3.2.1函数的单调性(第一课时) 课件 (共23张PPT)-高一数学同步教材精品课件(人教A版2019必修一)

(共23张PPT)
第 3 章 函数的概念及其表示
3.2.1 函数的单调性
人教A版2019必修第一册
证明函数单调性
3
探究函数的单调性
1
函数单调性的定义
2
目录
教学目标
1.理解函数的单调性及其几何意义,能运用函数图象理解和研究函数的单调性.（数学抽象）
2.会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性.（逻辑推理）
3.会求一些具体函数的单调区间.（数学运算）
情景导入
01
情景导入
泰山作为中国地理文化的象征,以其拔地通天之势屹立在齐鲁大地之上,泰山的美在于它的起伏变化.类似地,作为高中数学的核心,函数的魅力也是如此.今天我们一起来探究函数的起伏变化——函数的单调性.
探究函数单调性
02
概念讲解
观察：下面各个函数的图象
问题1:函数图象都有什么特征
图一为上升趋势，图二、图三有上升也有下降趋势.
问题2:反映了函数的哪些性质？
函数值随着自变量的增大而增大（或减小）的性质，即反映了函数图象的单调性。
概念讲解
探究：二次函数f(x)=x2的单调性
②时,随的增大而增大
任取
有
①时,随的增大而减小。
有
任取，当时
概念讲解
思考：函数各有怎样的单调性






作出函数图象可以看出
在递减，
在递增。
作出函数图象可以看出
在递增，
在递减。
函数单调性的定义
03
单调递增 单调递减
定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D I，
x1，x2∈D, 当x1f(x2),
则称函数f(x)在区间D上单调递减,
区间D为f(x)的单调递减区间.
图示
概念讲解
函数单调性的定义
注：①当函数在其定义域上单调递增(减)时，则称f(x)是增(减)函数.
②若f(x)在区间D上单调递增(减)，则称f(x)在区间D具有严格的单调性.
单调性是局部性质
概念讲解
常见的函数单调性定义的等价形式(对于任意的 )：
在D上为增函数；
在D上为减函数；
在D上为增函数；
在D上为减函数.
即自变量之差与函数值之差的乘积同号，函数为增函数；
自变量之差与函数值之差的乘积同号，函数为减函数；
概念辨析
思考：函数在定义域的某区间上存在满足，且，那么函数一定是增函数吗？
不一定是增函数，如右图
x1,x2有“任意性”，不能用特殊值判断函数的单调性.
概念辨析
练习：如图是定义在闭区间[-5,5]上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一个单调区间上,f(x)是增函数还是减函数。
解：函数f(x)的单调区间有[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5],
其中f(x)在区间[-5,-2),[1,3)上是减函数，
在区间[-2,1),[3,5]上是增函数。
函数f(x)有多个单调区间的，要用“，”或“和”来连接，不能用“∪”或“或”来连接
概念讲解
一次、二次函数及反比例函数的单调性:
(1)一次函数y=kx+b(k≠0)的单调性由系数k决定:当k>0时,该函数在R上是增函数;当k<0时,该函数在R上是减函数.
(2)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的单调性以对称轴x=为分界线.
概念讲解
(3)反比例函数y=的单调性如下表.
证明函数单调性
04
概念讲解
任取单调递增
任取单调递减
判断(证明)单调性：
函数单调性的应用：
概念讲解
例1. 根据定义，研究函数的单调性
解：函数的定义域是R，对于任意的且
都有

由 知 ，


这时，函数是增函数；



当 时， ，即 ，
这时，函数是减函数；
当 时， ，即 ，
取值
作差变形
定号
结论
概念讲解
归纳小结 利用定义证明函数单调性的步骤
(1)取值:设x1,x2是该区间内的任意两个值,且x1(2)作差变形:作差f(x1)-f(x2),并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段,转化为易判断正负的式子.
(3)定号:确定f(x1)-f(x2)的符号.
(4)结论:根据f(x1)-f(x2)的符号及定义判断单调性.
提醒:作差变形是证明单调性的关键,且变形的结果是几个因式乘积的形式.
概念讲解
练习：函数f(x)= 在定义域上是增函数
证明：定义域为[0, + ∞).
x1,x2[0, + ∞)，且x1y1-y2=
=
由x1所以，函数f(x)=在定义域上是增函数.
取值
作差变形
定号
结论
课堂小结
05
课堂小结