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第二十四章 圆 单元专题测试卷
一、选择题
1．下列命题正确的是（ ）
A．相等的弦所对的弧相等
B．平分弦的直径平分弦所对的两条弧
C．过三点能作一个圆
D．在同心圆中，同一圆心角所对的两条弧的度数相等
2．已知点A在直径为8cm的⊙O内，则OA的长可能是（ ）
A．8cm B．6cm C．4cm D．2cm
3．如图，圆 的直径 垂直于弦 ，垂足为点 ，若 ，则 为（ ）
A． B． C． D．
4．如图， 为 的外接圆，已知 为130°，则 的度数为（ ）
A．50° B．80° C．100° D．115°
5．东汉初年，我国的《周髀算经》里就有“径一周三”的古率，提出了圆的直径与周长之间存在一定的比例关系．将图中的半圆弧形铁丝 向右水平拉直（保持 端不动）．根据该古率，与拉直后铁丝 端的位置最接近的是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
6．如图，正 内接于半径是1的圆，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在等边 中， ，分别以 为直径作圆，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
8．如图， ， 是 的切线， ， 为切点， 是 的直径， ，则 的度数为（ ）
A．52° B．51° C．61° D．64.5°
9．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=BC=4，以A为圆心、AC长为半径作弧，交AB于点D，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，的圆心M在一次函数位于第一象限中的图象上，与y轴交于C、D两点，若与x轴相切，且，则半径是（ ）
A．或5 B．5或6 C．或6 D．5
二、填空题
11．如图，中，，，，则的内切圆半径为 ．
12．如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC=30°，半径为1cm的的圆心P在射线OA上，且与点O的距离为6cm，⊙P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么⊙P与直线CD相切时，圆心P的运动时间为 .
13．如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点P、Q，则线段PQ长度的最小值是
14．在平面直角坐标系xOy中，A（5，6），B（5，2），C（3，0），△ABC的外接圆的圆心坐标为 .
15．如图，矩形ABCD中，AD=6，DC=4，E为AD的中点，F为矩形内一点，EF=2，G为CF的中点，连接DG，则线段DG的最大值为 .
16．如图，是半径为4的的弦，且，将沿着弦折叠，点C是折叠后的上一动点，连接并延长交于点D，点E是的中点，连接.则的最小值为 ．
三、综合题
17． 如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心（三角形三个内角平分线的交点），连接AE并延长交⊙O于D点，连接BD并延长至F，使得BD＝DF，连接CF、BE
（1）求证：DB＝DE
（2）求证：直线CF为⊙O的切线
（3）若CF＝4，求图中阴影部分的面积
18．如图所示，正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE分别是⊙O的内接三角形、内接 四边形、内接五边形，点M、N分别从点B、C开始，以相同的速度在⊙O上逆时针运动
（1）求图①中∠APB的度数
（2）图②中∠APB的度数是 ，图③中∠APB的度数是
（3）若推广到一般的正n边形情况，请写出∠APB的度数是
19．如图，已知ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心作⊙C，半径为r．
（1）当r取什么值时，点A在⊙C外？
（2）当r取什么值时，点A在⊙C内，点B在⊙C外．
20．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，AB、DC的延长线交于点E，若BE＝3，CE＝3.
（1）求⊙O的半径；
（2）求图中阴影部分的面积.
21．如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过格点A、B、C.
（1）标出该圆弧所在圆的圆心D的位置；
（2）⊙D的半径为 （结果保留根号）；
（3）连接AD、CD，用扇形ADC围成一个圆锥的侧面，该圆锥的底面圆半径是 .
22．如图，AB是⊙O的直径，点C是BA延长线上一点，CD切⊙O于D点，弦DE∥CB，Q是AB上一动点，CA＝1，CD是⊙O半径的
倍.
（1）求⊙O的半径R；
（2）当Q从A向B运动的过程中，图中阴影部分的面积是否发生变化？若发生变化，请你说明理由；若不发生变化，请你求出阴影部分的面积.
