四川省绵阳市绵阳中学2025届高三上学期12月综合测试数学试题（含答案）

四川省绵阳市绵阳中学2025届高三上学期12月综合测试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.函数的值域可以表示为( )
A. B.
C. D.
2.若“”是“”的充分条件，则是( )
A. 第四象限角 B. 第三象限角 C. 第二象限角 D. 第一象限角
3.下列命题正确的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
4.函数的大致图象是( )
A. B.
C. D.
5.已知向量，满足，，则向量与的夹角为( )
A. B. C. D.
6.已知，则( )
A. B. C. D.
7.已知，，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.在中，内角的对边分别为，已知，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则( )
A. 的值域为 B. 为奇函数
C. 在上单调递增 D. 的最小正周期为
10.国庆节期间，甲、乙两商场举行优惠促销活动，甲商场采用购买所有商品一律“打八四折”的促销策略，乙商场采用“购物每满元送元”的促销策略某顾客计划消费元，并且要利用商场的优惠活动，使消费更低一些，则( )
A. 当时，应进甲商场购物 B. 当时，应进乙商场购物
C. 当时，应进乙商场购物 D. 当时，应进甲商场购物
11.设函数，，则下列结论中正确的是( )
A. 存在，使得
B. 函数的图象与函数的图象有且仅有一条公共的切线
C. 函数图象上的点与原点距离的最小值为
D. 函数的极小值点为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，则曲线在点处的切线方程为 ．
13.已知函数，若为偶函数，且在区间内仅有两个零点，则的值是 ．
14.若内一点满足，则称为的布洛卡点，为布洛卡角三角形的布洛卡点是法国数学家和数学教育家克洛尔于年首次发现，年被法国军官布洛卡重新发现，并用他的名字命名如图，在中，，，若为的布洛卡点，且，则的长为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称礼让行人”下表是某市一主干道路口监控设备所抓拍的个月内驾驶员不“礼让行人”行为统计数据：
月份
违章驾驶人次
附：，，其中
由表中看出，可用线性回归模型拟合违章人次与月份之间的关系，求关于的回归方程，并预测该路口月份不“礼让行人”违规驾驶人次；
交警从这个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查人，调查驾驶员“礼让行人”行为与驾龄的关系，得到下表：
不礼让行人 礼让行人
驾龄不超过年
驾龄年以上
能否据此判断有的把握认为“礼让行人行为与驾龄有关
16.本小题分
记为数列的前项和，
求，并证明
若，求数列的前项和
17.本小题分
已知平面向量，，且，其中，设点和在函数的图象的部分图象如图所示上．
求，，的值
若是图象上的一点，则是函数图象上的相应的点，求在上的单调递减区间．
18.本小题分
已知函数，，
当时，求的最小值
当时，讨论的单调性
当时，证明：，．
19.本小题分
已知非零向量，，，均用有向线段表示，现定义一个新的向量以及向量间的一种运算“”．
证明：是这样一个向量：其模是的模的倍，方向为将绕起点逆时针方向旋转角为轴正方向沿逆时针方向旋转到所成的角，且，并举一个具体的例子说明之
如图，分别以的边，为一边向外作和，使，设线段的中点为，证明：
如图，设，圆，是圆上一动点，以为边作等边三点按逆时针排列，求的最大值．
参考答案
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15.解：由表中数据可得，，
所以，，
所以所求的回归直线方程为；
令，则，
即该路口月份不“礼让行人”违规驾驶人次预测为人次．
零假设：礼让行人行为与驾龄无关，
由表中数据可得，
根据小概率值的独立性检验，没有充分理由认为零假设不成立，即没有的把握认为“礼让行人行为与驾龄有关．

16.解：令，，
，
因为，
所以，
所以，
得，
所以，
得，
所以．
由知，则，
所以数列是等差数列，
又，所以的公差，
所以，
所以，
所以．

17.解：因为，，
所以，
又由的图象过点，得，
即，解得．
又，，
所以，结合，解得．
于是
由的图象过点，得，
即，，解得，
由的图象，得，即，解得，
即，解得，
于是，从而．
由，得，
由题意，得将图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标缩短到原来的，
得到的图象，即
由，，
得，，
考虑到，可得，
故在上的单调递减区间为
18.解：由，得，
所以，
由及，得，且时，，
故的最小值为；
当时，的定义域为，，
则，
当时，，则在上是增函数，
当时，，
所以或，
，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
综上，当时，在上是增函数，
当时，在和上单调递增，在上单调递减；
证明：当时，，
欲证明，即证，即证．
设，则，
当时，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以是的极小值点，也是的最小值点，即，
设，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以是的极大值点，也是的最大值点，即，
因为，所以，故成立．
19.解：证明：设，，
分别为轴正方向沿逆时针方向旋转到所成的角，且，，
则，
，
于是，
即，轴正方向沿逆时针旋转到所成的角为，
故是这样一个向量：其模是的模的倍，
其方向为将绕起点逆时针方向旋转角为轴正方向沿逆时针方向旋转到所成的角，且
例如，，，
则，
，，与轴正方向的夹角为，与轴正方向的夹角为，
将的模变为原来的倍，并按逆时针方向旋转，即得
证明：记，，根据新定义，可得，
同理，
所以，
而，
所以，
故AG
设，则，，
则，
所以，
所以
，
设，，
则，
当，即时，．
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