上海市杨浦高级中学2016届高三3月月考数学（文理）试题

2016届杨浦高级中学月考卷
数学考试卷
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
抛物线的焦点坐标为_______________．
已知全集，集合，则_________．
如果，则的取值范围是______________.
关于的方程：的解为_______________．
不等式的解集为______________.
向量在正方形网格中的位置如图所示.
若，则=__________.4
已知数列满足（），则=____________．
在的展开式中，的系数为_____________．20160
（理）在极坐标系中，将圆沿着极轴正方向平移两个单位后，再绕极点逆时针旋转弧度，则所得的曲线的极坐标方程为_____________．
（文）一个几何体的三视图如图所示.若该几何体的表面积为，则其高=_____________．4
10. 5位好朋友相约乘坐迪士尼乐园的环园小火车。小火车的车厢共有4节，设每一位乘客进入每节车厢是等可能的，则这5位好朋友无人落单（即一节车厢内，至少有5人中的2人）的概率是___________．
11. 已知定义在上的函数对于任意的都满足．当时，.若函数至少有6个零点，则的取值范围是____________．
12. （理）一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为，得2分的概率为（），不得分的概率为．若他投篮一次得分的数学期望，则的取值范围是_____________．
（文）设全集，，若恒成立，则实数的最大值是___________．
13.(理) 在实数集中，我们定义的大小关系“”为全体实数排了一个“序”。类似的，我们在复数集上，也可以定义一个称为“序”的关系，记为“” ．定义如下：
对于任意两个复数，当且仅当“”或者“” ．按上述定义的关系“”，给出如下四个命题：
① ；
② 若，则；
③ 若，则对任意，都有；
对于复数，若，则.
其中真命题的序号为____________________．①②③
（文）已知数列满足：（为正整数），，若，则所有可能的取值构成的集合为________________.
14. （理）符号表示数列的前项和（即）。已知数列满足（），记，若，则当取最小值时，=___________.（1007）
（文）在实数集中，我们定义的大小关系“”为全体实数排了一个“序”。类似的，我们在复数集上，也可以定义一个称为“序”的关系，记为“” ．定义如下：
对于任意两个复数，当且仅当“”或者“” ．按上述定义的关系“”，给出如下四个命题：
① ；
② 若，则；
③ 若，则对任意，都有；
④ 对于复数，若，则.
其中真命题的序号为____________________．①②③
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填写结果，选对得5分，否则一律得零分．
15. 在样本的频率分布直方图中，共有9 ( http: / / www.21cnjy.com )个小长方形，若第一个长方形的面积为0.02，前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差互为相反数，若样本容量为160，则中间一组（即第五组）的频数为（ C ）
A. 12 B. 24 C. 36 D. 48
16. 已知为双曲线的一个焦点，则点到的一条渐近线的距离为（ A ）
A. B. 3 C. D.
17. 将函数的图像向左平移个单位长度后所得到的图像关于轴对称，则的最小值为（ B ）
A. B. C. D.
18. 在半径为的球内有一内接正三棱锥。它的底面三个顶点恰好都在同一个大圆上，一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经过其余三点后返回。则经过的最短路程是（ C ）
A. B. C. D.
三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
19.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题5分，第2小题7分。
如图：已知四棱锥，底面是边长为6的正方形，，面，
点是的中点，点是的中点，连接、、．
（1）求证：；
（2）求二面角的大小．
（文）（1）求证：
（2）求异面直线与所成角的大小.
（理）（1）解法1：取AB中点T，连接MT、NT，
① …………………… 2分
② …………………… 4分
由①②得
所以 …………………… 5分
解法2：分别以AD、AB、AP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则…………………… 2分
得, …………………… 4分
…………………… 5分
（2）（理）取平面AMB的一个法向量为 …………………… 1分
设平面AMN的法向量，又,
由，取平面AMN的一个法向量，……………… 4分
设二面角为，则=…………… 7分
所以二面角的大小为
（文）分别取中点,连接，
所以异面直线与所成角的大小即相交直线与所成角的大小…………………… 2分
在中可求得，…………………… 4分
从而由余弦定理可求得，…………………… 6分
所以异面直线与所成角的大小为.…………………… 7分
20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。
已知向量和向量，且.
