2024-2025学年北京市中国人民大学附中高二（上）统练数学试卷（三）（含答案）

2024-2025学年中国人民大学附中高二（上）统练数学试卷（三）
一、单选题：本大题共10小题，共40分。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.已知直线的方向向量且过点，则的方程为( )
A. B. C. D.
3.过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为( )
A. B.
C. 或 D. 或
4.下列说法中正确的有( )
A. 若两直线平行，则两直线的斜率相等
B. 若两直线的斜率相等，则两直线平行
C. 若两直线的斜率乘积等于，则两直线垂直
D. 若两直线垂直，则两直线的斜率乘积等于
5.两平行直线与之间的距离为( )
A. B. C. D.
6.已知直线：与直线：，则“”是“的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.已知一条光线从点发出被直线反射，若反射光线过点，则反射光线所在的直线方程为( )
A. B. C. D.
8.已知圆经过，两点，且圆心在直线：，则圆的标准方程是( )
A. B.
C. D.
9.如图，二面角的大小为，棱上有，两点，线段，，，若，，，则线段的长为( )
A. B. C. D.
10.若直线与直线交于点，则到坐标原点距离的最大值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共5小题，共20分。
11.已知直线：，：，若，则实数 ______．
12.已知点，，若直线：与线段相交，则直线的倾斜角的取值范围是______．
13.已知直线：与直线：交于点，过点且与直线：平行的直线方程为______．
14.已知实数，，，满足，，，则的最大值为______．
15.已知正方体的棱长为，为的中点，点在正方体的表面上运动，且满足平面平面E.给出下列四个结论：
的面积的最大值为；
满足使的面积为的点有且只有个；
点可以是的中点；
线段的最大值为．
其中所有正确结论的序号是______．
三、综合题：共40分。
16.已知的顶点为，，．
求边的垂直平分线的一般式方程；
求的外接圆的方程．
17.如图，在五面体中，四边形是矩形，，．
求证：；
从下面三个条件中选择一个作为已知，使五面体存在求直线与平面所成角的正弦值．
条件：平面平面
条件：平面平面
条件：
注：如果选择的条件不符合要求，得分；如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18.如图，设直线：，：点的坐标为过点的直线的斜率为，且与，分别交于点，的纵坐标均为正数．
设，求面积的最小值；
是否存在实数，使得的值与无关？若存在，求出所有这样的实数；若不存在，说明理由．
19.已知集合的元素个数为且元素均为正整数，若能够将集合分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合，，，即，，，，其中，，，且满足，，，，，，则称集合为“完美集合”．
Ⅰ若集合，，判断集合和集合是否为“完美集合”？并说明理由；Ⅱ已知集合为“完美集合”，求正整数的值；
Ⅲ设集合，证明：集合为“完美集合”的一个必要条件是或
参考答案
1.
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9.
10.
11.或
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13.
14.
15.
16.解：设中点为，
因为，．
所以，
由题意得，所以边上高的斜率为，
又因为的垂直平分线过点，
所以的垂直平分线的方程为：，即．
设的外接圆的方程为．
将，，三点坐标代入上式得，解得．
所以圆的方程为，即．
17.解：证明：因为四边形为矩形，所以，
又平面，平面，
所以平面，
又平面平面，平面，
所以；
若选条件：平面平面，
则平面平面，，平面，
所以平面，平面，所以，
但是，因此不可能，所以选择条件的五面体不存在，
若选择条件：平面平面，
取的中点，的中点，连接，，
则，由，得，且，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，由平面，得，
建立如图空间直角坐标系，，，，，，，
则，
设为平面的一个法向量，
则，
令，得，，所以，
，
设直线与平面所成角为，则．
所以直线与平面所成角的正弦值为．
若选择条件：，
由于，，，，平面，
所以平面，平面，所以平面平面，
因为平面平面，平面，
所以平面，由平面，得，
建立如图空间直角坐标系，，，，，，，
则，
设为平面的一个法向量，
则，
令，得，，所以，
，
设直线与平面所成角为，则．
所以直线与平面所成角的正弦值为．
18.解：直线过点，且斜率为，
直线的方程为，
直线与，分别交于点，，，
因此由，得，即，
由，得，即
又，的纵坐标均为正数，，即．
而，因此．
又当时，直线的方程为，
则，，且，
点到直线的距离为，
点到直线的距离为，
因此的面积．
令，则且，因此
，当且仅当，即时，等号成立，
的最小值为，即面积的最小值为；
存在实数，使得的值与无关．
由知：，，且．
因此，，
．
又，当时，为定值，
因此存在实数，使得的值与无关．
19.解：Ⅰ将分为，，满足条件，是完美集合．将分成个，每个中有两个元素，则，；中所有元素之和为，，不符合要求．
Ⅱ若集合，，根据完美集合的概念知集合；
若集合，，根据完美集合的概念知集合；
若集合，，根据完美集合的概念知集合；
故的可能值为：，，中任一个．
Ⅲ证明：中所有元素之和为：
；
；
；
；
等式左边为正整数，则等式右边可以被整除；
或，即或
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