第十四章 整式的乘法与因式分解 知识梳理卷(原卷版 解析版)

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名称 第十四章 整式的乘法与因式分解 知识梳理卷(原卷版 解析版)
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文件大小 2.6MB
资源类型 试卷
版本资源 人教版
科目 数学
更新时间 2024-12-07 21:14:45

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第十四章 整式的乘法与因式分解 知识梳理卷
一、选择题
1.下列运算正确的是(  )
A. B.
C. D.
2.下列各式从左到右的变形是因式分解的是(  )
A. B.
C. D.
3.定义三角表示3abc,方框表示xz+wy,则×的结果为(  )
A.72m2n-45mn2 B.72m2n+45mn2 C.24m2n-15mn2 D.24m2n+15mn2
4.计算 的结果为(  )
A. B. C. D.-2
5.如图,在边长为a的正方形中,剪去一个边长为b的小正方形(a>b),将余下部分拼成一个梯形,根据两个图形阴影部分面积的关系,可以得到一个关于因式分解的恒等式为(  )
A. B.
C. D.
6.若 可以分解为 ,那么 的值为(  )
A.2 B.1 C.-2 D.-1
7.化简 ,结果正确的是(  )
A. B. C. D.
8.图(1)是一个长为2a,宽为2b(a>b)的长方形,用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开,把它分成四块形状和大小都一样的小长方形,然后按图(2)那样拼成一个正方形,则中间空的部分的面积是
A. B. C. D.
9.若 , , ,则 的值为(  )
A. B. C. D.
10.2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图,它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形,如图所示,如果大正方形的面积是100,小正方形的面积为20,那么每个直角三角形的周长为(  )
A.10+6 B.10+10 C.10+4 D.24
二、填空题
11.已知,,则   .
12.计算:    .
13.分解因式:    .
14.若 ,则 的值   .
15.已知m、n均为正整数,且2m+3n=5,则 =   .
16.已知的展开式中不含和项,则   .
三、综合题
17.某小区有一块长为( )米,宽为( )米的长方形地块(如图所示),物业公司计划将中间修建一小型喷泉,然后将周围(阴影部分)进行绿化;
(1)应绿化的面积是多少平方米
(2)当 时求出应绿化的面积.
18.在当今“互联网+”时代,有一种用“因式分解法”生成密码的方法:将一个多项式因式分解,如将多项式 分解结果为 .当 时, ,此时可得到数字密码 ,或者是
(1)根据上述方法,当 时,对于多项式. 分解因式后可以形成哪些数字密码(写出两个即可)?
(2)将多项式 .因式分解后﹐利用题目中所示的方法,当 时可以得到密码 ,求 的值.
19.已知 , ,求下列各式的值.
(1) ;
(2)a+b.
20.
(1)分解因式:
(2)计算:
21.
(1)如图,在平面直角坐标系中,作 关于 轴对称的 .
(2)计算: .
22.在数学课堂上,老师写出一道整式乘法题: .王建由于把第一个多项式中的“ ”抄成了“ ”,得到的结果为 ;李楠由于漏抄了第二个多项式中y的系数,得到的结果为 .
(1)求正确的a,b的值;
(2)计算这道乘法题的正确结果.
23.数学活动课上,张老师用如图1中的1张边长为a的正方形纸片A、1张边长为b的正方形纸片B和2张宽和长分别为a、b的长方形纸片C拼成了如图2所示的大正方形,观察图形并解答下列问题.
(1)由图1和图2可以得到的等式为   .(用含a,b的式子表示)
(2)想用这三张纸片拼出一个面积为的大正方形,需要A,B,C三种纸片各多少张?
(3)如图3,已知点C为线段上的动点,分别以为边在的两侧作正方形和正方形.若,且两正方形的面积之和,求图中阴影部分的面积.
24.我们将进行变形,如:,等.根据以上变形解决下列问题:
(1)已知,,则   ;
(2)若x满足,求的值;
(3)如图,在长方形中,,,点E、F分别是、上的点,且,分别以、为边在长方形外侧作正方形和,若长方形的面积为40,求图中阴影部分的面积和.
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第十四章 整式的乘法与因式分解 知识梳理卷
一、选择题
1.下列运算正确的是(  )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】【解答】解:A、,故不符合题意;
B、 , 故不符合题意;
C、 正确, 故符合题意;
D、 , 故不符合题意.
故答案为:C.
【分析】根据单项式乘单项式法则、积的乘方与幂的乘方、单项式除以单项式、合并同类项分别计算,再判断即可.
2.下列各式从左到右的变形是因式分解的是(  )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】【解答】解:A、是整式的乘法,不是因式分解,此选项不符合题意;
B、是因式分解,此选项符合题意;
C、不是因式分解,此选项不符合题意;
D、不是因式分解,此选项不符合题意.
故答案为:B.
【分析】根据因式分解的定义“把一个多项式化为几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解,也叫作分解因式”并结合各选项可判断求解.
3.定义三角表示3abc,方框表示xz+wy,则×的结果为(  )
A.72m2n-45mn2 B.72m2n+45mn2 C.24m2n-15mn2 D.24m2n+15mn2
【答案】B
【解析】【解答】解:根据题意可得:×=3×3mn×(4×2m+5n)=9mn×(8m+5n)=72m2n+45mn2,
