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教学设计
课程基本信息
学科 （数学） 年级 （七年级） 学期 (秋季)
课题 7.1.1数系的扩充和复数的概念
教科书 书 名：普通高中教材书 数学 必修 第二册 出版社：人民教育出版社 出版日期：2019年6月
教学目标
1.了解引入复数的必要性，理解从实数系扩充到复数系的过程。2.掌握复数的代数表示式及相关概念，包括虚数、纯虚数等。3.能够对复数进行分类，并用Venn图表示复数集与实数集、虚数集等的关系。4.感受数学史上数系扩充过程中的理性思维和科学精神。5.培养学生敢于质疑、勇于探索的精神，以及严谨的科学态度。
教学内容
教学重点：1. 从实数系扩充到复数系的过程与方法，复数有关概念。
教学难点：1. 复数系扩充过程的数学基本思想，复数的代数形式及其实际应用。
教学过程
1. 导入新课问题情境：通过提问一元二次方程x2 10x+40=0的求解，引出负数不能开平方的问题。进一步展示一元三次方程x3=15x+4的求解过程，使学生感受到负数开平方无法回避，从而引出复数的概念。2. 新知探究历史回顾：利用PPT展示数系扩充的历史过程，从自然数、整数、有理数到实数，再到复数的演变。强调每一次数系扩充的原因和规则，特别是引入负数和无理数的历史背景。复数的引入：通过类比自然数系到实数系的扩充过程，提问如何使方程x2+1=0有解，引出新数i。介绍数学家欧拉对复数i的引入，解释i2= 1的意义。复数的定义与性质：定义复数的一般形式a+bi（其中a,b∈R），介绍实部、虚部和虚数单位i。通过例题，讲解如何确定复数的实部和虚部，以及如何判断复数是实数、虚数还是纯虚数。复数的分类与相等：利用Venn图展示复数集、实数集、虚数集和纯虚数集之间的关系。通过例题，讲解如何判断两个复数是否相等，以及与平面向量坐标的类比。4. 应用新知：通过口头或书面方式检验学生的学习效果。例题解析：请学生说出当实数m取什么值时，复数z=m+1+(m 1)i是实数、虚数或纯虚数。复数的应用：介绍复数在电工学、量子力学、相对论、信号处理、控制系统等领域的应用实例，强调复数的重要性和实用性。5. 归纳小结知识总结：回顾本节课的主要知识点，包括数系的扩充过程、复数的引入、复数的代数形式、分类和相等。强调类比、转化与化归、特殊到一般的思想方法。情感升华：强调数系扩充过程中数学家的理性思维和科学精神，鼓励学生保持对数学的热情和好奇心。提醒学生珍惜知识的来之不易，并期待未来有学生能推动数系的进一步扩充。6. 课后作业基础作业：完成课本第70页的练习题1、2、3。拓展作业：结合本节课内容，收集从自然数系扩充到复数系的数学史料，阅读后写出自己的感悟。
板书设计
标题：7.1.1数系的扩充和复数的概念知识要点：数系扩充的历史过程复数的定义：a+bi（a,b∈R）复数的分类：实数、虚数、纯虚数
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学习任务单
课程基本信息
学科 （数学） 年级 （七年级） 学期 (秋季)
课题 7.1.1数系的扩充和复数的概念
教科书 书 名：普通高中教材书 数学 必修 第二册 出版社：人民教育出版社 出版日期：2019年6月
学习目标
1.理解数系的扩充过程：了解从自然数系到复数系的逐步扩充过程，包括整数、有理数、无理数及复数的引入背景与必要性。2.掌握复数的概念：理解复数的代数表示式（a + bi），明确实部、虚部及虚数单位i的定义。3.分类与比较：能够对复数进行分类（实数、虚数、纯虚数），并理解复数相等的定义及复数与平面点或向量的相似性。4.应用与理解：理解复数在实际应用中的重要性，如电工学、量子力学等领域的应用。5.核心素养：培养数学抽象、逻辑推理和数学运算能力，感受数学内部矛盾和实际需求在数系扩充过程中的作用。
课前学习任务
1.预习材料：了解数系扩充的基本过程及复数的引入背景。观看关于负数能否开平方的探讨及一元三次方程的求解。2.思考问题：为什么需要引入复数？复数在解决哪些问题时表现出其必要性？数系从自然数扩充到复数的过程中，每一次扩充的原因和规则是什么？尝试用求根公式求解一元二次方程 x2 10x+40=0，并思考其无解的原因。3.知识准备：复习实数系内的基本运算（加、减、乘、除）及运算法则。了解并复习一元二次方程的求解方法及判别式的使用。
