2024-2025学年广东省清远市清新区高二上学期11月四校联考数学试题（含答案）

2024-2025学年广东省清远市清新区高二上学期11月四校联考
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.化简，所得的结果是( )
A. B. C. D.
2.已知，，，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
3.如图，在中，，，则( )
A. B. C. D.
4.设、是两条直线，、是两个平面，，，，，则是的
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
5.在学生身高的调查中，小明和小华分别独立进行了简单随机抽样和按比例分层抽样调查，小明调查的样本量为，平均数为，小华调查的样本量为，平均数为则下列说法正确的是( )
A. 小明抽样的样本容量更大，所以更接近总体平均数
B. 小华使用的抽样方法更好，所以更接近总体平均数
C. 将两人得到的样本平均数按照抽样人数取加权平均数接近总体平均数
D. 样本平均数具有随机性，以上说法均不对
6.已知的内角所对的边分别为，若，则( )
A. B. C. D.
7.已知向量，，且，则( )
A. B. C. D.
8.已知单位向量，的夹角为，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如果是两个单位向量，则下列结论中正确的是( )
A. B. C. D.
10.已知虚数，，则( )
A. B.
C. D. 是方程的一个根
11.下列说法中，错误的为( )
A. 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；
B. 有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台；
C. 底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；
D. 棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥不可能是正六棱锥．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在中，是边上一点，且，点为的延长线上一点，写出使得成立的，的一组数据为 ．
13.已知，，则在方向上的投影向量坐标为 ．
14.直三棱柱中，，，则与所成角大小为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知平面内两点，．
求过点且与直线垂直的直线的方程；
若是以为顶点的等腰直角三角形，求直线的方程．
16.本小题分
在中，角所对的边分别为已知，，．
求的值
求的值
求的值．
17.本小题分
如图，在棱长为的正方体中，，分别为棱，的中点．
求证：平面；
求直线到平面的距离．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，，且．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求平面与平面夹角的余弦值；
Ⅲ在棱上是否存在点与，不重合，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值，若不存在，说明理由．
19.本小题分
在空间直角坐标系中，这点且以为方向向量的直线方程可表示为，过点且以为法向量的平面方程可表示为．
已知直线的方程为，直线的方程为请分别写出直线和直线的一个方向向量．
若直线与都在平面内，求平面的方程；
若集合中所有的点构成了多面体的各个面，求的体积和相邻两个面所在平面的夹角的余弦值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.答案不唯一
13.
14.
15.解：根据题意，，，
则，
则直线的垂线的斜率为，
故过点且与直线垂直的直线的方程为，
即；
的中点坐标为，由可知线段的垂线的斜率为，
线段的垂直平分线所在直线方程为，即，
因为是以为顶点的等腰直角三角形，
所以，点必在直线上，设点为，
由可得，
解得或，
所以点为或，
则直线的方程为或，
即或．
16.解：因为 ，
由余弦定理可得 ，
可得 ，因为
所以 ．
由 ，且，则 ，
由知 ，又因为 ，
正弦定理得： ，
则 ．
因为 ， ，
所以 ．

17.
以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示空间直角坐标系．
由题意得，，，．
所以，，．
设平面的一个法向量为．
易知
令，得，所以．
，
，又平面，
平面；
由可知平面，故求直线到平面的距离可转化为点到平面的距离，
因为，由可知平面的一个法向量为，
设直线到平面的距离为．
则．

18.解：Ⅰ证明：，，
，
平面面，
，
面，面，，
平面；
Ⅱ以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，
则，，，，，
，，，
由平面，可得平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，则，即
则可取，
，，
平面与平面夹角的余弦值为；
Ⅲ设，设，，
，
可得，，，
，
，
，，解得，
．
19.
因为直线的方程为，即，可知直线的一个方向向量；
直线的方程为，即，可知直线的一个方向向量．
由题意可知：直线过点，且其一个方向向量为，
直线过点，且其一个方向向量，
则为平面内一点．
设平面的法向量为，则
令，则，可得，
所以平面的方程为，即．
由集合可知，
多面体与坐标轴交于各点，，如图所示，

可知四边形为正方形，
边长，
所以，正方形的面积为，
而正四棱锥的高为，
则，
所以多面体的体积为．
由集合中所有的点构成了多面体的各个面，
点均满足方程
可知平面的方程为，且该平面的一个法向量为，
同理可知，平面的方程为，该平面的一个法向量为，
平面的方程为，该平面的一个法向量为，
所以．
由对称性可知，任意相邻两平面的夹角的余弦值都为．
故多面体相邻两个面所在平面的夹角的余弦值为．
综上，的体积为，相邻两个面所在平面的夹角的余弦值为．

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