23．如图，在中，D在边上，圆O为锐角的外接圆，连接并延长交于点E．
（1）若，请用含的代数式表示；
（2）如图2，作，垂足为F，与交于点G，已知．
①求证：；
②若，求的值．
24．抛物线 与x轴交于点A和B（点A在点B的左侧），与y轴负半轴交于点C， ，点 在抛物线上.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 （n为任意实数），当m变化时，点P在直线l上运动，若点A，D到直线l的距离相等，求k的值；
（3）M为抛物线在第二象限内一动点，若 ，求点M的横坐标 的取值范围.
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第二十四章 圆 单元专题测试卷
一、选择题
1．下列命题正确的是（ ）
A．相等的弦所对的弧相等
B．平分弦的直径平分弦所对的两条弧
C．过三点能作一个圆
D．在同心圆中，同一圆心角所对的两条弧的度数相等
【答案】D
【解析】【解答】解：A、同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等，A错误；
B、平分不为直径的弦的直径平分弦所对的两条弧，B错误；
C、过不在同一条直线的三点能作一个圆，C错误；
D、弧的度数等于所对圆心角的度数，在同心圆中，同一圆心角所对的弧的度数相等，D正确.
故答案为：D.
【分析】A、等弦对等弧，必须是在同圆或等圆中；
B、垂径定理中的弦不能为直径；
C、三点确定一个圆，要求三点不能共线；
D、圆心角所对的弧的度数和圆心角相等.
2．已知点A在直径为8cm的⊙O内，则OA的长可能是（ ）
A．8cm B．6cm C．4cm D．2cm
【答案】D
【解析】【解答】解：点A在圆内，A到圆心的距离小于半径4.
故答案为：D.
【分析】点在圆内，到圆心的距离小于半径；点在圆上，到圆心的距离等于半径；点在圆内，到圆心的距离大于半径.
3．如图，圆 的直径 垂直于弦 ，垂足为点 ，若 ，则 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】∵圆 O 的直径 CD 垂直于弦 EF ，
∴ ，
根据圆周角定理可得：∠DCF= ∠EOD=20°，
故答案为：B．
【分析】根据垂径定理可得，根据圆周角定理可得∠DCF= ∠EOD，从而得出结论.
4．如图， 为 的外接圆，已知 为130°，则 的度数为（ ）
A．50° B．80° C．100° D．115°
【答案】C
【解析】【解答】如图，在优弧 上取一点D，连接AD、CD，则四边形ABCD是 内接四边形，
，
，
，
故答案为：C．
【分析】如图，在优弧 上取一点D，连接AD、CD，则四边形ABCD是 内接四边形，可得
，利用圆周角定理即得.
5．东汉初年，我国的《周髀算经》里就有“径一周三”的古率，提出了圆的直径与周长之间存在一定的比例关系．将图中的半圆弧形铁丝 向右水平拉直（保持 端不动）．根据该古率，与拉直后铁丝 端的位置最接近的是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】A
【解析】【解答】解：∵半圆的直径是1，
∴由“径一周三”知圆的周长，
∴半圆的周长为 ，
∴拉直后铁丝 端的位置最接近的是点A，
故答案为：A．
【分析】先求出弧MN的长，再结合数轴即可得出结论.
6．如图，正 内接于半径是1的圆，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：设该圆的圆心为O，连接OA、OB，延长AO交BC于点D，
∵正 内接于半径是1的圆，
∴O为 的中心，OA=OB=1，∠ABC=60°
∴∠1= ∠ABC=30°，AD⊥BC
在Rt△ODB中，OD= OB= ，BD=
∴AD=OA＋OD= ，BC=2BD=
∴S阴影=S圆－S△ABC
= － BC·AD
= －
故答案为：A．
【分析】设该圆的圆心为O，连接OA、OB，延长AO交BC于点D，根据题意可得O为 的中心，OA=OB=1，∠ABC=60°，从而得出∠1= ∠ABC=30°，利用含30°角的直角三角形的性质及勾股定理，可求出OD、BD的长，再根据垂径定理求出BC的长，最后根据S阴影=S圆－S△ABC即可求出结论.
