2024-2025学年内蒙古赤峰市高三（上）月考数学试卷（11月份）（PDF版，含答案）

2024-2025 学年内蒙古赤峰市高三（上）月考数学试卷（11 月份）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知 ， 是两个实数， ： 2 2 3 ≤ 0， ：0 ≤ ≤ 2，则 是 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.下列说法正确的是( )
A. 若 > > 0，则 > B. 若 > ，则| | > | |
+
C. 若 < < 0，则 2 > D. 若 > > ，则 >
+
3.已知 ， ∈ ， + lg(2 ) = 1，则4 + 的最小值为( )
A. 2√ 2 B. 4√ 2 C. 2√ 5 D. 4√ 5
1 3
4.已知sin( + ) = ，sin( ) = ，则 的值为( )
5 5 tan
1 1
A. . 2 B. . 2 C. D. ．
2 2
5.已知集合 = {( , )| ， ∈ }，集合 = {( , )|0 < < 2，0 < < 1}，集合 = {( , )| ≤ }，则以
下元素属于集合 ∩ ( )的是( )
1 1 1 1 1 3 1
A. ( , 1) B. ( , ) C. ( , ) D. ( , )
4 2 4 4 2 4 2
1
6.已知 = 1.01， = ， = 1.04，则 ， ， 的大小关系是( )
1.02
A. > > B. > > C. > > D. > >
1
7.已知函数 ( ) = 在区间( , 2)上存在极值点，则 的取值范围是( )
2
1 2 1 2 1 2
A. ( 2 , ) B. ( , ) C. ( √ 2 2 √ 2 2
, ) D. ( 2 , ) 2 2

8.在锐角三角形 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 = , = 4，点 为 的中点，则中线
3
的取值范围是( )
4√ 3 2√ 21 4√ 3 2√ 21
A. (2,2√ 3] B. ( , 2√ 3] C. ( , 2√ 3] D. ( , ]
3 3 3 3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在同一直角坐标系中，函数 ( ) = log ( + 1)， ( ) = ( 1)
2 可能的图象是( )
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A. B.
C. D.
10.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列
为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设 ∈ ，用[ ]表示不超过 的最大整数，则 = [ ]称
为高斯函数，如[3.24] = 3，[ 1.5] = 2.若 ( ) = [ ]，则( )
A. 当2024 ≤ < 2025时， ( ) = 2024
B. ( + 1) ( ) = 1
C. 函数 ( )是增函数
D. 函数 ( )的值域为[0,1)
4
11.已知函数 ( ) = sin( + )(0 < < )的周期为 ，且满足 ( ) = ( + )，则下列说法正确的是
3
( )
5
A. ( )在区间(0, )上单调递减
12
7
B. 直线 = 是函数 = ( )图象的对称轴
6
11
C. ( )在区间( , )上有两个对称中心
12 12
1 3034
D. 若 ( ) = 在区间[ , ]上有2024个根，则| |的最小值为
2 3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
( + 4), > 0
12.已知函数 ( ) = { ，则不等式 ( ) ≥ (2 1)的解集是______．
( 4), ≤ 0
13.函数 ( )在 上的导数为 ′( )，若 ( ) ′( ) < 0，且 ( 1) = 2025 (2024)，则 = ______．

14.在半径为1，圆心角为 的扇形中， 是弧上的动点， 是扇形的内接矩形，则矩形 面积的最
3
大值为______．
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知 ， ， 分别为△ 三个内角 ， ， 的对边， + √ 3 = 0
(1)求 ；
(2)若 = 2，△ 的面积为√ 3；求 ， ．
16.(本小题15分)
1
已知幂函数 ( )的图象过点(3,9)， ( ) = ( ) ．
2
(1)求 ( )的解析式；
(2)记 ( )， ( )在区间[1,2)上的值域分别为 ， ，若 ∈ 是 ∈ 的必要条件，求实数 的取值范围；
( )+2 +
(3)设 ( ) = ，对 1 ∈ [0,1]， 2 ∈ ( ∞, 0)使得 ( 1) ≤ ( 2)成立，求正实数 的最小值．
17.(本小题15分)
2 1 √ 3已知函数 ( ) = √ 3 + ( > 0, > 0)在一个周期内的图象如图所示，其中点 为图
2 2 2
象上的最高点，点 ， 为图象与 轴的两个相邻交点，且△ 是边长为4的正三角形．
(1)求 与 的值；
4 1
(2)将函数 ( )的图象向右平移 个单位长度，再把横坐标变为原来的 (纵坐标不变)，得到函数 = ( )的
3 2
√ 3 1
图象.若 (2 ) = ， ∈ (0, )，求cos( )的值．
3 2 3
18.(本小题17分)
某同学设计了如图2所示的徽章图案，其由三块全等的矩形经过如图1所示的方式折叠后拼接而成.已知矩形
的周长为8 ，设其中较长边 为 ，将△ 沿 向△ 折叠， 折过后交 于点 ．
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(1)用 表示图1中△ 的面积；
(2)现决定按此方案制作一枚徽章，要求将徽章的六个直角(如图2阴影部分)双面镀金(厚度忽略不计)，已知
镀金的价格是2元/ 2，试求将这枚徽章镀金所需的最大费用．
19.(本小题17分)
2024年9月25日，我国向太平洋发射了一发洲际导弹，我国洲际导弹技术先进，飞行轨迹复杂，飞行时需要
导弹上的计算机不断计算导弹飞行轨迹的弯曲程度，导弹的陀螺仪才能引导导弹精准命中目标.为此我们需
要刻画导弹飞行轨迹的弯曲程度．
如图所示的光滑曲线 ： = ( )上的曲线段 ，其弧长为 ，当动点从 沿曲线段 运动到 点时， 点
的切线 也随着转动到 点的切线 ，记这两条切线之间的夹角为 (它等于 的倾斜角与 的倾斜角之差).
显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因

