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第十五章 分式 单元过关检测卷
一、选择题
1．在式子中，分式的个数有（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．下列各式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列说法正确的是（ ）
A．代数式是分式
B．分式中x，y都扩大2倍，分式的值不变
C．分式的值为0，则x的值为-2
D．分式是最简分式
4．下列各式从左到右的变形一定正确的是（ ）
A．＝ B．＝x-y
C．＝ D．＝
5．为提高市民的环保意识，某市发出“节能减排，绿色出行”的倡导，某企业抓住机遇投资20万元购买并投放一批A型“共享单车”，因为单车需求量增加，计划继续投放B型单车，B型单车的投放数量与A型单车的投放数量相同，投资总费用减少20%，购买B型单车的单价比购买A型单车的单价少50元，则A型单车每辆车的价格是多少元？设A型单车每辆车的价格为x元，根据题意，列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知，为整数，且满足，则的可能的值有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．分式与的最简公分母是（ ）
A． B．
C． D．
8．下列分式的值，可以为零的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，设（），则k的值可以为（ ）
A． B．1 C． D．2
10．小明在纸上书写了一个正确的演算过程，同桌小亮一不小心撕坏了一角，如图所示，则撕坏的一角中“■”为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．当x＝ 时，分式的值为0．
12．计算： ．
13．A、B两地相距121千米，甲车和乙车的平均速度之比为4∶5，两车同时从A地出发到B地，乙车比甲车早到20分钟，求甲车的平均速度．若设甲车的平均速度为4x千米/小时，则所列方程是 ．
14．关于的分式方程无解，则 .
15．关于的方程的解为非负数，则的取值范围为 .
16．已知实数 满足 ，则 ．
三、综合题
17．某商场准备购进A，B两种书包，每个A种书包比B种书包的进价少10元，用600元购进A种书包的个数是用350元购进B种书包个数的2倍．请解答下列问题：
（1）A、B两种书包每个进价各是多少元
（2）若该商场购进B种书包的个数比A种书包的2倍还多5个，且A种书包不少于19个，购进A、B两种书包的总费用不超过4350元，若设该商场购进A种书包n个（n≥0，且n为整数）．请你求出该商场有哪几种进货方案．
18．鲜花饼是以云南特有的食用玫瑰花入料的酥饼，是具有云南特色的云南经典点心代表．某超市购进两种口味的鲜花饼，其中种口味鲜花饼每盒的价格比种口味的鲜花饼贵10元，用800元购买种口味鲜花饼的数量与用600元购买种口味鲜花饼的数量相同．
（1）求购买的两种口味的鲜花饼每盒分别是多少元？
（2）若计划用不超过5000元的资金再次购进两种口味的鲜花饼共计150盒，已知两种口味的鲜花饼成本不变，求种口味的鲜花饼最多能购进多少盒？
19．
（1）计算：[（x+y）2﹣（x﹣y）2]÷（2xy）
（2）化简求值：，其中x选取﹣2，0，1，4中的一个合适的数．
20．学习了分式运算后，老师布置了这样一道计算题：，甲、乙两位同学的解答过程分别如下：
老师发现这两位同学的解答过程都有错误.
请你从甲、乙两位同学中，选择一位同学的解答过程，帮助他分析错因，并加以改正.
（1）我选择哪位同学的解答过程进行分析.（填“甲”或“乙”）
（2）该同学的解答从第几步开始出现不符合题意（填序号），错误的原因是什么.
（3）请写出符合题意解答过程.
21．已知T＝．
（1）化简T．
（2）若m2＋2m﹣3＝0，求此时T的值．
22．王涵想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：
（1）她把这个数“”猜成，请你帮王涵解这个分式方程；
（2）王涵的妈妈说：“我看到标准答案是：是方程的增根，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？
23．如图，长方形 的长 为a，宽 为b，点A的坐标为 ．
（1）若长方形 的周长为 ，面积为 ，求 的值；
（2）若点C关于x轴的对称点的坐标为 ，求 的值．
24．定义：任意两个数 ，按规则 扩充得到一个新数 ，称所得的新数 为“如意数”.
（1）若 直接写出 的“如意数” ；
（2）如果 ,求 的“如意数” ，并证明“如意数” ；
（3）已知 ，且 的“如意数” ，则 (用含 的式子表示)
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第十五章 分式 单元过关检测卷
一、选择题
1．在式子中，分式的个数有（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【解答】分式有：，，9x+共3个．
故选B．
【点评】本题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数，所以不是分式，是整式．
2．下列各式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A：，错误；
B：，正确；
C：，错误；
D：，错误；
故答案为：B.