7．如图，在等边 中， ，分别以 为直径作圆，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：设A、E、F分别是 各边中点，
，
，
，
，
，
，
故答案为：C.
【分析】设A、E、F分别是△ABC各边中点，由AB=AC=BC=8，得DE=DF=EF=4，则∠EDF =∠DFE=∠DEF=60°，结合 ，据此回答即可.
8．如图， ， 是 的切线， ， 为切点， 是 的直径， ，则 的度数为（ ）
A．52° B．51° C．61° D．64.5°
【答案】B
【解析】【解答】∵ ， 是 的切线， 是 的直径，
∴∠CAP=90°，PA=PB，
∴∠PAB=∠PBA，
∵ ，
∴∠PAB=∠CAP- =64.5°，
∴ =180°-64.5°-64.5°=51°．
故答案为：B．
【分析】根据切线的性质及圆周角定理可得∠CAP=90°，PA=PB，由等边对等角可得∠PAB=∠PBA，从而求出∠PAB=∠CAP- =64.5°，利用三角形内角和求出∠P即可.
9．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=BC=4，以A为圆心、AC长为半径作弧，交AB于点D，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：由题，∠CAB=45°，
，
∴ ，
故答案为：D.
【分析】根据阴影部分的面积等于三角形面积减去扇形面积计算即可.
10．如图，的圆心M在一次函数位于第一象限中的图象上，与y轴交于C、D两点，若与x轴相切，且，则半径是（ ）
A．或5 B．5或6 C．或6 D．5
【答案】C
【解析】【解答】解：如图所示：设 与x轴相切与点K，连接MK，MC，过点M作y轴的垂线交y轴与点H，
与x轴相切，
，
∠KOM=∠OHM=90°，
四边形OKMH是矩形，
M在一次函数的图象上，
设点M的坐标为，
OK=MH=a，CM=MK=，
CM=MH，
，
在中，，
即，
解得：a=5或，
MK=6或MK=.
故答案为：C.
【分析】设 与x轴相切与点K，连接MK，MC，过点M作y轴的垂线交y轴与点H，先证四边形OKMH是矩形，设点M的坐标为，利用等腰三角形的性质及矩形的性质分别表示出CM、CH、MH的长，再利用勾股定理求出a的值，进而得到圆的半径.
二、填空题
11．如图，中，，，，则的内切圆半径为 ．
【答案】2
【解析】【解答】解：如图，
∵在，，，
∴由勾股定理得：，
∵圆O为的内切圆，
∴，；
四边形是正方形；
由切线长定理，得：，，；
，
即：，
故答案为：2．
【分析】根据切线长定理可得，，，再利用角的运算可得，再求出即可。
12．如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC=30°，半径为1cm的的圆心P在射线OA上，且与点O的距离为6cm，⊙P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么⊙P与直线CD相切时，圆心P的运动时间为 .
【答案】4或8
【解析】【解答】解：如图，
当点P运动到点P1时，过点P1作P1E⊥CD于点E，
∴∠P1EO=90°
∵ ∠AOC=30° ，P1E=1
∴P1O=2P1E=2
∴PP1=OP-P1O=6-2=4，
∴圆心P的运动时间为4÷1=4；
当点P运动到点P2时，过点P2作P2E⊥CD于点E，
∴∠P2EO=90°
∵ ∠AOC=30° ，P2E=1
∴P2O=2P2E=2
∴PP2=OP+P2O=6+2=8，
∴圆心P的运动时间为8÷1=8；
故答案为：4或8.
