2024-2025学年江苏省南通市如皋市部分学校高二上学期11月期中联考数学试题（含答案）

2024-2025学年江苏省如皋市部分学校高二上学期11月期中联考
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知为抛物线上一点，则抛物线的准线方程为( )
A. B. C. D.
2.已知正项等比数列的前和为，，则( )
A. B. C. D.
3.已知双曲线一条渐近线斜率为，则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
4.过点与圆相切的两条直线的夹角为，则点到原点距离的最小值为( )
A. B. C. D.
5.已知等差数列的前和为，，则( )
A. B. C. D.
6.已知为坐标原点，双曲线的左，右焦点分别为若为双曲线上一点，为的角平分线，过右焦点的直线与直线垂直，垂足为，则( )
A. B. C. D.
7.在平行六面体中，，，，则下列说法不正确的是 ．
A. 平面 B. 平面
C. 直线与平面所成角为 D. 的余弦值为
8.已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，过上顶点和右焦点的直线与椭圆的另一个交点为，且的面积为，则的周长为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列的首项为，前和为，且，则( )
A. 数列是等比数列 B. 是等比数列
C. D. 数列的前项和为
10.在正三棱台中，为线段上一动点，，则( )
A. 存在点，使得
B. 存在点，使得
C. 当平面时，为的中点
D. 的最小值为
11.已知椭圆的左，右焦点分别为，上顶点，且为椭圆上任意一点异于左，右顶点，直线分别与椭圆交于，则( )
A. 椭圆的离心率为
B. 内切圆的半径为
C. 的外接圆方程为
D. 与内切圆半径之和的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在正四面体中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 ．
13.已知，则数列前项之和为 ．
14.已知为坐标原点，为双曲线上一点，分别为双曲线的左，右顶点，且直线与直线的斜率之积为，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知点为抛物线的焦点，为抛物线上两点，且直线与直线斜率之和为．
求抛物线的方程；
若为抛物线上一动点，直线，且，求到直线距离的最小值．
16.本小题分
已知等比数列的前项和为，且．
求；
若，求数列的前项和．
17.本小题分
如图，在三棱柱中，侧棱底面，底面是直角三角形，，点分别在上，且．
证明：平面；
若平面，求．
18.本小题分
已知数列的前项和为，，且．
求；
若从数列中删除中的项，余下的数组成数列．
求数列的前项和；
若成等比数列，记数列的前项和为，证明：．
19.本小题分
已知圆与双曲线只有两个交点，过圆上一点的切线与双曲线交于两点，与轴交于点．当与重合时，．
求双曲线的方程；
若直线的斜率为，求；
当时，求的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.解：抛物线的焦点
因为直线与直线斜率之和为，
所以点关于轴的对称点与三点在同一直线上，

设直线的方程为，
与抛物线联立可得，消去得，
由是方程的两根，
所以，解得，所以抛物线的方程为；
因为在抛物线上，所以，所以，
所以，又，所以，又且直线，
所以的方程为，
设，所以点到直线距离；
当时，到直线距离取最小值，最小值为．

16.解：设等比数列的公比为，
由题意，得，解得
或
，由知，，，
令
则
得
即
所以．

17.解：因为侧棱底面，底面，所以，
又，，平面，
所以平面；
因为，所以确定唯一平面，
设平面，连接，
因为平面，所以，
又因为，底面，底面，所以底面，
又平面，平面底面，
所以，所以，所以，
又因为，，所以四边形是平行四边形，所以，
所以，所以．

18.解：，当时，，
两式相减得，，整理得，即，
当时，，满足此式，
．
由得，，，，
数列是首项为，公差为的等差数列．
当为奇数时，为偶数，为的整数倍，是数列中的项，
当为偶数时，为奇数，不是数列中的项，
数列中的项为数列的偶数项，且，
数列是首项为，公差为的等差数列，
，
，，
．
由得，，，
成等比数列，，即，
，，
．

19.解：由圆与双曲线只有两个交点可知：，
又根据题意，双曲线过点，所以，
所以双曲线的标准方程为：．
如图：
因为直线的斜率为，且直线与直线垂直，所以直线的斜率为，
设直线的方程为：，即，
由，
不妨令，则直线的方程为：，
代入得：，
整理得：，
设，，则，，
所以，
所以，
若，亦可得，
综上：．
设直线的方程为，由，
不妨设点在第二象限，因为，则的两个端点为，，
则，因为，
所以，，
将代入双曲线可得：，
整理得：，
设，，则，，
因为，所以，
所以，
所以，
又，
所以，
因为，所以，
即的最小值为．

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