【分析】根据分式的基本性质进行计算即可.
3．下列说法正确的是（ ）
A．代数式是分式
B．分式中x，y都扩大2倍，分式的值不变
C．分式的值为0，则x的值为-2
D．分式是最简分式
【答案】C
【解析】【解答】解：A、代数式是整式，不是分式，故本选项说法错误，不符合题意；
B、分式中x，y都扩大2倍后的值为，即分式的值扩大2倍，故本选项说法错误，不符合题意；
C、分式的值为0时，且，解得，故本选项说法正确，符合题意；
D、分式，不是最简分式，故本选项说法错误，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据分式的定义、分式的基本性质、分式的值及最简分式的定义逐项判断即可。
4．下列各式从左到右的变形一定正确的是（ ）
A．＝ B．＝x-y
C．＝ D．＝
【答案】D
【解析】【解答】解：A、该式左到右的变形不符合分式的基本性质，故本选项不符合题意；
B、分子、分母约分时出现错误，正确的是原式＝x+y，故本选项不符合题意；
C、该式左到右的变形不符合分式的基本性质，故本选项不符合题意；
D、该式左到右的变形正确，故本选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用分式的基本性质逐项判断即可。
5．为提高市民的环保意识，某市发出“节能减排，绿色出行”的倡导，某企业抓住机遇投资20万元购买并投放一批A型“共享单车”，因为单车需求量增加，计划继续投放B型单车，B型单车的投放数量与A型单车的投放数量相同，投资总费用减少20%，购买B型单车的单价比购买A型单车的单价少50元，则A型单车每辆车的价格是多少元？设A型单车每辆车的价格为x元，根据题意，列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：设A型单车每辆车的价格为x元，则B型单车每辆车的价格为（x-50）元，
根据题意，得
故答案为：A.
【分析】设A型单车每辆车的价格为x元，则B型单车每辆车的价格为（x-50）元，B型单车投资的总费用为200000（1-20％）元，根据总价÷单价＝数量，结合a型单车的数量=B型单车的数量，建立方程即可.
6．已知，为整数，且满足，则的可能的值有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】【解答】解：由已知等式得，显然，均不为0，所以或.
若，则.
又，为整数，可求得或.
所以或
因此，的可能的值有3个.
故答案为：C.
【分析】对已知等式通分变形可得x+y=0或3xy=2(x-y)，若3xy=2(x-y)，则(3x+2)(3y-2)=-4，结合x、y为整数可得x、y的值，然后求出x+y的值，据此解答.
7．分式与的最简公分母是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：两个分式可化为：
，
最简公分母：，
故答案为：D．
【分析】根据最简公分母的定义求解即可。
8．下列分式的值，可以为零的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A． ∵x2+1>0，
∴≠0，故本选项不符合题意；
B． ∵x+1=0时，x=-1，此时分母x2-1=0，
∴≠0，故本选项不符合题意；
C． ∵x2+2x+1=0时，x=-1，此时分母x+1=0，
∴ ≠0，故本选项不符合题意；
D． ∵x+1=0时，x=-1，此时分母x-1≠0，
∴当x=-1时， =0，故本选项符合题意．
故答案为：D
【分析】根据分式的值为0的条件逐项判断即可。
9．如图，设（），则k的值可以为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【解析】【解答】解：由题意，，，
，
又，
，
，
故答案为：A
【分析】根据图象求出，，再将其代入计算即可。
10．小明在纸上书写了一个正确的演算过程，同桌小亮一不小心撕坏了一角，如图所示，则撕坏的一角中“■”为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：撕坏的一角中“■”为：，
故答案为：A.
【分析】利用分式的混合运算的计算方法及步骤列出算式求解即可.
二、填空题
11．当x＝ 时，分式的值为0．
【答案】6
【解析】【解答】解：根据题意得x+6≠0且|x|﹣6＝0，
所以x＝6．
故答案为：6．
【分析】利用分式值为零的条件即可求出答案.
12．计算： ．
【答案】
【解析】【解答】 ·÷ = · · = 故答案为：
【分析】先算乘方，将除法转化为乘法，再根据分式的乘除混合运算顺序和运算法则进行计算即可。
13．A、B两地相距121千米，甲车和乙车的平均速度之比为4∶5，两车同时从A地出发到B地，乙车比甲车早到20分钟，求甲车的平均速度．若设甲车的平均速度为4x千米/小时，则所列方程是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：设甲车的平均速度为4x千米/小时，
根据题意得 .
故答案为： .
【分析】设甲车的平均速度为4x千米/小时，则乙车的平均速度为5x千米/小时，根据“ 乙车比甲车早到20分钟 ” 列出方程即可.
