山东省八校2025届高三上学期第四次联合测评数学试卷（含答案）

山东省八校2025届高三上学期第四次联合测评数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.已知平面向量，满足，且，则在方向上的投影向量为( )
A. B. C. D.
4.将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象若的图象关于点对称，则的最小值为( )
A. B. C. D.
5.年春节放假安排：农历除夕至正月初六放假，共天．某单位安排位员工值班，每人值班天，每天安排人．若甲不在除夕值班，乙不在正月初一值班，而且丙和甲在相邻的两天值班，则不同的安排方案共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6.若直线与曲线恰有两个交点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.从重量分别为，，，，，克的砝码每种砝码各个中选出若干个，使其重量恰为克的方法总数为，下列各式的展式中的系数为的选项是( )
A.
B.
C.
D.
8.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是( )
A. 函数有两个零点 B. 当时，
C. 的解集是 D. 都有
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.函数的图象与轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，向右平移个单位长度得到函数的图象，则下列结论正确的是( )
A. 为奇函数
B. 的图象关于直线对称
C. 在区间上单调递增
D. 函数在区间上的值域为
10.如图所示，，，是圆锥底面圆周上的三个点，若是边长为的等边三角形，，，分别为，的中点，为线段的中点，则下列结论错误的是( )
A.
B. 平面
C. 平面
D. 三棱锥与三棱锥公共部分的体积为
11.已知双曲线的离心率为，，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于点，两点，和的内心分别为，，则( )
A. 始终垂直于轴 B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某站台经过统计发现，一号列车准点到站的概率为，二号列车准点到站的概率为，一号列车准点到站或者二号列车不准点到站的概率为，记“一号列车准点到站且二号列车不准点到站”为事件，一号列车不准点到站且二号列车准点到站”为事件，则 ．
13.庄子天下篇中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”已知长度为的线段，取的中点，以为边作等边三角形如图，该等边三角形的面积为，再取的中点，以为边作等边三角形如图，图中所有的等边三角形的面积之和为，以此类推，则 ．
14.设函数，若函数有两个零点，，则满足条件的最小正整数的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列的首项为，且满足
求证为等差数列，并求出数列的通项公式；
设数列的前项和为，求．
若数列的通项公式为，且对任意的，恒成立，求实数的最小值．
16.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，．
判断的形状：
已知，，，点、是边上的两个动点、不重合，且点靠近，点靠近记，，．
当时，求线段长的最小值
是否存在常数和，对于所有满足题意的、，都有成立若存在，求出和的值若不存在，请说明理由．
参考公式：，．
17.本小题分
如图，在三棱柱中，平面，，，，点，分别在棱和棱上，且，，为棱的中点．
求证：；
求直线与平面所成角的正弦值；
在线段上是否存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由．
18.本小题分
已知椭圆，两焦点和短轴一个端点构成边长为的正三角形．
求椭圆方程；
设直线与椭圆相切于第一象限内的点，不过原点且平行于的直线与椭圆交于不同的两点，，点关于原点的对称点为记直线的斜率为，直线的斜率为．
求的值；
若，，，四点围成的四边形为平行四边形，求的值．
19.本小题分
已知函数．
求函数的单调区间
证明时，
若对于任意的，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为，，故，
所以，即，
所以数列是以首项为，公差为的等差数列，
可得，所以．
由可知：，
所以．
因为，，
即，可得，
令，解得，
且，可得，即，
可得，所以实数的最小值．

16.解：在中，因为，且，
所以，
即，，
所以或者B.
当时，，为直角三角形
当时，所以，为等腰三角形．
综上所述，为直角三角形或等腰三角形．
因为，所以，又，，
所以，．
如图，
因为，，
在中，由正弦定理，得，所以．
在中，由正弦定理，得，
所以．
因为，所以，
故当，即时，．
假设存在常数，，对于所有满足题意的，，都有成立，
则存在常数，，对于所有满足题意的，，利用参考公式，
有．
由题意，是定值，
所以，是定值，
对于所有满足题意的，成立，
故有，
因为，从而，即，，所以故，．
17.解：由题意知，，建立如图空间直角坐标系，
则，
所以，
得，所以．
，
得，
设平面的一个法向量为，
则，令，得，所以，
所以，
即与平面所成角的正弦值为．
假设存在满足题意的点，设，
由知，
所以，得，解得
即，所以，
设平面的一个法向量为，
则，令，得，
所以，又平面的一个法向量为，
故，
整理得，由，得．
即当点为的中点时，平面与平面所成角的余弦值为，
此时，即．

18.解：由题意，从而，，
所以椭圆方程为．
由消得，
由，得，
此时方程可化为：，
解得：由条件可知：，异号，
设，则，，
即，所以，
因为，所以可设直线，
由消得，
当时，方程有两个不相等的实根，
设，，则，，
因为，两点关于原点对称，所以，所以，，
所以．
设直线与轴交于点，直线与轴交于点，则，
于是，
由可知：，若，，，四点围成的四边形为平行四边形，
则还需，即，
由可知：，所以．
又，，
所以，
由可得：，
又，所以，即，
当时，；
当时，．

19.解：，，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减；
的增区间为，减区间为
令，
，当时，
当时，，
当时，，
，
即，
原不等式等价于，
为上的减函数，，
只需证明，即，
令，
，
当时，，
当时，，
，
，
原不等式成立．
当时，由知，又
，
原不等式在上恒成立当时，令，
．，
在内必有零点，设为，则，
，，
，则，与题意不符，
综上所述实数的取值范围是
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