黑龙江省牡丹江市第一高级中学2025届高三上学期期中考试数学试题（含答案）

黑龙江省牡丹江市第一高级中学2025届高三上学期期中考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在中，，，，则( )
A. B. C. D.
2.记为等差数列的前项和，若，，则( )
A. B. C. D.
3.正四棱台的上、下底面边长分别是和，高是，则它的侧面积为( )
A. B. C. D.
4.如图，在空间四边形各边，，，上分别取点，，，，若直线，相交于点，则下列结论错误的是( )
A. 点必在平面内
B. 点必在平面内
C. 点必在直线上
D. 直线与直线为异面直线
5.某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
根据这些数据，要得到函数的图象，需要将函数的图象( )
A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位
6.已知函数，若正实数满足则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知，，均为单位向量，且，，，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.数列满足，，若数列的前项的和为，则的的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量满足，，，则( )
A. B. 当时，
C. 当时， D. 在上的投影向量的坐标为
10.数列满足，，则下列结论正确的是( )
A. 若，则前项和为
B.
C. 数列的前项和为
D. 数列最大项为第项
11.已知的内角 所对的边分别为，下列四个命题中，正确的命题是( )
A. 在中，若，则
B. 若，则是等腰三角形
C. 若在线段上，且，则的面积为
D. 若，动点在所在平面内且，则动点的轨迹的长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，则 ．
13.已知数列的前项和为，且，，则 ．
14.若函数的图象上存在两点，关于轴对称，则点对称为的“比肩点对”点对与视为同一个“比肩点对”若函数恰有个“比肩点对”，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设是函数的导函数是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为曲线的“拐点”经过探究发现：任何一个三次函数的图象都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心已知函数的图象的对称中心为．
Ⅰ求实数，的值
Ⅱ求的零点个数．
16.本小题分
已知函数，且．
求的值；
求的对称中心和单调递减区间；
若，，求的值．
17.本小题分
已知数列对于任意都有．
求数列的通项公式．
设数列前项和为，求．
证明：，．
18.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知．
求取值的范围；
若，求周长的最大值；
若，求的面积．
19.本小题分
已知函数，．
若在处取得极值，讨论的单调性；
设曲线在点处的切线为，证明：除点外，曲线段总在的下方；
设，证明：．
参考答案
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15.解：Ⅰ因为，
所以，
所以，
又因为的图象的对称中心为，
所以
即解得
Ⅱ由知，，
所以，
令，得或，
当变化时，，的变化情况如下表：
所以的极大值为，极小值为，
又，，所以有个零点
16.
，
因为，所以，所以；
由知，
令得，
所以的对称中心为，
令得，
所以单调递减区间为
因为，所以，
又因为，所以，
因为，可得，所以，
所以．

17.
因为，
当时，，
由，得到，所以，
又时，，得到，满足，
所以数列的通项公式为．
由题意，
所以，得到，
由，得到，
所以．
因为，，所以时，，
当时，，
当时，，
当时，
，
综上，，．

18.
由题设，
所以，
，
又，则，
根据正弦边角关系，易得，则，
又，则，当且仅当时取等号，
所以，结合，可得；
由有，又，
又，则，
所以，当且仅当取等号，
所以周长的最大值．
由，且，
所以，而，则，
由，显然，故，即，
结合，可得，
由，而，
由，整理得，可得负值舍，
所以，故．

19.解：由题意知，所以．
因为在处取得极值，所以，得，
所以，
当时，，所以，当时，，所以，
所以在上单调递增，在上单调递减．
因为，，
所以的方程为，即，
因为点在上，
所以要证明除点外，曲线段总在的下方，
只需证明当或时，，
设，则，
设，
当时，，所以即单调递减，
又，所以当，单调递增；
当时，，单调递减，
所以当或时，均有，即，
从而原命题得证．
因为，
所以，
，
所以等价于，
显然，由可知，该式对任意都成立，
所以，
令，得，
所以，故原不等式得证．
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