衡水金卷·2025年普通高等学校招生全国统一考试模拟（一）数学试题（含答案）

衡水金卷·2025年普通高等学校招生全国统一考试模拟（一）数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知，则( )
A. B. C. D.
3.在中，，分别是边，的中点，点满足，则( )
A. B. C. D.
4.已知，，则( )
A. B. C. D.
5.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，体积相等，且它们的侧面积之比为，则圆锥的高与底面半径之比为( )
A. B. C. D.
6.若函数在上是增函数，则的取值范围为( )
A. B.
C. D.
7.函数在区间上的零点个数为( )
A. B. C. D.
8.已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，且在区间上是增函数记，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某体育器材厂生产一批篮球，单个篮球的质量单位：克服从正态分布，则( )
A.
B. 越小，越大
C.
D.
10.已知是函数的极小值点，则( )
A.
B. 在区间上的值域为
C. 不等式的解集为
D. 当时，
11.已知曲线上的点满足：到定点的距离与到定直线的距离之和为，则( )
A. 恰好经过个整点横、纵坐标均为整数的点
B. 当点在上时，
C. 上的点到直线的距离的最大值为
D. 上的点与点的距离的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，，是上关于原点对称的两点，且，，则的离心率为_________．
13.若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 ．
14.某盒子中有个大小相同的球，分别标号为，，，，从盒中任取个球，取出的个球的标号之和“能被整除的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记的内角，，所对的边分别为，，，已知：
求
若的面积为，，求的周长．
16.本小题分
已知椭圆：的离心率为，点在上．
求的方程；
记的上顶点和右顶点分别为，，过原点的直线与交于点，，与直线交于点，且点，均在第四象限，问是否存在直线，使得的面积是其中为原点面积的倍？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
17.本小题分
如图，在多面体中，，，四边形是边长为的菱形，为棱上一点．
若，证明：平面
若平面，，，直线与平面所成角的正弦值为，求的长．
18.本小题分
已知函数，
求的最值
若在定义域内单调递增，求的取值范围
当时，，求的取值范围．
19.本小题分
记数列的前项和为，若对任意，，则称是“数列”．
若，判断是否是“数列”，并说明理由
若是首项为，公比为的等比数列，且数列和均是“数列”．
(ⅰ)求的取值范围
(ⅱ)当时，若在所有数列中随机抽取一个数列，求在的条件下，恰为偶数的概率．
若等差数列是首项为的“数列”，且，求正整数的最小值，以及取最小值时相应数列的公差．
参考答案
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15.解：因为，
所以由正弦定理得，
即，
即，
所以，
又，所以，
所以，即，
因为，所以，
所以，则．
因为的面积为，，
所以，解得．
由正弦定理得，
所以，，
因为，，
所以，解得，
则由余弦定理得，
即，解得，
所以，所以的周长为．
16.解：由题意，解得，
所以椭圆的方程为
存在，
如图：
由知，，
所以直线的方程为，
设直线，，
联立，消去可得，解得，
则，
所以，，
由得，
若，则，
由椭圆的对称性可得，
所以，即，
所以，
化简整理可得，解得或，
此时直线的方程为或
17.解：在棱上取一点，使得，
连接，，则，
因为，所以，
因为平面，平面，
所以平面．
由，得，又，且，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以平面．
又，，平面，
所以平面平面，
又平面，所以平面．
因为平面，，所以平面，
又平面，所以，因为，，
所以，又，所以，所以，
所以，，两两垂直，以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，
设，，则，所以
设平面的法向量为，
则，即
取，则，，所以，
设直线与平面所成的角为
则，，
整理得，解得，
因为，所以，所以．
18.解：因为，
所以，
令，得令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为，无最大值．
由题得，，
因为在定义域内单调递增，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
即在上恒成立，
所以．
令，，则，
令，得令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以，则，
所以的取值范围为
由，得，
由可得当时，，当，时，，
故当时，恒成立，必有．
令，，
则对，恒成立，且，
因为，
所以，
当，即时，，
则存在，使得在上成立，
所以在上单调递减，此时，不符合题意
当，即时，
，
所以在上单调递增，所以．
综上，的取值范围为
19.解：数列为“数列”理由如下：
因为，
所以当时，
当时，，满足该式，
所以，
所以对任意，，
所以，满足，
所以数列为“数列”．
由题得，因为数列为“数列”，
所以对任意，，所以
当时，，显然满足，
所以当时，数列为“数列”
当时，，因为数列为“数列”，
所以对任意，，
当时，，
即，对任意恒成立，即解得
当时，，
即，对任意恒成立，
即解得
综上，的取值范围为．
(ⅱ)由可知，若，则，，．
记事件该数列的公比，事件恰为偶数，
则所求概率为．
设数列的公差为，由，且，
得，
所以，解得
因为，
所以，即，
所以，则，所以，
所以正整数的最小值为，此时公差．
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