（1）求函数的最小正周期和最大值；
（2）（理）已知的三个内角分别为，若有，，求面积的最大值.
（文）已知的三个内角分别为，若有，，，求的长度.
解：（1）由条件得 ……………………2分
得 ……………………4分
则函数的最小正周期为，最大值为2……………………6分
（2）（理）由，得，
，即…………3分
又，，………………6分
当且仅当时取等号
（或由正弦定理得：，
当且仅当时取等号………………6分）
所以面积的最大值为.…………………8分
（文）由，得，
，即…………3分
由正弦定理得 ………………6分
得 …………………8分
21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题7分，第2小题7分。
某地拟模仿图(1)建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图(2)所示：曲线是以点为圆心的圆的一部分，其中；曲线是抛物线的一部分；，且恰好等于圆的半径.
若要求米，米，求与值；
当时，若要求体育馆侧面的最大宽度不超过米，求的取值范围.
解：（1）因为，解得. …………… 3分
此时圆，令，得，
所以，
将点代入中，解得. ………… 7分
（2）因为圆的半径为，所以，在中令，，则由题意知对恒成立，………… 9分
所以恒成立，而，当，即时，
由()递减,可知：当取最小值…… 12分
故，解得. …………14分
22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分。
如图数表：
每一行都是首项为1的等差数列，第行的公差为，且每一列也是等差数列，设第行的第项为.
（1）证明：成等差数列，并用表示（）；
（2）当时，将数列分组如下：
（），（），（），…（每组数的个数构成等差数列）. 设前组中所有数之和为，求数列的前项和；
（3）在（2）的条件下，设是不超过20的正整数，当时，求使得不等式恒成立的所有的值.
解：(1) 由题意，，且，
得，即
所以成等差数列 .............2分
由且
即
化简得 ...............4分
当时， ...................6分
按数列分组规律，第组中有个奇数，
所以第1组到第组共有个奇数.
则前个奇数的和为， ...................................7分
即， ...............................8分
从而
利用“错位相减法”得 .................................10分
由得.
令 ........................12分
当时，都有，即.......................13分
而，
且当时，单调递增，故有. ..............................14分
所以，满足条件的所有正整数. ..............................16分
23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
如图，圆与直线相切于点，与正半轴交于点，与直线在第一象限的交点为. 点为圆上任一点，且满足，以为坐标的动点的轨迹记为曲线．
（1）求圆的方程及曲线的方程；
（2）若两条直线和分别交曲线于点和，求四边形面积的最大值，并求此时的的值．
（3）（理科）①根据曲线的方程，研究曲线的对称性，并证明曲线为椭圆．
（文科）已知曲线的轨迹为椭圆，研究曲线的对称性，并求椭圆的焦点坐标．
解：（1）由题意圆的半径，
故圆的方程为. ………………2分
由得，，将代入
得（）为曲线的方程.
（未写范围不扣分）…………4分
（2）由
得,，
所以，同理 ( http: / / www.21cnjy.com ). ……………6分
由题意知 ，所以四边形的面积.
( http: / / www.21cnjy.com )
∵ ，∴ . …………8分
当且仅当时等号成立，此时.
∴ 当时，四边形的面积最大值为. ………………10分
（3） 曲线的方程为（），它关于直线、和原点对称，………11分
下面证明：
设曲线上任一点的坐标为，则，点关于直线的对称点为，显然，所以点在曲线上，故曲线关于直线对称，
同理曲线关于直线和原点对称. ………12分
证明：求得和直线的交点坐标为，
和直线的交点坐标为，
，，，.
在上取点 .
设为曲线上任一点，则
（因为）
.
即曲线上任一点到两定点的距离之和为定值.
若点到两定点的距离之和为定值，可以求得点的轨迹方程为（过程略）.
故曲线是椭圆，其焦点坐标为. ………………18分
h
4
2
5
主视图
俯视图
左视图
样本数据
频率
组距
P
N
B
A
D
M
C
第19题图
图（1）
x
y
O
A
B
C
D
图（2）
E
·
F