课上学习任务
【学习任务一】通过教师讲解和PPT展示，深入理解从自然数系到复数系的扩充过程及每一步的原因和规则。掌握复数的代数形式（a + bi），理解实部、虚部及虚数单位i的含义。学习复数相等的定义及复数与平面点或向量的相似性。【学习任务二】分组讨论复数在实际应用中的例子，如电工学中的交流电路分析和量子力学中的波函数描述。思考并讨论复数分类（实数、虚数、纯虚数）的标准及它们在复数集中的位置关系。【学习任务三】完成例1：说出自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R及复数集C之间的关系。完成例2：指出给定复数的实部、虚部，并判断其是实数、虚数还是纯虚数。独立完成例3：当实数m取何值时，复数 z=m+1+(m 1)i 是实数、虚数或纯虚数。【学习任务四】回顾本节课学习的内容，总结数系扩充的过程及复数概念的引入。分享学习复数概念的体会和感悟，包括数学思想、逻辑推理及实际应用等方面。
推荐的学习资源
1.网络资源：搜索“复数概念及应用”相关视频和文章，了解复数在各个领域（如电工学、量子力学等）的实际应用。访问数学类网站或论坛，参与复数概念的讨论和交流，加深对知识点的理解和掌握。2.参考书籍：《复变函数论基础》（或类似书籍）：对于感兴趣的学生，可以进一步学习复数在更高级数学领域中的应用。（建议推荐的学习资源均为官方资源，避免出现非官方的二维码和链接）
备注：文档字体请使用“黑色，宋体，五号”
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作业练习
课程基本信息
学科 （数学） 年级 （七年级） 学期 (秋季)
课题 7.1.1数系的扩充和复数的概念
教科书 书 名：普通高中教材书 数学 必修 第二册 出版社：人民教育出版社 出版日期：2019年6月
作业练习
基础作业1.求解与判断求解一元二次方程 x2 10x+40=0，并判断其是否有实数解。如果无实数解，请说明原因。目的：复习一元二次方程的求解方法及实数范围内解的存在性判断。2.复数计算计算 (2+3i)+(4 5i)计算 (2+3i)*(4 5i)目的：掌握复数的基本加法与乘法运算法则。3.复数分类判断下列复数哪些是实数、哪些是虚数、哪些是纯虚数，并写出它们的实部和虚部。1.3+2i2. 43.0+3i4.－i目的：加深复数分类的理解及实部虚部的识别。提高作业4.复数方程求解1.当 m 取何值时，复数 z=m+(m2 1)i 是实数？当 n 取何值时，复数 w=(n2+1)+n 是纯虚数？目的：运用复数的性质解决方程问题，进一步理解复数实部和虚部的性质。5.复数与几何在复平面上，复数 z1=1+2i 和 z2= 3+4i 分别对应的点为 Z1和 Z2。1.求 Z1和Z2之间的距离。2.已知点 Z3对应的复数为 Z3=2 i，求 △Z1Z2Z3的面积（若三点共线则面积为0）。目的：将复数与平面几何相结合，增强复数在几何中的应用能力。6.复数与三角函数已知复数 z=，求 |z| 2和 z2，并讨论 z 2的实部和虚部与θ的关系。目的：将复数与三角函数相结合，深化对复数概念的理解。拓展作业7.数学写作结合本节课内容，再收集一些从自然数系扩充到复数系的数学史料，特别是关于负数、无理数、复数等概念的历史背景和发展过程。阅读后，写一篇短文，谈谈自己对数系扩充和复数概念的理解与感悟。目的：通过阅读历史资料，加深对数系扩充和复数概念的理解，培养学生的数学历史观和数学素养。8.探究题探索数系是否还能继续扩充？如果可以，你认为新的数系应该如何定义？它应该满足哪些性质和规则？尝试给出你的设想或猜想。目的：激发学生的数学想象力和创造力，鼓励他们思考数学领域的未知问题。
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数系的扩充和复数的概念
年 级：高一年级 学 科：数学（部编版）
主讲人：xxx 学 校：XX学校
学习目标与核心素养
1.复数系扩充过程的数学基本思想，复数的代数形式（难点）
2.从实数系扩充到复数系的过程与方法，复数的概念.（重点）
逻辑推理、直观想象
数学运算
求一元二次 方程 的根.
解
所以该一元二次方程无解.