此可以定义 = | |为曲线段 的平均曲率；显然当 越接近 ，即 越小， 就越能精确刻画曲线 在点

| ″|
处的弯曲程度，因此定义 = → 0| | = 3 (若极限存在)为曲线 在点 处的曲率. (其中 ′， ″分别 2
(1+ ′ )2
表示 = ( )在点 处的一阶、二阶导数)
(1)求函数 ( ) = 2 3 4在点( 1,0)处的曲率；
(2)已知函数 ( ) = + ，求函数 ( )的曲率 的最大值．
3 1 8
(3)设函数 ( ) = 2 3 2， ∈ (0, )，若存在 1， 2使得 ( )的曲率为0，求证：2 1 + > ． 3 2 2 3
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
1
12.【答案】[ , 1]
3
13.【答案】2025
√ 3
14.【答案】
6
15.【答案】解：(1)由正弦定理得： + √ 3 = 0，
即 + √ 3 = +
∴ + √ 3 = sin( + ) + ，
即√ 3 = 1
1
∴ sin( 30°) = ．
2
∴ 30° = 30°
∴ = 60°；
1 √ 3
(2)若 = 2，△ 的面积= = = √ 3，
2 4
∴ = 4. ①
再利用余弦定理可得： 2 = 2 + 2 2
= ( + )2 2 = ( + )2 3 × 4 = 4，
∴ + = 4. ②
结合①②求得 = = 2．
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16.【答案】解：(1)设 ( ) = ，根据题意可得3 = 9，解得 = 2，
所以 ( )的解析式为 ( ) = 2．
(2)根据题意函数 ( ) = 2在区间[1,2)上的值域为[1,4)，
1 1 1
而 ( ) = ( ) 区间[1,2)上的值域为( , ],
2 4 2
1 1
根据 ∈ 是 ∈ 的必要条件可知( , ] [1,4)，
4 2
1 1 7 3
所以 ≥ 1且 < 4，解得 ∈ ( , ].
4 2 2 4
( )+2 + 2+2 +
(3)根据题意函数 ( ) = = = + 2 + ( > 0)，

对 1 ∈ [0,1]， 2 ∈ ( ∞, 0)使得 ( 1) ≤ ( 2)成立，
所以 ( ) ≤ ( ) ，
1
函数 ( ) = ( ) 在区间[0,1]上单调递减，因此 ( ) = (0) = 1 ， 2

函数 ( ) = + 2 + 在( √ , 0)上单调递增，在区间( ∞, √ )上单调递增，

因此 ( ) = ( √ ) = 2 2√ ，
设1 ≤ 2 2√ ，解得3 2√ 1 ≥ 0，
1
解得√ ≥ 1或√ ≤ (舍)，即 ≥ 1，
3
所以正实数 的最小值为1．
+1 1 √ 3
17.【答案】解：(1)由已知可得 ( ) = √ 3 + ，
2 2 2
√ 3
= + ，
2 2

故 ( ) = ( + )， > 0，
3

∵ = = 4，
2
∴ = 8
2
∴ = = ，
8 4
√ 3
由题图可知，正三角形 的高即为函数 ( )的最大值 ，则 = = 2√ 3．
2

(2)由(1)可知 ( ) = 2√ 3sin( + )．
4 3
4 1
由函数 ( )的图象向右平移 个单位长度，再把横坐标变为原来的 ，得 = ( )图象可知： ( ) = 2√ 3sin ，
3 2 2
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√ 3 1
由 (2 ) = 得， = ，
3 6