【分析】分情况讨论：当点P运动到点P1时，过点P1作P1E⊥CD于点E，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，就可求出P1O的长，然后根据PP1=OP-P1O，可求出PP1的长，由此可求出圆心P的运动时间；当点P运动到点P2时，过点P2作P2E⊥CD于点E，利用同样的方法可求出圆心P的运动时间。
13．如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点P、Q，则线段PQ长度的最小值是
【答案】4.8
【解析】【解答】解：如图，设QP的中点为F，圆F与AB的切点为D，连接FD、CF、CD，则FD⊥AB．
∵AB＝10，AC＝8，BC＝6，
∴AB2=100，AC2+BC2=64+36=100
∴AB2=AC2+BC2，
∴∠ACB＝90°，FC＋FD＝PQ，
∴FC＋FD＞CD，
∵当点F在直角三角形ABC的斜边AB的高CD上时，PQ＝CD有最小值，
∴
∴10CD=6×8
解之：CD=4.8.
故答案为：4.8.
【分析】设QP的中点为F，圆F与AB的切点为D，连接FD、CF、CD，则FD⊥AB．利用勾股定理的逆定理可证得∠ACB=90°，再利用垂线段最短，可知当点F在直角三角形ABC的斜边AB的高CD上时，PQ＝CD有最小值，利用三角形的面积公式可求出CD的长。
14．在平面直角坐标系xOy中，A（5，6），B（5，2），C（3，0），△ABC的外接圆的圆心坐标为 .
【答案】（1，4）
【解析】【解答】解：如图所示：点P即为所求；
所以点P的坐标为（1，4）.
故答案为（1，4）.
【分析】作AB、BC的垂直平分线，其交点即为外接圆的圆心，据此解答.
15．如图，矩形ABCD中，AD=6，DC=4，E为AD的中点，F为矩形内一点，EF=2，G为CF的中点，连接DG，则线段DG的最大值为 .
【答案】
【解析】【解答】解：延长CD到H，
使DH=CD，则HF=2DG，EF=2，∴F在以E为圆心2为半径的半圆上运动，连接HE，交圆于点F，则点F即为所求，∵HD=CD=4，DE=3，∴HE=5，∴HF=5+2=7，
∴DG= .
【分析】延长CD到H，使DH=CD，可得DG是△CHF的中位线，根据圆外一点到圆的最大距离是过圆心的直线与圆相交的最远得点，据此即可求出解.
16．如图，是半径为4的的弦，且，将沿着弦折叠，点C是折叠后的上一动点，连接并延长交于点D，点E是的中点，连接.则的最小值为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：连结AD、AC，过点O作AB的垂线交AB于点F，过点C作AB对称点C’，连结EF、AC’，BC’
根据折叠的性质可知
∵，
∴
∴AD=AC
∵E为DC的中点，
∴AEDC，
∴
故点E在以AB为直径的弧上运动
当E、O、F三点共线时，EO的值最小为EF-OF，
∴EF=AB=，OF=，
∴OE的最小值为，
故答案为：．
【分析】连结AD、AC，过点O作AB的垂线交AB于点F，过点C作AB对称点C'，连结EF、AC'，BC'，根据折叠的性质及圆内接四边形的性质得出，从而判断出等腰三角形ACD，利用等腰三角形的三线合一得出，推出点E的轨迹，再由轨迹判断EO最小值，利用勾股定理即可解答.
