2024-2025学年高二数学选择性必修第一册(人教A版)教学课件第一章-1.2空间向量基本定理 课件(共28张PPT)

(共28张PPT)
1.2
空间向量基本定理
第一章
学习目标
1.掌握空间向量基本定理.
2.会用空间向量基本定理对向量进行分解.
3. 会用基底法表示空间向量.
4.初步体会利用空间向量基本定理求解立体几何问题的思想.
核心素养：数学运算、直观想象
新知讲解
新知学习
一　空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c ，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝ .
我们把{a，b，c}叫做空间的一个 ，a，b，c都叫做基向量.
不共面
xa＋yb＋zc
基底
二　空间向量的正交分解
1.单位正交基底
如果空间的一个基底中的三个基向量 ，且长度都是 ，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示.
2.向量的正交分解
由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解.
两两垂直
1
思考　零向量能否作为基向量？
不能. 零向量与任意两个向量a，b都共面.
思考　怎样利用向量共线、向量共面解决几何中的证明平行、共线、共面问题？
平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题.
(1)对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使 .
(2)如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使 .
a＝λb
p＝xa＋yb
(1)θ为a，b的夹角，则cos θ＝ .
(2)若a，b是非零向量，则a⊥b .
a·b＝0
思考　怎样利用向量的数量积解决几何中的求夹角、证明垂直问题？
几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围.
思考　怎样利用向量的数量积解决几何中的求距离(长度)问题？
几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用数量积可以求得.
判断正误：
1.只有两两垂直的三个向量才能作为空间的一个基底.(　　)
2.若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量.(　　)
3.如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a与b共线.(　　)
4.对于三个不共面向量a1，a2，a3，不存在实数组(x，y，z)，使0＝xa1＋ya2＋za3.(　　)
即时巩固
×
√
×
√
×
×
×
√
一、空间的基底
典例剖析
∴e1＋2e2－e3＝λ(－3e1＋e2＋2e3)＋μ(e1＋e2－e3)＝(－3λ＋μ)e1＋(λ＋μ)e2＋(2λ－μ)e3，
∵e1，e2，e3不共面，
反思感悟 基底的判断思路
(1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底.
(2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断.
跟踪训练　(1)设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a，b，x}，②{b，c，z}，③{x，y，a＋b＋c}，其中可以作为空间一个基底的向量组有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.0个
B
解析　因为x＝a＋b，所以向量x，a，b共面.
如图，
可知向量b，c，z和x，y，a＋b＋c不共面，故选B.
(2)已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线，则x＋y＝_____.
0
解析　因为m与n共线，所以xa＋yb＋c＝z(a－b＋c).
所以x＋y＝0.
二、空间向量基本定理
解　连接A′N(图略).
反思感悟
反思感悟 用基底表示向量的步骤
(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底.
(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果.
(3)下结论：利用空间的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量.表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量.
跟踪训练
解　连接BO，
三、证明平行、共面问题
例3　如图，已知正方体ABCD－A′B′C′D′，E，F分别为AA′和CC′的中点.
求证：BF∥ED′.
∵直线BF与ED′没有公共点，∴BF∥ED′.
反思感悟 证明平行、共面问题的思路
(1)利用向量共线的充要条件来证明点共线或直线平行.
(2)利用空间向量基本定理证明点线共面或线面平行.
延伸探究
如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.求证：A，E，C1，F四点共面.
所以A，E，C1，F四点共面.
例4　如图所示，在三棱锥A－BCD 中，DA，DB，DC两两垂直，且DB＝DC＝DA＝2，E为BC的中点.(1)证明：AE⊥BC；(2)求直线AE与DC的夹角的余弦值.
四、求夹角、证明垂直问题
又DA，DB，DC两两垂直，且DB＝DC＝DA＝2，
反思感悟 求夹角、证明线线垂直的方法
利用数量积定义可得cos〈a，b〉＝ ，求〈a，b〉的大小，进而求得线线角，两直线垂直可作为求夹角的特殊情况.
跟踪训练　在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝B1B＝1，M，N分别是AD，DC的中点.求异面直线MN与BC1所成角的余弦值.
例5　已知平面α⊥平面β，且α∩β＝l ，在l上有两点A，B，线段AC α ，线段BD β ，并且AC⊥l ，BD⊥l，AB＝6，BD＝24，AC＝8，则CD＝________.
五、求距离(长度)问题
26
解析　∵平面α⊥平面β，且α∩β＝l，
在l上有两点A，B，线段AC α，线段BD β，
AC⊥ l ，BD⊥ l ，AB＝6，BD＝24，AC＝8，
∴CD＝26.
反思感悟 求距离(长度)问题的思路
选择已知长度和夹角的三个向量作为基向量，利用基底表示向量，将距离(长度)问题转化为向量的模的问题.
A
跟踪训练
1.已知a，b，c是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（ ）
A.3a，a－b，a＋2b B.2b，b－2a，b＋2a C.a，2b，b－c D.c，a＋c，a－c
C
随堂小测
解析　对于A，有3a＝2(a－b)＋a＋2b，则3a，a－b，a＋2b共面，不能作为基底；
同理可判断B，D中的向量共面.故选C.
B
D
解析　取PC的中点E，连接NE，
BD
4.(多选)已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外的任一点，则“点M与点A，B，C共面”的充分条件是（ ）
因为2＋(－1)＋(－1)＝0≠1,1＋1＋(－1)＝1,
由上可知，BD满足要求.
A.90° B.60° C.45° D.30°
B
解析　因为SA⊥底面ABC，所以SA⊥AC，SA⊥AB，
又AB⊥BC，AB＝BC＝2，
所以SC与AB所成角的大小为60° .
6.如图，已知 ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，PA⊥平面ABCD，且PA＝6，则PC的长为________.
∴PC＝7.
7
7.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是C1D1，D1D的中点，正方体的棱长为1.
1.知识清单：
(1)空间的基底.
(2)空间向量基本定理.
(3)空间向量共线、共面的充要条件.
(4)向量的数量积及应用.
2.方法归纳：转化化归.
3.常见误区：
(1)基向量理解错误，没有注意到基向量的条件.
(2)运算错误：利用基底表示向量时计算要细心.
(3)向量夹角和线线角的范围不同，不要混淆.
(4)转化目标不清：表示向量时没有转化目标，不理解空间向量基本定理的意义.
课堂小结
谢 谢！