湖北省恩施市小渡船初中2024-2025学年上学期八年级12月数学试题卷（含答案）

2024-2025学年八年级数学上学期12月考卷
第一部分（选择题 共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1．下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列各项计算结果是a8的是（　　）
A．a4 a2 B．a2+a4 C．（a3）5 D．a10÷a2
3．如图，将△ABC沿着平行于BC的直线DE折叠，点A落在点A'处，若∠B＝44°，则∠A'DB的度数是（　　）
A．44° B．92° C．108° D．88°
4．下列运算正确的是（　　）
A．（﹣2a）2＝﹣4a2 B．（a﹣b）2＝a2﹣b2
C．（﹣m+2）（﹣m﹣2）＝m2﹣4 D．（a5）2＝a7
5．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，EF垂直平分BC交BC于点E，交BD于点F，连接CF，若∠A＝60°，∠ABD＝25°，则∠ACF的度数为（　　）
A．25° B．45° C．50° D．70°
6．若（x2﹣px+q）（x﹣3）展开后不含x的一次项，则p与q的关系是（　　）
A．p＝3q B．p+3q＝0 C．q+3p＝0 D．q＝3p
7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CD于点D，BE⊥CD于点E．若BE＝7，CE＝3，则△ADE的面积是（　　）
A．6 B．21 C．12 D．24
8．已知2m﹣n＝3，4m2﹣3mn+n2＝14，则mn的值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，边AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，边AC的垂直平分线交AC于点F，交BC于点G，连接AE，AG．则∠EAG的度数为（　　）
A．35° B．30° C．25° D．20°
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD为AC边上的高，BE平分∠ABD，点F在BD上，连接EF并延长交BC于点G，若BG＝EG，∠A＝2∠DEF，有下列结论：①∠DEF＝∠CBD；②∠ABE+∠CBD＝45°； ③EG⊥BC； ④BF＝CE．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．4个 C．3个 D．2个
第二部分（选择题 共90分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）
11．已知点A（a+3，5）与点B（5，b）关于y轴对称，则b﹣a的值是 　 　．
12．如果x2+2（m﹣1）x+4是一个完全平方式，则m＝　 　．
13．一个正方形、一个正三角形和一个正五边形如图摆放，若∠3＝34°，则∠1+∠2＝　 　°．
14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝12cm，动点P从点A出发，沿AB向点B运动，动点Q从点B出发，沿BC向点C运动，如果动点P以2cm/s，Q以1cm/s的速度同时出发．设运动时间为t（s），P、Q在运动过程中，△PBQ的形状不断发生变化，当t　 　时，△PBQ是直角三角形．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC，E是AB上一点，且AE＝AD，连接DE，过E作EF⊥BD，垂足为F，延长EF交BC于点G．现给出以下结论：①EF＝FG；②CD＝DE；③∠BEG＝∠BDC；④∠DEF＝45°．其中正确的是 　 　．（写出所有正确结论的序号）
三、解答题（本大题共9小题，满分75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（每小题3分，共6分）计算：
（1）a2 a4+（﹣2a2）3+a8÷a2； （2）y（3﹣4y）﹣（x+2y）（x﹣2y）．
17．（每小题3分，共6分）因式分解：
（1） （a+1）2+2a（a+1）． （2）25（m+n）2﹣9（m﹣n）2．
18．（6分）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．
（1）若∠B＝30°，∠BAC＝130°，求∠E的度数；
（2）求证：∠BAC＝∠B+2∠E．
19．（每小题5分，共10分）化简求值：
（1）2（x﹣5）（x+2）﹣（x﹣1）（2x+1），其中x＝﹣2；
（2）[（a+3b）（﹣a+3b）﹣（2a﹣3b）2﹣5a（a﹣4b）]÷（2a），其中a＝2，b．
20．（8分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，1），B（4，2），
C（2，3）．
（1）在图中画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1；
