2024-2025学年江苏省南京市第一中学高一上学期12月月考数学试题（含答案）

2024-2025学年江苏省南京市第一中学高一上学期12月月考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，若，则等于( )
A. 或 B. 或 C. D.
2.若扇形的弧长是，面积是，则这个扇形的圆心角的弧度数是( )
A. B. C. D.
3.已知函数，则的值为( )
A. B. C. D.
4.已知函数其中，为常数，且，若的图象如图所示，则函数的图象是( )
A. B.
C. D.
5.计算( )
A. B. C. D.
6.已知，则( )
A. B. C. D.
7.沙漏也叫做沙钟，是一种测量时间的装置现有一个沙漏如图上方装有的细沙，细沙从中间小孔由上方慢慢漏下，经过时剩余的细沙量为，且为常数，经过时，上方还剩下一半细沙，要使上方细沙是开始时的，需经过的时间为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若对于，，使得成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若角的终边上有一点，则的值可以是( )
A. B. C. D.
10.下列说法不正确的是( )
A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为
B. 函数是减函数
C. 函数的图象关于点成中心对称
D. 幂函数在上为减函数，则的值为或
11.已知是定义在上的不恒为零的函数，对于任意都满足，则下列说法正确的是( )
A.
B. 是奇函数
C. 若，则
D. 若当时，，则在单调递减
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.计算： ．
13.若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是 ．
14.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数例如：已知函数，则函数的值域是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设全集，，．
当时，求，；
若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知角满足．
若，求的值；
若角的终边与角的终边关于轴对称，求的值．
17.本小题分
如图所示，将一个矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求在射线上，在射线上，且对角线过点，已知长为米，长为米，设米．
要使矩形花坛的面积大于平方米，则的长应在什么范围内？
要使矩形花坛的扩建部分铺上大理石，则的长度是多少时，用料最省？
18.本小题分
已知函数是偶函数，其中为实数．
求的值；
若函数，是否存在实数，使得的最小值为？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
对于函数，若在定义域内存在实数，满足，其中为整数，则称函数为定义域上的“阶局部奇函数”．
已知函数，试判断是否为上的“阶局部奇函数”？并说明理由；
若是上的“阶局部奇函数”，求实数的取值范围；
若，对任意的实数，函数恒为上的“阶局部奇函数”，求整数取值的集合．
参考答案
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15.解：令可得，解得，
所以，或
当时，，
所以，
或．
由“”是“”的充分不必要条件可得，集合是集合的真子集，
又，
所以，解得，
故实数的取值范围为．

16.解：，即，又，
故，，
又，故，．
角的终边与角的终边关于轴对称，则，
，，
故．

17.解：由，可得，则，则，
花坛面积等于，
由题意，可得，即，
解得或，所以的长应在范围内．
根据题意，可得扩建部分面积，
令，
可得，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的长为米时，用料最省．

18.解：因函数是偶函数，
故
，
因且不恒为，故，得．
由，得，
则，
设，因，则，，其对称轴为，
当时，在区间上单调递减，则，解得，不符题意，舍去；
当时，在区间上先减后增，故，解得，故；
当时，在区间上单调递增，则，解得，不符题意，舍去．
故存在，使得的最小值为．

19.解：为上的“阶局部奇函数”等价于关于的方程在上有解，即：，
化简得：，
解得：
所以是上的“阶局部奇函数”．
由是上的“阶局部奇函数”，
且要满足，所以．
因为是上的“阶局部奇函数”，等价于关于的方程
在有解，即，化简得：，
所以，
又，所以．
因为恒为上的“阶局部奇函数”等价于关于的方程恒有解．
即，化简得：，
当时，解得，所以满足题意；
当时，，即：对任意的实数恒成立，
即对任意的实数恒成立，
令，是关于的一次函数且为上的增函数
则，即：，解得：且
综上，整数取值的集合．

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