2024-2025学年浙江省嘉兴市六校高一上学期期中联考数学试卷（含答案）

2024-2025学年浙江省嘉兴市六校高一上学期期中联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.设命题，其中为常数，则“命题为真命题”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知幂函数的图象过点，则等于( )
A. B. C. D.
5.已知，，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.若函数有且只有一个零点，则实数的值为( )
A. B. C. D.
7.甲、乙、丙、丁四位同学猜测校运会长跑比赛中最终获得冠军的运动员
甲说：“冠军是李亮或张正”
乙说：“冠军是林帅或张正”
丙说：“林帅和李亮都不是冠军”
丁说：“陈奇是冠军”．
结果出来后，只有两个人的推断是正确的，则冠军是( )
A. 林帅 B. 李亮 C. 陈奇 D. 张正
8.已知函数是幂函数，对任意的，且，满足若，，，则的值( )
A. 恒大于 B. 恒小于 C. 等于 D. 无法判断
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，，，且，，则下列结论中正确的是( )
A. B. C. D.
10.在棱长为的正方体中，点、分别在线段和上含端点，则下列命题正确的是( )
A. 长的最小值为
B. 三棱锥的体积为定值
C. 有且仅有一条直线与垂直
D. 当点、为线段中点时，则为等腰三角形
11.已知函数，若，恒成立，则( )
A. 函数是奇函数 B. 函数是增函数
C. ，是真命题 D. 可以为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知幂函数在上是减函数，则的值为 ．
13.计算： ．
14.如图，已知棱长为的正方体，顶点在平面内，其余顶点都在平面同侧，且顶点到平面的距离分别为，则等于 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，．
判断是否为集合中的元素，并说明理由；
若全集，求，．
16.本小题分
设奇函数 为自然对数的底数，．
求的定义域和；
，求函数的值域．
17.本小题分
已知函数，
求关于的不等式的解集
若在区间上恒成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知是定义在上的函数，且，．
求函数的解析式；
判断函数的奇偶性，并用定义证明；
求函数在上的值域．
19.本小题分
对于正整数，如果个整数满足，
且，则称数组为的一个“正整数分拆”记均为偶数的“正整数分拆”的个数为均为奇数的“正整数分拆”的个数为．
Ⅰ写出整数的所有“正整数分拆”
Ⅱ对于给定的整数，设是的一个“正整数分拆”，且，求的最大值
Ⅲ对所有的正整数，证明：并求出使得等号成立的的值．
注：对于的两个“正整数分拆”与，当且仅当且时，称这两个“正整数分拆”是相同的
参考答案
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15.解：不是集合中的元素，
或，；
，
，，
又，
．
16. 解：要使有意义，
只需且，
即且，
，
的定义域为．
又为奇函数，且，，
，经检验，当时，函数为奇函数，故．
当时， ，
令，则，
易知在上单调递减，是增函数，
当时，，当，，，，
所以的值域为．
17.解：由得，
令，得，，
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为
由即在上恒成立，
得，
令，
则，当且仅当，即时等号成立，
，
故实数的取值范围是．

18.解：
因为，，
所以，得，
所以．
的定义域为，关于原点对称，
又，
所以为奇函数．
设，
则
．
因为，所以，
所以，即，
所以在上单调递增．
又，
所以函数在上的值域为．

19.解：整数的所有“正整数分拆”为：，，，，．
当为偶数时，时，最大为；
当为奇数时，时，最大为；
综上所述：为偶数，最大为，为奇数时，最大为．
当为奇数时，，至少存在一个全为的拆分，故；
当为偶数时，设是每个数均为偶数的“正整数分拆”，
则它至少对应了和的均为奇数的“正整数分拆”，
故．
综上所述：．
当时，偶数“正整数分拆”为，奇数“正整数分拆”为，；
当时，偶数“正整数分拆”为，，奇数“正整数分拆”为，
故；
当时，对于偶数“正整数分拆”，除了各项不全为的奇数拆分外，至少多出一项各项均为的“正整数分拆”，故．
综上所述：使成立的为：或．

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