三、综合题
17． 如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心（三角形三个内角平分线的交点），连接AE并延长交⊙O于D点，连接BD并延长至F，使得BD＝DF，连接CF、BE
（1）求证：DB＝DE
（2）求证：直线CF为⊙O的切线
（3）若CF＝4，求图中阴影部分的面积
【答案】（1）证明：∵E是△ABC的内心 ∴∠BAE＝∠CAE，∠EBA＝∠EBC
∵∠BED＝∠BAE+∠EBA，∠DBE＝∠EBC+∠DBC，∠DBC＝∠EAC
∴∠DBE＝∠DEB
∴DB＝DE
（2）证明：连接CD ，则 ∠CDB=90°
∵点E为△ABC的内心 ∴DA平分∠BAC ∴∠DAB＝∠DAC ∴BD＝CD
∴∠CBD=∠BCD=∠DCF=45°
∴∠BCF＝90°
∴BC⊥CF 即CF是⊙O的切线
（3）解：连接OD
∵ O、D是BC、BF的中点，CF＝4 ∴ OD＝2
∵∠BCF＝90° ∴∠BOD＝90°
∴图中阴影部分的面积 =扇形BOD的面积﹣△BOD的面积
==π-2
【解析】【分析】（1）根据三角形内心的定义得出∠BAE＝∠CAE，∠EBA＝∠EBC，再根据三角形外角性质得出∠BED＝∠BAE+∠EBA，根据圆周角定理得出∠DBC＝∠EAC，从而得出∠DBE＝∠DEB，即可得出DB＝DE；
（2） 连接CD，根据圆周角定理得出∠CDB=90°，根据∠BAE＝∠CAE得出BD＝CD，从而得出
∠CBD=∠BCD=∠DCF=45°，得出∠BCF＝90°，即可得出CF是⊙O的切线；
（3） 连接OD，根据三角形中位线定理得出OD=2，OD∥CF，从而得出∠BOD＝90°，利用阴影部分的面积=扇形BOD的面积-△BOD的面积，代入数值进行计算，即可得出答案.
18．如图所示，正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE分别是⊙O的内接三角形、内接 四边形、内接五边形，点M、N分别从点B、C开始，以相同的速度在⊙O上逆时针运动
（1）求图①中∠APB的度数
（2）图②中∠APB的度数是 ，图③中∠APB的度数是
（3）若推广到一般的正n边形情况，请写出∠APB的度数是
【答案】（1）解：∵△ABC是正三角形 ∴∠ABC＝60°
∵点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动
∴∠BAM＝∠CBN
∴∠APN＝∠ABN+∠BAM＝∠ABN+∠CBN＝∠ABC＝60°
∴∠APB＝180°﹣∠APN＝180°﹣60°=120°
（2）90°；72°
（3）
【解析】【解答】解：（2 ）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，
∵点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动，
∴∠BAM＝∠CBN，
∴∠APN＝∠ABN+∠BAM＝∠ABN+∠CBN＝∠ABC＝90°，
∴∠APB＝180°-∠APN＝180°-90°=90°；
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠ABC＝108°，
∵点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动，
∴∠BAM＝∠CBN，
∴∠APN＝∠ABN+∠BAM＝∠ABN+∠CBN＝∠ABC＝108°，
∴∠APB＝180°-∠APN＝180°-108°=72°，
故答案为：90°；72°；
（3）∵∠ABC是正n边形的一个内角，
∴∠ABC＝，
∵点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动，
∴∠BAM＝∠CBN，
∴∠APN＝∠ABN+∠BAM＝∠ABN+∠CBN＝∠ABC＝，
∴∠APB＝180°-∠APN＝180°-=，
故答案为：.
【分析】（1）根据等边三角形的性质得出∠ABC=60°，再由等速运动得出∠BAM＝∠CBN ，再利用外角的性质得出∠APN=∠ABN+∠BAM，代换得出∠APN=∠ABC=60°，再利用∠APB＝180°-∠APN即可得出∠APB=120°；
（2）和（1）同理可得到∠APN的度数和∠ABC的度数相等，再利用∠APB＝180°-∠APN即可得出答案；
（3）结合（1）（2）可得到∠APN的度数等于正多边形的一个内角的度数，再利用∠APB＝180°-∠APN即可得出答案.
19．如图，已知ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心作⊙C，半径为r．
（1）当r取什么值时，点A在⊙C外？
（2）当r取什么值时，点A在⊙C内，点B在⊙C外．
【答案】（1）解：点A在⊙C外，则AC>r，即r<3
即当r<3时，点A在在⊙C外；
（2）解：点A在⊙C内，则AC3；点B在⊙C外，则BC>r，即r<4，
综合起来，当3【解析】【分析】（1）先求出 r<3 ，再求解即可；
（2）分类讨论，计算求解即可。
20．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，AB、DC的延长线交于点E，若BE＝3，CE＝3.
