2024-2025学年江苏省扬州市朱自清中学八年级（上）11月期中数学试（含答案）

2024-2025学年江苏省扬州市朱自清中学八年级（上）11月期中数学试
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列方程是一元二次方程的是( )
A. B. C. D.
2.已知为关于的一元二次方程的根，则值为( )
A. B. C. D.
3.已知，，，是成比例线段，其中，，，则线段的长为( )
A. B. C. D.
4.已如的直径为，点到直线的距离为，则与的位置关系是( )
A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 相切或相交
5.如图，，，，则的度数为( )
A. B.
C. D.
6.如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是( )
A. B.
C. D.
7.下列说法中正确的说法有个
同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点组成的图形是圆；
长度相等的两条弧是等弧；
相等的圆心角所对的弧相等；
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧；
A. B. C. D.
8.直角三角形的两直角边分别为，，外接圆的半径为，内切圆的半径为，则，，， 四者之间的关系是( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
9.已知，则的值为 ．
10.已知点为线段的黄金分割点，线段，则为 结果保留根号
11.如图，是直径，，，的度数是 ．
12.我国明代科学家徐光启在农政全书中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具筒车，如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面的上方，的半径长为米，被水面截得的弦长为米，点是运行轨道的最低点，则点到弦的距离为 ．
13.如图，已知是的直径，为外延长线上一点，切于若则的值为 ．
14.小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔，已知小明的身高是，他的影长是则塔高 ．
15.已知，且相似比为若的周长为，则的周长为 ．
16.如图，在中，，已知与的面积分别为和，则
．
17.如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为点在轴上，若正方形的边长为，则点坐标为 ．
18.如图，在以为直径半圆上，，，点是上的一动点，，连接，则的长的最小值是 ．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
19.解下列方程：
．
．
四、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.本小题分
已知关于的一元二次方程：．
求证：该方程总有两个实数根；
若等腰的腰长，另两边长、恰好是这个方程的两个实数根，求的周长．
21.本小题分
如图，在中，平分交于点，．
求证：
若，，求的长．
22.本小题分
如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点、、，点为坐标原点．网格中小正方形的边长为
该圆弧所在圆的圆心的坐标为______；
根据中的条件填空：
的半径为______；结果保留根号
点在______；填“上”、“内”或“外”
连接，则的度数为______．
23.本小题分
如图，为的直径，是弦延长线上一点，，的延长线交于点，连接．
求证：．
若的度数为，求的度数．
24.本小题分
某商场销售一批衬衫，平均每天可售出件，每件盈利元，为了扩大销售，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，若每件衬衫每降价元，商场平均每天可多售出件．
若商场每天要获得利润元，请计算出每件衬衫应降价多少元？
商场每天要获得利润有可能达到元吗？若能，请求出此时每件衬衫的利润；若不能，请说明理由．
25.本小题分
如图，直角三角形中，，点为上一点，以为直径的上一点在上，且平分．
证明：是的切线；
，，求的长．
26.本小题分
如图，为了测量山峰的高度，在处和户处竖立标杆和，标杆的高度都是，两杆相隔，并且，，，和都在同一平面内，从标杆退后到处，可看到山峰和标杆顶点在同一直线上，标杆退后到处可看到山峰和标杆顶点在同一直线上，求山峰的高度．
27.本小题分
我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于的方程的两个根是，，那么由求根公式可推出，，请根据这一结论，解决下列问题：
若，是方程的两根，则 ， ：若，是方程的两根，则 ， ；
已知，满足，，若，求的值；
已知实数，，满足，，若，求的最小值．
28.本小题分
综合探究
如图，在平面直角坐标系中，点为原点，的顶点、在轴上，在轴上，，直线分别与轴、轴、线段、直线交于点、、、．
当时，求证：．
探究线段、之间的数量关系，并说明理由．
在轴上是否存在点，使得，且以点、、为顶点的三角形与相似，若存在，请求出此时的值以及点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.度
12.米
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.【小题】
解：，
，
则，或，
；
【小题】
解：，
，
或，
．

20.【小题】
证明：，
，
无论取什么实数值，，
，
无论取什么实数值，方程总有实数根；
解：由得，
【小题】
解：由得，
，
，，
，恰好是这个方程的两个实数根，设，，
当、为腰，则，即，
解得，此时三角形的周长；
当、为腰时，，
此时，故此种情况不存在．
综上所述，的周长为．

21.【小题】
证：平分
，
【小题】
解：
即

22.【小题】
解：作弦和的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示：
【小题】
解：由题意得，，
，
，
的半径为，
故答案为：；
，，
，
在外，
故答案为：外；
如图所示，连接，
，
，
，
，
是直角三角形，即，
故答案为；．

23.【小题】
证明：如图：连接，
是的直径，
，
又，
，
，
，
；
【小题】
解：的度数为，
，
又，，
．

24.【小题】
解设每件衬衫应降价元，根据题意，得
，
解得，，
要尽快减少库存，
，
答：每件衬衫应降价元；
【小题】
解设每件衬衫应降价元
，
化简得，
，
方程无实根，
元的利润不能达到．

25.【小题】
证明：连接，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
为半径，
是切线；
【小题】
解：设，
在中，，，
，
由勾股定理，得：，
解得：，
，
．

26.，，，
，
∽，∽，
，
，，，
，，
，
，
解得，
即山峰的高度为．

27.【小题】
【小题】
解：，满足，，
、可看作方程的两根，
，，
原式．
的值为．
【小题】
解：，，
，
、为一元二次方程的两根，
，
而，
，
经检验：当时，有意义
的最小整数为．
故答案为：．

28.【小题】
证明：由知，，，
则，
则点、的坐标分别为：、，
当时，，则，
即点，
；
【小题】
解：，理由：
设直线的表达式为：，将、代入得：
，解得：．
直线的表达式为：，
联立上式和得
，解得
即点，
同理可得，点，
，
；
【小题】
分别过点、作轴，轴，
，
，
，
，
，
，
，
设点，由知，点、的坐标分别为：、，
若，如图，则，，，当时，
，
．
，，
联立方程组：
，解得：
时，，
若，，，，如图，当时，
，，
联立方程组：
，解得．
时，
若，当时，如图，，，，
，
，
，，
联立方程组：
，解得：
，
，的情况不存在，
综上，时，；时，；时，

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