直线的关系式为，根据题意，得
解得
所在直线的关系式为．
将关系式联立，得
解得
点．
将关系式联立得
解得
点，
点的实际意义是：轿车与货车出发时，在距离乙地的地方第一次相遇；
点的实际意义是：轿车与货车出发时，都距离乙地；
【小题】
由题意可知甲乙两地距离是，乙丙两地距离是．
如图所示．

17.【小题】
解：，理由：
，，
，
，
；
【小题】
，理由：
，
，
，
，
；
在上截取，连接，作点关于的对称点，连接，，如图，
，，
由可得，
，
，，，
，，
，
，
，
，
，
点在射线固定上运动，
点与点的关于对称，
，
，
当、、三点共线时，的值最小，最小值为，，，
，
，
由对称性可知，，
，
点是的中点，，
，
，
在中，，
的最小值为．

18.【小题】
解：，
证明：，
，
，
则
，
故有成立；
【小题】
解：边长为的正三角形
三角形的高为，
则，
根据柯西不等式得
，
故的最小值为；
【小题】
解：，
，
，
，
，
，
则，
，
，
，
则，
，
，解得，
故的最大值为．

第1页，共1页