北京市第五十七中学2024~2025学年第一学期12月数学月考试卷(PDF版，无答案)

北京市第五十七中学初三 12 月数学练习
班级： 姓名： 2024.12
一、选择题(本题共 30 分，每小题 3 分)
1. 函数 y （x 1）2 2的最小值是
A．1 B．－1 C．2 D．－2
2. 2点 A（ 1，y1）， B（1，y2），C（2，y3）是反比例函数 y 图象上的三个点，则 y1 ，y2 ，y3 的x
大小关系是
A． y3 y2 y1 B． y1 y3 y2 C． y2 y3 y1 D． y3 y1 y2
3．方程 x2 - x + 3 = 0的根的情况是
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
4 2．如图，在平面直角坐标系 xOy中，B是反比例函数 y = (x > 0)的图象上的
x
一点，则矩形 OABC的面积为
A．1 B． 2
C．3 D． 4
5.如图，将△ABC绕点 A逆时针旋转 100°，得到△ADE．若点 D在线段
BC的延长线上，则 B的大小为
A．30° B．40°
C．50° D．60°
6．一个扇形的圆心角是 120°，面积为 3πcm2，那么这个扇形的半径是
A． 1cm B． 3cm C． 6cm D． 9cm
k
7．如图，反比例函数 y 的图象经过点 A（4，1），当 y 1时，x的取值
x
范围是
A． x 0或 x 4 B． 0 x 4
C． x 4 D． x 4
8．抛物线 y x 1 2 t与 x轴的两个交点之间的距离为 4，则 t 的值是
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
9．如图，点 O为线段 AB的中点，点 B，C，D到点 O的距离相等，连接 AC，BD. 则下面结
论不．一．定．成立的是
A.∠ACB=90° B.∠BDC=∠BAC
C. AC平分∠BAD D. ∠BCD+∠BAD=180°
10.如图，点 A，B的坐标分别为 A（2，0），B（0，2），点 C为坐标平面内一点，BC＝1，点 M为
线段 AC的中点，连接 OM，则线段 OM的最大值为（ ）
2 1A． 2 B． 2 2 C．2 2 1 D． 2
二、填空题（本题共 16分，每小题 2分）
11．若关于 x的方程 x2 mx m 0有两个相等实根，则代数式 2m2 8m 1的值为 ．
12．如图，AB是⊙O的直径，PA，PC分别与⊙O相切于点 A，点 C，若∠P 60°，PA 3 ，则
AB的长为 ．
13．如图，在 Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=3，点 D在 AC上，且 AD=2，将点 D绕着点 A
顺时针方向旋转，使得点 D的对应点 E恰好落在 AB边上，则旋转角的度数为 ，
CE的长为 .
第 12题图 第 13题图 第 14题图
14.在平面直角坐标系 xOy y kx b(k m中，一次函数 0)与反比例函数 y (m 0)的图象交于点
x
A( 2,3)， B(1,a) , 不等式 kx b
m
的解集是
x
15.如图，一个宽为 2厘米的刻度尺 刻度单位：厘米 ，放在圆形玻璃
杯的杯口上，刻度尺的一边与杯口外沿相切，另一边与杯口外沿两个交
点处的读数恰好是 3和 9，那么玻璃杯的杯口外沿半径为______厘米．
16 3． 已 知 双 曲 线 y 与 直 线 y kx b 交 于 点 A x , y ，
x 1 1
B x2 , y2 ．若 x1 x2＞0 时，y1 y2 0，则 k 0，b 0（填
“>”、“=”或“<”）．
17. 如图，在平面直角坐标系 xOy中，已知点 A(1,0), B (3,0)，
C为平面内的动点，且满足∠ACB=90°，D为直线 y=x上
的动点，则线段 CD长的最小值为__________ .
18. 每年 3月 14日是全球国际圆周率日（π Day）．历史上求圆周率π的方法有多种，与中国传
统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔 卡西的计算方法是：当正整数 n充分大时，计算
某个圆的内接正 6n边形的周长和外切正 6n边形(各边均与圆相切的正 6n边形)的周长，再
将它们的平均数作为 2π的近似值．
当 n=1时，右图是⊙O及它的内接正六边形和外切正六边形．
（1）若⊙O的半径为 1，则⊙O的内接正六边形的边长
是 ；
（2）按照阿尔 卡西的方法，计算 n=1时π的近似值是 .