14．关于的分式方程无解，则 .
【答案】
【解析】【解答】解：两边同时乘以x(x-3)，得到x(x+a)-6(x-3)=x(x-3)，18=-x2ax+6x+x2-3x，x(a+3)=18；当方程无解时，a+3=0，a=-3；当x系数为0时，a-3=0，a=3。
故答案为：±3.
【分析】根据分式方程无解的条件：去分母后所得的整式方程无解；接着这个整式方程得到的解使原方程式的分母为0，两种情况分别进行讨论。
15．关于的方程的解为非负数，则的取值范围为 .
【答案】且
【解析】【解答】
解：
m-3=2(x-1)
x=
∵解为非负数，
∴≥0，∴m≥1
∵x-1≠0，∴x≠1∴≠1，∴m≠3
∴的取值范围为且
故答案为： 且
【分析】先去分母化为整式方程，求出x，再根据解为非负数，x≠1求出相应的m的范围。
16．已知实数 满足 ，则 ．
【答案】
【解析】【解答】∵ ，
∴a2-3a-1
=a2-3a-abc=a(bc+a-3)
=a(bc+4-b-c-3)
=a(bc-b-c+1)
=a(b-1)(c-1)，
同理：b2-3b-1=b(a-1)(c-1)，c2-3c-1=c(a-1)(b-1)，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵a+b+c=4，
∴ ，
∴abc-ab-ac-bc+a+b+c= ，
∵a+b+c=4，abc=-1，
∴ab+ac+bc= ，
∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
∴16= a2+b2+c2+2×（ ），
解得：a2+b2+c2= ，
故答案为：
【分析】把abc=-1，a+b+c=4代入a2-3a-1可得a2-3a-1=a(b-1)(c-1)，同理可得b2-3b-1=b(a-1)(c-1)，c2-3c-1=c(a-1)(b-1)，代入 可得 = ，展开即可得ac+ab+bc= ，利用(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，代入a+b+c=4，ac+ab+bc= 即可得答案．
三、综合题
17．某商场准备购进A，B两种书包，每个A种书包比B种书包的进价少10元，用600元购进A种书包的个数是用350元购进B种书包个数的2倍．请解答下列问题：
（1）A、B两种书包每个进价各是多少元
（2）若该商场购进B种书包的个数比A种书包的2倍还多5个，且A种书包不少于19个，购进A、B两种书包的总费用不超过4350元，若设该商场购进A种书包n个（n≥0，且n为整数）．请你求出该商场有哪几种进货方案．
【答案】（1）解：设A种书包的进价是x元，则B种书包的进价是元：
由题意得：，
解得：x=60
经检验，x=60是原分式方程的解，
，
故A、B两种书包每个进价分别是60、70元；
（2）解：设该商场购进A种书包n个，则设该商场购进B种书包个，
由题意可得：
，
解得：，
∴n=19或20．共有两种进货方案，分别为：
①A：19个，B：43个；
②A；20个，B：45个．
【解析】【分析】（1）根据题意先求出 ， 再解方程即可；
（2）先求出 ， 再求出 ， 最后求解即可。
18．鲜花饼是以云南特有的食用玫瑰花入料的酥饼，是具有云南特色的云南经典点心代表．某超市购进两种口味的鲜花饼，其中种口味鲜花饼每盒的价格比种口味的鲜花饼贵10元，用800元购买种口味鲜花饼的数量与用600元购买种口味鲜花饼的数量相同．
（1）求购买的两种口味的鲜花饼每盒分别是多少元？
（2）若计划用不超过5000元的资金再次购进两种口味的鲜花饼共计150盒，已知两种口味的鲜花饼成本不变，求种口味的鲜花饼最多能购进多少盒？
【答案】（1）解：设B种口味的鲜花饼的价格为每盒元，A种口味的鲜花饼的价格为每盒元．
根据题意，得
解得
经检验是原分式方程的解．
∴（元）
答：A种口味的鲜花饼的价格为每盒40元，B种口味的鲜花饼的价格为每盒30元．
（2）解：设A种口味的鲜花饼购进盒，B种口味的鲜花饼购进盒，
根据题意，得
解得
答：A种口味的鲜花饼最多能购进50盒．
【解析】【分析】（1）设B种口味的鲜花饼的价格为每盒元，A种口味的鲜花饼的价格为每盒元，根据题意列出方程，再求解即可；
（2）设A种口味的鲜花饼购进m盒，B种口味的鲜花饼购进盒，根据题意列出不等式求解即可。
19．
（1）计算：[（x+y）2﹣（x﹣y）2]÷（2xy）
（2）化简求值：，其中x选取﹣2，0，1，4中的一个合适的数．
【答案】（1）解：[（x+y）2﹣（x﹣y）2]÷（2xy）
＝（x2+2xy+y2﹣x2+2xy﹣y2）÷2xy
＝4xy÷2xy
＝2；
（2）解：原式＝÷（）+1
＝+1
＝+
＝
要使分式有意义，，，
∴，，，
∴当x＝1时，原式＝4．
【解析】【分析】（1）利用整式的混合运算求解即可；
（2）先利用分式的混合运算化简，再将x的值代入计算即可。
20．学习了分式运算后，老师布置了这样一道计算题：，甲、乙两位同学的解答过程分别如下：
老师发现这两位同学的解答过程都有错误.