（1）求⊙O的半径；
（2）求图中阴影部分的面积.
【答案】（1）解：连接OC，设⊙O的半径为r，则OE＝r+3，
∵ED是⊙O的切线，
∴OC⊥CE，
由勾股定理得：OE2＝OC2+CE2，即（r+3）2＝t2+（3）2，解得：r＝3，
∴⊙O的半径为3；
（2）解：在Rt△OCE中，OC＝3，OE＝6，
则∠OEC＝30°，
∴∠COE＝60°，
∴S阴影部分＝S△OCE﹣S扇形BOC＝×3×3﹣＝﹣＝.
【解析】【分析】（1）连接OC，设⊙O的半径为r，可表示出OE的长，再利用切线的性质，得OE⊥CE，然后利用勾股定理建立关于r的方程，解方程求出r的值；
（2）在Rt△OCE中，由OC，OE的长可得到∠OEC=30°，∠COE=60°；根据S阴影部分＝S△OCE﹣S扇形BOC，再利用三角形和扇形的面积公式可求出阴影部分的面积.
21．如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过格点A、B、C.
（1）标出该圆弧所在圆的圆心D的位置；
（2）⊙D的半径为 （结果保留根号）；
（3）连接AD、CD，用扇形ADC围成一个圆锥的侧面，该圆锥的底面圆半径是 .
【答案】（1）解：根据题意画出相应的图形，如图所示：
（2）
（3）
【解析】【解答】解：（2）在Rt△AOD中，OA＝4，OD＝2，
根据勾股定理得：
，
则⊙D的半径为
.
故答案为：
；
（3）如图，
，
，
∴AD2+CD2＝AC2，
∴∠ADC＝90°，
的长
，
∴该圆锥的底面圆半径
.
故答案为：
.
【分析】（1）分别作出线段AB，BC的垂直平分线，两垂直平分线的交点就是圆弧的圆心D；
（2）利用勾股定理求出AD的长；
（3）利用勾股定理求出AC的长，再利用勾股定理的逆定理证明∠ADC=90°，然后利用弧长公式求出弧AC的长，进而根据圆锥侧面扇形的弧长等于底面圆的周长计算即可.
22．如图，AB是⊙O的直径，点C是BA延长线上一点，CD切⊙O于D点，弦DE∥CB，Q是AB上一动点，CA＝1，CD是⊙O半径的
倍.
（1）求⊙O的半径R；
（2）当Q从A向B运动的过程中，图中阴影部分的面积是否发生变化？若发生变化，请你说明理由；若不发生变化，请你求出阴影部分的面积.
【答案】（1）解：连OD，根据题意，得CD＝ R，CO=R+1，
∵CD切⊙O于D点，
∴DO⊥CD，
在直角三角形CDO中，由勾股定理，得3R2+R2＝（1+R）2，解得：R＝1或R＝﹣ （负数舍去）.
即⊙O的半径R为1；
（2）解：当Q从A向B运动的过程中，图中阴影部分的面积不发生变化.
连接OE；
∵DE∥CB，
∴S△ODE＝S△QDE；
∴S阴影＝S扇形ODE；
∵CD切⊙O于D点，
∴DO⊥CD，
∴∠CDO＝90°，
∵＝ ，
∴∠DCO＝30°，
∴∠COD＝60°，
∴∠ODE＝60°，
∴△ODE是等边三角形；
∴∠DOE＝60°，
∴S阴影＝S扇形ODE＝ .
所以阴影部分的面积不发生变化，为 .
【解析】【分析】（1） 连OD，分别把CD和CO用R表示出来，在Rt△CDO中， 根据勾股定理列方程求解即可；
（2） 连接OE，由DE∥CB， 根据同底等高三角形的面积相等得S△ODE＝S△QDE ，则阴影部分的面积转化为扇形ODE的面积，得出阴影部分的面积不变，只需根据直角三角形的边求得 ∠DOE＝60°，最后根据扇形的面积公式计算即可.