（2）在图中，若B2（﹣4，2）与点B关于一条直线成轴对称，此时C点关于直线的对称点C2的坐标为 　 ；
（3）△A1B1C1的面积为 　 　．
21．（8分）如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD．
（1）如图1，若∠A＝46°，求∠E的度数；
（2）如图2，过点E作EM⊥BC，EN⊥BA，垂足分别为M，N，若AN＝2，CM＝4，求AC的长．
22．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AC，BC上，连接AE，BD交于点F，∠BAC＝∠BFE＝2∠AEB．
（1）说明：∠EAC＝∠ABD；
（2）若BD平分∠ABC，BE＝15，AF＝6，求△BEF的面积；
（3）判断EF，BF，AF之间的数量关系，并加以说明．
23．（10分）【综合实践】
图1是一个长为4b，宽为a（a＞b）的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按如图2所示的形状拼成一个大正方形．
（1）观察图1，图2，请写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系是：　 　；
（2）已知（m+n）2＝25，（m﹣n）2＝16，求m2+n2的值；
（3）如图3，C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向上分别作正方形ACDE和正方形BCFG，连接AF．若AB＝7，DF＝3，求△AFC的面积．
24．（12分）（1）如图1，∠BAD＝90°，AB＝AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E．
求证：△ABC≌△DAE．
（2）如图2，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点A是y轴正半轴上的一动点，点B在x轴的正半轴上．以OA为直角边在y轴的左边作等腰Rt△OAD，AO＝AD，连接CD，试问A点在运动过程中△AOB与△ACD面积的比值是否会发生变化？如果没有变化，请求出；若变化，请说明理由．
（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（2，6），点Q为第二象限内任一点．若△POQ是以OP为边的等腰直角三角形，请直接写出点Q的坐标．
参考答案
选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
D D B C B C A C D B
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．13 12．3或﹣1 13．
14．或6 15．①③④
三、解答题（本大题共9小题，满分75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（每小题3分，共6分）
【解答】解：（1）a2 a4+（﹣2a2）3+a8÷a2
＝a6﹣8a6+a6
＝﹣6a6； …………………………（3分）
（2）y（3﹣4y）﹣（x+2y）（x﹣2y）
＝3y﹣4y2﹣（x2﹣4y2）
＝3y﹣4y2﹣x2+4y2
＝3y﹣x2． …………………………（3分）
17．（每小题3分，共6分）
【解答】解：
（1）原式＝（a+1）[（a+1）+2a]
＝（a+1）（3a+1）． …………………………（3分）
（2）原式＝[5（m+n）]2﹣[3（m﹣n）]2
＝（5m+5n）2﹣（3m﹣3n）2
＝[（5m+5n）﹣（3m﹣3n）][（5m+5n）+（3m﹣3n）]
＝（2m+8n）（8m+2n）
＝4（m+4n）（4m+n）； …………………………（3分）
18．（6分）
【解答】（1）解：∵∠B＝30°，∠BAC＝130°，
∴∠ACD＝∠B+∠BAC＝160°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ECD∠ACD＝80°，
∴∠E＝∠ECD﹣∠B＝50°； …………………………（3分）
（2）证明∵CE平分∠ACD，
∴∠ECD＝∠ECA，
∵∠ECD＝∠B+∠E，∠BAC＝∠ECA+∠E，
∴∠BAC＝∠B+∠E+∠E＝∠B+2∠E． …………………………（6分）
19．（每小题5分，共10分）
【解答】解：（1）2（x﹣5）（x+2）﹣（x﹣1）（2x+1），
＝2（x2﹣3x﹣10）﹣（2x2﹣x﹣1）
＝2x2﹣6x﹣20﹣2x2+x+1
＝﹣5x﹣19， …………………………（3分）
当x＝﹣2时，原式＝﹣5×（﹣2）﹣19
＝10﹣19
＝﹣9； …………………………（5分）
（2）[（a+3b）（﹣a+3b）﹣（2a﹣3b）2﹣5a（a﹣4b）]÷（2a）
＝[9b2﹣a2﹣（4a2﹣12ab+9b2）﹣5a2+20ab）÷（2a）
＝（9b2﹣a2﹣4a2+12ab﹣9b2﹣5a2+20ab）÷（2a）
＝（﹣10a2+32ab）÷2a
＝﹣5a+16b， …………………………（3分）
当a＝2，b时，原式＝﹣5×2+16×（）