请你从甲、乙两位同学中，选择一位同学的解答过程，帮助他分析错因，并加以改正.
（1）我选择哪位同学的解答过程进行分析.（填“甲”或“乙”）
（2）该同学的解答从第几步开始出现不符合题意（填序号），错误的原因是什么.
（3）请写出符合题意解答过程.
【答案】（1）解：我选择甲同学的解答过程进行分析（或者选择乙均可），
故答案为甲（答案不唯一）；
（2）解：甲同学在第②步计算不符合题意，对分式进行通分时，将分母乘以x+1，而分子没有乘以x+1，
故答案为②，通分时，将分母乘以x+1，而分子没有乘以x+1；
（3）解：
，
，
，
，
.
【解析】【分析】（1）根据甲和乙的解答过程判断，选择擅长的即可；
（2）由分式加减混合运算法则和分式的基本性质求解；
（3）根据分式混合运算顺序和运算法则计算即可。
21．已知T＝．
（1）化简T．
（2）若m2＋2m﹣3＝0，求此时T的值．
【答案】（1）解：T＝
=
=
=
=；
（2）解：∵m2＋2m﹣3＝0，
∴m2＋2m＝3，
∴T＝m2＋2m＝3．
【解析】【分析】（1）利用分式的基本性质化简求值即可；
（2）先求出 m2＋2m＝3， 再代入求解即可。
22．王涵想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：
（1）她把这个数“”猜成，请你帮王涵解这个分式方程；
（2）王涵的妈妈说：“我看到标准答案是：是方程的增根，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？
【答案】（1）解：该分式方程的解为，
由题意，得
去分母，得
去括号，得
移项、合并同类项，得
经检验，当时，
是原分式方程的解；
（2）解：设原分式方程中“”代表的数为，
方程两边同时乘得，
由于是原分式方程的增根，
把代入上面的等式解得，
原分式程中“”代表的数是．
【解析】【分析】（1）去分母，去括号，移项、合并同类项，检验即可得出答案；
（2）设原分式方程中“”代表的数为，方程两边同时乘得，由于是原分式方程的增根，把代入上面的等式解得m的值，即可得出答案。
23．如图，长方形 的长 为a，宽 为b，点A的坐标为 ．
（1）若长方形 的周长为 ，面积为 ，求 的值；
（2）若点C关于x轴的对称点的坐标为 ，求 的值．
【答案】（1）解：由题意，得 ， ，
．
（2）解：由题意，得点C的坐标为 ．
点C关于x轴的对称点的坐标为 ，
，
解得 ，
．
【解析】【分析】（1）根据长方形的周长与面积可得 ， ，将 变形为，然后代入计算即可；
（2） 先求出点C的坐标为 ，根据关于x轴对称点的坐标为 ，可求出a、b的值，然后代入计算即可.
24．定义：任意两个数 ，按规则 扩充得到一个新数 ，称所得的新数 为“如意数”.
（1）若 直接写出 的“如意数” ；
（2）如果 ,求 的“如意数” ，并证明“如意数” ；
（3）已知 ，且 的“如意数” ，则 (用含 的式子表示)
【答案】（1）解：
（2）解：∵a=m-4,b=-m,
∴c=(m-4) ×(-m)+(m-4)+(-m)= ,
∴c= ,
∴c≤0
（3）
【解析】【解答】解：（1）c=ab+a+b= ×1+ +1=2 +1；
（2）∵a=m-4,b=-m,
∴c=(m-4) ×(-m)+(m-4)+(-m)= ,
∴c= ,
∴c≤0
（3）由 得b= = .
故答案为：（1）2+1；（2）见解题过程；（3）x+2.
【分析】（1）先依据定义列出算式，然后，再依据实数的运算法则进行计算即可；（2）先依据定义列出代数值，然后依据完全平方公式进行证明即可；（3）先依据定义得到b的有关代数式，然后将a、c代入计算即可..
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