23．如图，在中，D在边上，圆O为锐角的外接圆，连接并延长交于点E．
（1）若，请用含的代数式表示；
（2）如图2，作，垂足为F，与交于点G，已知．
①求证：；
②若，求的值．
【答案】（1）解：连接，如图所示：
∵∠DBC=α，
∴，
∵，
∴；
（2）解：①∵，
∴，即，
设，由（1）得：，
∵，
∴，
∴，
∴；
②作于点M，于点N，如图：
∵BF⊥AC，
∴∠MFN=∠FNE=∠EMF=90°，
∴四边形为矩形，
∴NE=MF.
∵，设，则，，
∴，
∴.
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，于点M，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）连接，利用圆周角定理得，再由等边对等角结合三角形内角和定理即可得到；
（2）①由，得到，设，由（1）得：，则，由此证明，即可得到；
②作于点M，于点N，证明四边形为矩形，得到NE=MF.设，表示出∠ACE、∠EBG和∠A的度数，可得，从而得，由等腰三角形三线合一的形状得得，即可利用勾股定理求得EN的长，继而得，再由三线合一定理得到，即可推出．
（1）解：如图所示，连接，
∵，，
∴；
（2）解：①∵，
∴，
设，由（1）得：，
∵，
∴，
∴，
∴；
②如图，作，，垂足分别为M、N，
设，则，，
∵
∴，
∴
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴．
24．抛物线 与x轴交于点A和B（点A在点B的左侧），与y轴负半轴交于点C， ，点 在抛物线上.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 （n为任意实数），当m变化时，点P在直线l上运动，若点A，D到直线l的距离相等，求k的值；
（3）M为抛物线在第二象限内一动点，若 ，求点M的横坐标 的取值范围.
【答案】（1）解：当x=0时，y=c，∴C（0，c），OC=﹣c，
∵OB=OC，∴B（﹣c，0），
将B（﹣c，0）、D（2，﹣3）代入 中，
得： ，解得： ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）解：当y=0时，由 得：x=﹣1或x=3，∴A(﹣1，0)，
∵ ，
∴直线l的表达式为y=4kx+1，
∵点A，D到直线l的距离相等，
∴分以下两种情况：
①当A、D位于直线l的两侧时，直线经过A、D的中点（ ， ），
将（ ， ）代入y=4kx+1中，得： =4k· +1，
解得：k= ；
②当A、D位于直线l的同侧时，直线l与AD平行，
设直线AD的表达式为y=px+q，
将A(﹣1，0)、D(2，﹣3)代入，得： ，
解得：
直线AD的表达式为y=﹣x﹣1，
∴4k=﹣1，解得：k= ，
综上，k的值为 或
（3）解：当∠AMB=45°，过点A、B、M三点的圆R，圆心为R，如图，
则∠ARB=90°，
∴R（1，2），圆的半径为AR= ，
设点M（t，s），且t＜0，s＞0， ，
由 得：
，
即 ，
解得：s=3或s=0（舍去），
由 =3解得：t1= ，t2= (舍去)，
∵点M在第二象限，
∴由图象可知，当∠AMB＞45°时，M的横坐标 的取值范围为 ＜ ＜﹣1
【解析】【分析】(1)先根据OB=OC，把C点坐标表示出来，再利用待定系数法求抛物线解析式即可；
(2)先令y=0求出A点坐标，根据P点坐标可设直线l的函数式为 y=4kx+1， 然后分两种情况讨论，即 ①当A、D位于直线l的两侧时，利用中点坐标公式求出A、D的中点坐标，将其代入y=4kx+1中求解即可；②当A、D位于直线l的同侧时，直线l与AD平行，先利用待定系数法求出直线AD的解析式，再根据两直线解析式的k相等列等式求解即可；
(3)当∠AMB=45°， 过点A、B、M三点的圆R，圆心为R，根据圆的性质可得△ARB为等腰直角三角形，求出R的长，设点M（t，s）， 利用MR=2可得t与s的关系式，结合抛物线解析式求得s、t值， 即可求得 的取值范围.
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