（结果保留两位小数）（参考数据： 3 1.732）
三、解答题（本题共 54分，第 19题 3分,第 20题 4分,第 21~25题，每小题 5分，第 26题 6分，
第 27题 7分，第 28题 7分）
19.解方程：2x2 - 4x - 1 = 0
20．在平面直角坐标系 xOy中，正比例函数 y mx m 0 的图象和反
k
比例函数 y k 0 的图象都经过点 A（2，2）
x
(1)求该正比例函数和反比例函数的解析式；
k
(2)当 x＞1时，对于 x的每一个值，函数 y mx n m 0 的值都大于反比例函数 y k 0 的
x
值，直接写出 n的取值范围．
21．关于 x的一元二次方程 x2-(m+4)x+3(m+1)=0 ．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一根小于 0，求 m的取值范围．
22.如图，AB是 的直径，点 C在 上 平分 ，过点 B作 于点
求证：CD是 的切线；
连接 OD，若 ， ，求 OD的长.
23 k．如图，在平面直角坐标系 xOy中，双曲线 y (x 0)经过点 A(2,3)．
x
k
已知点 P(n,n)，过点 P作 x轴的平行线交双曲线 y (x 0)于点 B，过点 P作 y轴的平行线交双
x
k
曲线 y (x 0)于点C，设线段 PB、PC与双曲线上 BC之间的部分围成的区域为图象G（不包
x
含边界），横纵坐标均为整数的点称为整点．
①当 n 4时，直接写出图象G上的整数点个数是 ；
②当图象G内只有 1个整数点时，直接写出 n的取值范围．
1
24.小平在学习过程中遇到一个函数 y x .
x 2
下面是小平对其研究的过程，请补充完整：
1
（1）函数 y x的自变量 x的取值范围是 ；
x 2
（2）下表是 y 与 x的几组对应值.
x … 2 1 0 1 1.5 1.8 2.2 2.5 3 4 5 6 …
y … 1.75 0.67 0.5 2 3.5 6.8 7.2 4.5 m 4.5 5.33 6.25 …
其中m的值为 ；
（3）①根据表格中的数据，在平面直角坐标系 xOy中，画出函数图象；
②写出此函数图象的增减性：
③过点 (0，n)作平行于 x轴的直线 l，结合图象解决问题：若直线 l与函数
y 1 x的图象有三个交点，则 n的取值范围是 .
x 2
25.如图，在 △ 中，∠ = 90°，点 为 边的中点，以 为直径作⊙ ，分别与 ，
交于点 , ，过点 作 ⊥ 于 .
(1)求证: 是⊙ 的切线;
(2)若 = 6,⊙ 的半径为 5，求 的长
26．在平面直角坐标系 xOy中，点 A（﹣1，m），点 B（3，n）在抛物线 y＝ax2+bx+c（a＞0）上．设
抛物线的对称轴为直线 x＝t．
（1）当 t＝2时，
①直接写出 b与 a满足的等量关系；
②比较 m，n的大小，并说明理由；
（2）已知点 C（x0，p）在该抛物线上，若对于 3＜x0＜4，都有 m＞p＞n，求 t的取值范围．
27．如图，在△ABC中，AB＝AC，点 D，E分别在边 AC，BC上，连接 DE，∠EDC＝∠B．
（1）求证：ED＝EC；
（2）连接 BD，点 F为 BD的中点，连接 AF，EF．
①依题意补全图形；
②若 AF⊥EF，求∠BAC的大小．
28. 在平面直角坐标系 xOy中， O的半径为 2，点 P、Q是平面内的点，如果点 P关于点 Q的
中心对称点在 O上，我们称圆上的点为点 P关于点 Q的“等距点”．
（1）已知如图 1点 P（4，0）．
①如图 1，在点Q1 3，0 ,Q2 2, 1 ,Q3 1,1 中， O上存在点 P关于点 Q的“等距点”的是
________；
②如图 2，点Q m,n ， O上存在点 P关于点 Q的“等距点”，则 m的取值范围是________；
（2）如图 3，已知点Q 1,1 ，点 P在 y x b的图象上，若 O上存在点 P关于点 Q的“等距
点”，求 b的取值范围．