故答案为:B.
【分析】根据题干中“三角”和“方框”的计算方法列出算式,再计算即可.
4.计算 的结果为(  )
A. B. C. D.-2
【答案】B
【解析】【解答】
= ,
= ,
=
= ,
故答案为:B.
【分析】先利用同底数幂的乘法的逆用,将原式化为,再提公因数,然后先算括号里,再算乘法即得.
5.如图,在边长为a的正方形中,剪去一个边长为b的小正方形(a>b),将余下部分拼成一个梯形,根据两个图形阴影部分面积的关系,可以得到一个关于因式分解的恒等式为(  )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】【解答】正方形中, ,
梯形中, ,
故所得等式为: ;
故答案为:D.
【分析】可分别在正方形和梯形中表示出阴影部分的面积,两式联立即可得到结果;
6.若 可以分解为 ,那么 的值为(  )
A.2 B.1 C.-2 D.-1
【答案】A
【解析】【解答】解:(x-2)(x+b)=x2+(-2+b)x-2b,
∵x2-ax-1可以分解为(x-2)(x+b),
∴-a=-2+b,-2b=-1,
∴a= ,b= ,
∴a+b=2,
故答案为:A.
【分析】先根据多项式乘以多项式进行计算,得出方程-a=-2+b,-2b=-1,求解即可。
7.化简 ,结果正确的是(  )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】【解答】 =
= .
故答案为:D.
【分析】根据同底数幂的乘法法则,即可求解.
8.图(1)是一个长为2a,宽为2b(a>b)的长方形,用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开,把它分成四块形状和大小都一样的小长方形,然后按图(2)那样拼成一个正方形,则中间空的部分的面积是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】【解答】解:由题意可得,正方形的边长为 ,故正方形的面积为 .
又∵原矩形的面积为 ,∴中间空的部分的面积= .
故答案为:C.
【分析】利用“中间空的部分的面积=正方形的面积-矩形的面积”进行计算即得.
9.若 , , ,则 的值为(  )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】【解答】解:∵ , ,
∴ ,
∴ ;
故答案为:D.
【分析】利用同底数幂的除法及幂的乘方将原式变形,然后代入计算即可.
10.2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图,它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形,如图所示,如果大正方形的面积是100,小正方形的面积为20,那么每个直角三角形的周长为(  )
A.10+6 B.10+10 C.10+4 D.24
【答案】A
【解析】【解答】根据题意得:c2=a2+b2=100,4× ab=100﹣20=80,即2ab=80,则(a+b)2=a2+2ab+b2=100+80=180,所以每个直角三角形的周长为10+ =10+ .
故答案为:A.
【分析】先求三角形的面积,根据斜边的平方是100,两直角边的乘积的一半等于三角形的面积的值最后利用完全平方公式。
二、填空题
11.已知,,则   .
【答案】25
【解析】【解答】解:因为(a+b)2=a2+2ab+b2,a2+b2=13,ab=6;
所以a+b)2=13+2×6=25;
故答案为:25.
【分析】根据完全平方公式,将a2+b2和ab的值代入求值即可。
12.计算:    .
【答案】
【解析】【解答】解:原式=
=
= ,
故答案为: .
【分析】由题意现将带分数化为假分数,然后逆用积的乘方法则“anbn=(ab)n”计算即可求解.
13.分解因式:    .
【答案】
【解析】【解答】解:原式= .
故答案为: .
【分析】根据题意,利用提公因式法和公式法进行因式分解即可。
14.若 ,则 的值   .
【答案】7
【解析】【解答】解: ,
故答案为:
【分析】利用配方将原式化为,然后代入计算即可.
15.已知m、n均为正整数,且2m+3n=5,则 =   .
【答案】32
【解析】【解答】解:∵2m+3n=5,
∴4m 8n=22m 23n=22m+3n=25=32.
故答案为:32
【分析】根据幂的乘方及同底数幂的乘法,可得4m 8n=22m 23n=22m+3n,然后整体代入计算即可.
16.已知的展开式中不含和项,则   .
【答案】10
【解析】【解答】解:
∴m-3=0,2-3m+n=0
∴m=3,n=7
∴m+n=10
故答案为:10.
【分析】本题考查整式乘法的计算方法,熟知整式乘法中多项式乘以多项式计算法则是解题关键,根据多项式乘以多项式计算法则展开合并,结合展开式中不含,可得m-3=0,2-3m+n=0解得m,n的值,即可得出答案.
三、综合题
17.某小区有一块长为( )米,宽为( )米的长方形地块(如图所示),物业公司计划将中间修建一小型喷泉,然后将周围(阴影部分)进行绿化;
(1)应绿化的面积是多少平方米
(2)当 时求出应绿化的面积.
【答案】(1)解:依题意得:绿化的面积=
答:绿化的面积为( )平方米;
(2)解:当 时,
平方米.
答:当 时应绿化的面积为63平方米.
【解析】【分析】(1)根据应绿化的面积=矩形的面积-正方形的面积列出算式计算即可;
(2)将a=3,b=2代入化简后的结果,最后根据有理数的运算法则进行计算即可。
18.在当今“互联网+”时代,有一种用“因式分解法”生成密码的方法:将一个多项式因式分解,如将多项式 分解结果为 .当 时, ,此时可得到数字密码 ,或者是
(1)根据上述方法,当 时,对于多项式. 分解因式后可以形成哪些数字密码(写出两个即可)?
(2)将多项式 .因式分解后﹐利用题目中所示的方法,当 时可以得到密码 ,求 的值.
【答案】(1)解:
当 时,
可得到数字密码 或
(2)解:∵当 时,密码为 ,且 的系数是
由 知