负数能不能开平方呀？算了，我不做了
卡尔丹
问题导入
求一元三次 方程 的根.
我要试一试，积极探索，勇敢面对！
（1）因式分解为 (x 4)(x2 +4x+1)=0解得：
问题导入
求一元三次 方程 的根.
（2）利用三次方程求根公式解得：
问题导入
我要试一试，积极探索，勇敢面对！
用几何画板画出函数 图象
负数能不能开平方？
负数能不能开平方的问题，即方程 有没有解。
youmie
问题导入
数学内部
需求
数系扩充
过程
生产生活
需求
解方程
解方程
解方程
自然数集
引入
负整数
整数集
引入
分数
有理数集
引入
无理数
实数集
计数
表示相反
意义的量
平均分配、测量
度量正方形的对角线
回顾已有的数集扩充过程，可以看到，每一次扩充都与
实际需求密切相关.
例如，为了解决正方形对角线的度量，以及这样的方程在有理数集中无解的问题.
并且加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律.
有理数集
扩充
实数集
协调一致
加法运算、乘法运算
实数集
加法运算、乘法运算
有理数集
数集扩充后
复数的引入？
为了解决 这样的方程在实数系中无解的问题，我们设想引入一个新数 ，使得 是方程 的解，即使得 。
探究新知
复数的引入
依照以上设想，把实数 与 相乘，结果记作 ；把实数 与 相加，结果记作 。
探究新知
复数的概念
复数
形如的数叫做复数， 其中 叫做
虚数单位. 复数通常用字母 表示.
复数集
全体复数所构成的集合
叫做复数集.
实部,虚部
复数 都有 ，其中 和 分别叫做复数 的实部与虚部.
探究新知
注意
设复数 时，一定要有 ，
否则不能说实部为 ，虚部为 ；
虚部是复数代数形式中 的实数系数，不含 ，不能说
虚部为 .
1
2
虚数与纯虚数
对于复数，当且仅当 时，它是实数；当且仅当时，它是实数 ；当 时，它叫做虚数；当且仅当 且 时，它叫做纯虚数.
例如，都是虚数，
它们实部分别是 ，虚部分别是 ，并且其中只有 是纯虚数.
探究新知
思考
复数集 C 与实数集 R 之间有什么关系？
复数 分类如右图：
复数
实数()
虚数()
纯虚数()
非纯虚数()
复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系：
显然，实数集 R 是复数集 C 的真子集，即.
复数集
实数集
虚数集
纯虚数集
例1
请你说出下列集合之间的关系:N，Z，Q，R，C.
分析：
N：自然数集N包括所有正整数和0，
Z：整数集，包含所有正整数、负整数和0。
Q：有理数集，包含所有可以表示为两个整数之比的数。
R：实数集，包含所有有理数和无理数.
C：复数集，包含所有实数以及形如a+bi。
N Z Q R C
应用新知
例2
当实数 取什么值时，复数 是下列数？
(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数.
分析：
因为 ，所以 都是实数。由复数 是实数、虚数和纯虚数的条件可以确定 的取值.
解：
（1）当 ，即 时 ，复数 是实数.
（2）当 ，即 时 ，复数 是虚数.
（3）当 ，且 ，即 时 ，复数 是纯虚数.
应用新知
在电工学中，复数用于交流电路分析，将电压和电流表示为复数形式，模代表大小，辐角代表相位差，使电路分析更直观方便。
在量子力学中，复数用于描述粒子的波函数，使波函数的描述更完整准确，有助于更好地理解和预测粒子行为。
电工学与电路分析
量子力学
实际应用
虚数单位
实部
虚部
复数
实数()
虚数()
纯虚数()
非纯虚数()
课堂总结
1. 判断正误
（1）若 为实数，则 为虚数． ( )
（2）复数 的实部不存在，虚部为 . ( )
（3） 是纯虚数． ( )
（4）如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于，那么这两个复数相等．( )
2. 已知复数 的实部和虚部分别是 和 ，则实数 的值分别是( )
A. B. C. D.
【解析】
根据题意可得，，得
3. 已知 ，则实数 的值分别为
【解析】
∵ ，
∴ ，解得 或
或
4. 实数 分别取什么数值时，复数
（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）是0？
【解析】
由 得，或，由 得，或.
（1）当 时，复数 为实数 ，此时，或.
（2）当 时，复数 为虚数 ，此时，或.
（3）当 时，复数 为纯虚数 ，此时，.
（4）当 时，复数 为 ，此时，.
谢谢观看