由 ∈ (0, )，
2
√ 35
从而 = √ 1 sin2 = ，
6
√ 35 1 1 √ 3 √ 35+√ 3
故cos( ) = + = × + × = ．
3 3 3 6 2 6 2 12
18.【答案】解：(1)已知矩形 的周长为8 ，设其中较长边 为 ，
将△ 沿 向△ 折叠， 折过后交 于点 ，
因为 = ，所以 = 4 ，
又因为 为较长边，所以4 < < 4，即2 < < 4，
设 = ，则 = ，
因为∠ ′ = ∠ ，∠ ′ = ∠ ， = ′，
所以 △ ≌ △ ′ ，所以 = = ，
在 △ 中，由勾股定理得 2 + 2 = 2，
2 4 +8
即(4 )2 + ( )2 = 2，解得 = ，

4 8 8
所以 = = = 4 ，

1 1 8 8
所以△ 的面积 = = (4 ) (4 ) = 12 2( + )(2 < < 4)(单位： 2)；
2 2
(2)现决定按此方案制作一枚徽章，要求将徽章的六个直角(如图2阴影部分)双面镀金(厚度忽略不计)，
8
设一枚徽章的镀金费用为 元，则 = 6 × △ × 2 × 2 = 24 × [12 2( + )]，
8 8
由基本不等式可知： + ≥ 4√ 2，当且仅当 = ，即 = 2√ 2时等号成立，

8
= 24 × [12 2( + )] ≤ 24 × (12 8√ 2) = 96(3 2√ 2)，

所以当 = 2√ 2时，一枚徽章的镀金部分所需的最大费用为96(3 2√ 2)元．
19.【答案】解：(1)由题意可得， ′( ) = 2 3， ″( ) = 2，
则 ′( 1) = 5， ″( 1) = 2，
2 2
所以函数 ( ) = 2 3 4在点( 1,0)处的曲率为 = 3 = 3；
2
(1+( 5) )2 262
(2)由 ′( ) = ， ″( ) = ，
可得| ′( )|2 = cos2 + sin2 2 = 1 2 ，
| ″( )|2 = sin2 + cos2 + 2 = 1 + 2 ，
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2
2 | ″( )| 1+ 2 所以 = 2 3 = 3，
(1+[ ′( )] ) (2 2 )
令 = 2 ，则 ∈ [ 1,1]，
1+ 1+
∴ 2 = 3，令 ( ) = 3，
(2 ) (2 )
3 2
(2 ) [ 3(2 ) ](1+ ) 5+2
则 ′( ) = 6 = 4 > 0，
(2 ) (2 )
所以 ( )在[ 1,1]上单调递增，所以 ( ) = (1) = 2，
所以 = √ 2，当且仅当 = 2 = 1时取到，
所以曲率 的最大值为√ 2；
(3)证明：由题意可得 ′( ) = 2 2 2 ， ″( ) = 2 2 ，

若 ( )曲率为0，则 ″( ) = 0，即 = 0，即 = ，

1
令 ( ) = ， > 0，则 ′( ) = 2 ，令 ′( ) = 0，得 = ，
当 ∈ (0, )时， ′( ) > 0，当 ∈ ( , +∞)上， ′( ) < 0，
故 ( )在(0, )上单调递增，在( , +∞)上单调递减，
1
所以 ( ) = ( ) = ，

又 > 1时， ( ) = > 0恒成立，

1
又 ∈ (0, )，所以 = ( )有两个解．

设为 1， 2，0 < 1 < < 2，
1 2 1 = 0 又 = = ，所以{ 1 ，可设 1 = 1 = ， ∈ (0,1)，
1 2 2 2 = 0 2 2
1 所以 = 2 = ， ∈ (0,1)， + = ，
2
2 2
2

化简可得 2 = ，则 = ． 1 1 1
8 (2 +1) 8
要证2 1 + 2 > ，即证 > ， 3 1 3
8( 1) 8( 1)
需要证 < ，即证 < 0，
3(2 +1) 3(2 +1)
8( 1)
令 ( ) = ，
3(2 +1)
2 2
1 8 (2 +1) 8 (2 1)
′( ) = 2 = 2 = 2 ≥ 0 (2 +1) (2 +1) (2 +1)
所以 ( )在(0,1)上单调递增，
所以 ( ) < (1) = 0，得证．
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