答: .
【解析】【分析】(1)由题意对其进行因式分解即可;
(2)逆向思维考虑x的最高向系数为1,所以分解后有三个因式。
19.已知 , ,求下列各式的值.
(1) ;
(2)a+b.
【答案】(1)解:∵ , ,
(2)解:∵

【解析】【分析】(1)将a2+b2按照完全平方公式配方可得原式=(a-b)2+2ab,把已知条件代入计算即可求解;
(2)把(a+b)2展开,结合(1)的结论可求得(a+b)2的值,再将所求得的值开平方即可求解.
20.
(1)分解因式:
(2)计算:
【答案】(1)解:
=
=
(2)解:
=
=
=
【解析】【分析】(1)先提取公因式,再利用完全平方公式分解因式,即可;(2)先算积的乘方,再算乘除,最后算加减法,即可求解.
21.
(1)如图,在平面直角坐标系中,作 关于 轴对称的 .
(2)计算: .
【答案】(1)解:如图, 即为所求.
(2)解:
.
【解析】【分析】(1)根据轴对称的性质及网格特点,分别作出点ABC的对称点A1、B1、C1,然后算出连接即可;(2)直接利用整式的乘除运算法则及即得乘方运算法则先进行计算,然后合并同类项即得.
22.在数学课堂上,老师写出一道整式乘法题: .王建由于把第一个多项式中的“ ”抄成了“ ”,得到的结果为 ;李楠由于漏抄了第二个多项式中y的系数,得到的结果为 .
(1)求正确的a,b的值;
(2)计算这道乘法题的正确结果.
【答案】(1)解:根据王建的解法得:

∴①
根据李楠的解法的:

∴②
联立①②得方程组解得:
(2)解:这道题的正确解法是: .
【解析】【分析】(1)先根据多项式乘以多项式展开,合并同类项,得出两个二元一次方程,组成方程组,求出方程组的解即可;(2)根据多项式乘以多项式法则求出答案即可.
23.数学活动课上,张老师用如图1中的1张边长为a的正方形纸片A、1张边长为b的正方形纸片B和2张宽和长分别为a、b的长方形纸片C拼成了如图2所示的大正方形,观察图形并解答下列问题.
(1)由图1和图2可以得到的等式为   .(用含a,b的式子表示)
(2)想用这三张纸片拼出一个面积为的大正方形,需要A,B,C三种纸片各多少张?
(3)如图3,已知点C为线段上的动点,分别以为边在的两侧作正方形和正方形.若,且两正方形的面积之和,求图中阴影部分的面积.
【答案】(1)
(2)解:,
所需、两种纸片各张,种纸片张.
(3)解:设,则,







【解析】【解答】(1)利用不同的表示方法求出图形的面积可得,
故答案为:.
【分析】(1)利用不同的表示方法求出同一个图形的面积可得;
(2)利用多项式乘多项式的计算方法可得,再求解即可;
(3)设,,则,再结合求出求出,最后求出即可.
24.我们将进行变形,如:,等.根据以上变形解决下列问题:
(1)已知,,则   ;
(2)若x满足,求的值;
(3)如图,在长方形中,,,点E、F分别是、上的点,且,分别以、为边在长方形外侧作正方形和,若长方形的面积为40,求图中阴影部分的面积和.
【答案】(1)4
(2)解:∵,



(3)解:∵,,,
∴,,
∴,
∵长方形的面积为40,
∴,

.
【解析】【解答】(1)解:∵,,


故答案为:4;
【分析】(1)根据 ,然后整体代入计算即可;
(2)首先求出[(2022-x)+(x-2019)]2=9,进而结合 ,然后整体代入计算即可;
(3)由题意得CF=10-x,CE=6-x,首先求出[(10-x)-(6-x)]2及(10-x)(6-x)的值,进而根据S阴影=S正方形CFGH+S正方形CEMN列出式子,进而再根据完全平方公式恒等变形后整体代入计算即可.
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