＝﹣10+（﹣8）
＝﹣18． …………………………（5分）
20．（8分）
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求， …………………………（3分）
（2）若B2（﹣4，2）与点B关于一条直线成轴对称，则此直线是y轴，
∴C（2，3）关于直线的对称点C2的坐标为（﹣2，3）．
故答案为：（﹣2，3）； …………………………（5分）
（3）△A1B1C1的面积为． …………………………（8分）
21．（8分）
【解答】解：（1）∵CE平分∠ACD，BE平分∠ABC，
∴，，
∵∠BAC＝46°，
∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝46°，
∴，
∵∠E＝∠ECD﹣∠EBD，
∴∠E＝23°； …………………………（4分）
（2）连接AE，作EF⊥AC于F，
∵BE平分∠ABC，EM⊥BC，EN⊥BA，
∴EM＝EN，
同理，EF＝EM，
∴EF＝EN，
在Rt△FCE和Rt△MCE中，
，
∴Rt△FCE≌Rt△MCE（HL），
∴CF＝CM＝4，
同理，AF＝AN＝2，
∴AC＝AF+CF＝4+2＝6． …………………………（4分）
22．（9分）
【解答】（1）证明：∵∠BAE+∠EAC＝∠BAC，∠BAE+∠ABD＝∠BDC，
又∵∠BAC＝∠BFE，
∴∠BAE+∠EAC＝∠BAE+∠ABD，
∴∠EAC＝∠ABD； …………………………（3分）
（2）解：过点F作FG⊥BC于点G，如图所示：
∵AB＝AC，
∴∠ABE＝∠C，
∴∠BAC＝180°﹣2∠ABE，
∴，
∴∠ABE+∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝180°﹣90°＝90°，
∴FA⊥AB，
∵BD平分∠ABC，FG⊥BC，
∴FG＝AF＝6，
∴； …………………………（3分）
（3）解：2AF＝BF﹣EF；理由如下：
在BD上截取BH＝AE，连接AH，如图所示：
在△ABH和△CAE中，
，
∴△ABH≌△CAE（SAS），
∴∠AHB＝∠AEC，∠C＝∠BAH，
∴，
根据解析（2）可知，∠BAE＝90°，
∴∠HAF＝90°﹣∠BAH＝90°﹣∠C，
∴∠HAF＝∠AHF，
∴AF＝FH＝BF﹣BH＝BF﹣AE＝BF﹣AF﹣EF，
∴2AF＝BF﹣EF． …………………………（9分）
23．（10分）
【解答】解：（1）由图2知，阴影部分正方形的面积为（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2，
故答案为：（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2； …………………………（2分）
（2）∵（m+n）2＝25，
∴m2+2mn+n2＝25①，
∵（m﹣n）2＝16，
∴m2﹣2mn+n2＝16②，
①+②得：2（m2+n2）＝41，
∴； …………………………（6分）
（3）设正方形ACDE的边长为x，正方形BCFG的边长为y，
∴x+y＝7，x﹣y＝3，
（x+y）2＝（x﹣y）2+4xy，
∴72＝32+4xy，
∴xy＝10，
∴． …………………………（10分）
24．（12分）
【解答】解：（1）∵∠BAD＝90°，∠BCA＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠1＝∠2，
∵BC⊥AC，DE⊥AC，
∴∠BCA＝∠AED＝90°，
∵AB＝AD，
∴△ABC≌△DAE（AAS）； …………………………（3分）
（2），理由如下， …………………………（4分）
作CE⊥y轴于点E，CD交y轴于点F，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
同理可证△ABO≌△CAE，
∴AO＝CE，S△ABO＝S△CAE，
∵AO＝AD，∠DAE＝∠AEC＝90°，
∴AO＝CE＝DA，AD∥CE，
∴∠ADF＝∠ECF，
∴△ADF≌△ECF（ASA），
∴S△ADF＝S△ECF，
∴S△ADC＝S△ADF+S△AFC＝S△ECF+S△AFC＝S△AEC＝S△ABO，
∴； …………………………（8分）
（3）点Q的坐标为（﹣4，8）或（﹣6，2）或（﹣2，4）．
…………………………（12分）（写对一个得1分，2个3分）．
（详解如下）：①当∠POQ＝90°时，过点P，Q分别作x轴的垂线，垂足分别为C，D，如图；
∵PO＝QO，点P的坐标为（2，6），
同理可证△POD≌△OQC，
∴QC＝OD＝2，OC＝PD＝6，
∴点Q的坐标为（﹣6，2）；
②当∠OPQ＝90°时，作PD⊥x轴于点D，作QE⊥y轴于点F，交直线PD于点E，
∵PO＝PQ，点P的坐标为（2，6），
同理可证△POD≌△QPE，
∴PE＝OD＝2，QE＝PD＝6，
∴QF＝QE﹣EF＝QE﹣OD＝4，OF＝ED＝PE+PD＝8，
∴点Q的坐标为（﹣4，8）；
③当∠OQP＝90°时，点Q的坐标为（﹣2，4）．
综上，点Q的坐标为（﹣4，8）或（﹣6，2）或（﹣2，4）．