河南模式2024-2025学年八年级上学期期末数学试卷三（含解析）

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河南模式2024-2025学年八年级上学期期末数学试卷（三）
考试时间：100分钟 满分：120分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题
1．体育是一个锻炼身体，增强体质，培养道德和意志品质的教育过程，是培养全面发展的人的一个重要方面，下列体育图标是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．现有两根木条，它们的长分别为50cm，35cm，如果要钉一个三角形木架，那么下列四根木条中应选取（　　）
A．50cm长的木条 B．15cm长的木条
C．100cm长的木条 D．85cm长的木条
3．已知，下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．
如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（ ）
A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．以上均不正确
5．如果一个正多边形的每一个外角都是45°，那么这个正多边形的内角和为（ ）
A．360° B．720° C．1080° D．1440°
6．如图，在中，按以下步骤作图：
①分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；
②作直线交于点D，连接．
若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在2×2的方格纸中有一个以格点为顶点的△ABC，则与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形共有( )个.
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
8．两个连续的奇数的平方差总可以被 k整除，则k等于（ ）
A．4 B．8 C．4或-4 D．8的倍数
9．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天：若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则下列列出的分式方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图1，现有边长为和的正方形纸片各一张，长和宽分别为a，b的长方形纸片一张，其中．把三张纸片按图2所示的方式放入另一张边长头的正方形纸片内，已知图2中阴影部分的面积满足，则a，b满足的关系式为（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
二、填空题
11．要使分式有意义，那么x应满足的条件是 ．
12．已知点与点关于x轴对称，那么的值为 ．
13．如图，已知AC=DB，要使△ABC≌△DCB，则需要补充的条件为 ．
第13题图 第14题图 第15题图
14．如图，在Rt△ABC中，，点D在边BC上，将△ABD沿AD折叠，使点B恰好落在边AC上的点E处．若，则 °．
15．如图，在Rt△ABC中，，，，BD是△ABC的角平分线，点P，点N分别是BD，AC边上的动点，点M在BC上，且，则的最小值为 ．
三、解答题
16．（1）计算：；（2）解方程：．
17．先化简，再求值：，其中．
18．如图所示，CD和EF是两条互相垂直的道路，A、B是某公司的两个销售点，公司要在P处修建一个货运站，使P到两条道路的距离相等，且到A、B两个销售点的距离相等，请做出符合条件的点P的位置．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
19．如图，已知，，E、F是AC上两点，且．
(1)△ABE与△CDF是否全等，并说明理由；
(2)连接BC，若，，求∠CBE的度数．
20．近年来节能又环保的油电混合动力汽车越来越受到人们的喜爱，某品牌油电混合动力汽车从甲地行驶到乙地，若完全用油做动力行驶，则费用为75元；若完全用电做动力行驶，则费用为30元．已知汽车行驶中每千米用油费用比用电费用多0.3元，汽车行驶中每千米用电费用是多少元？甲、乙两地的距离是多少千米？
21．利用多项式乘以多项式的法则，可以计算，
反过来．
请仔细观察，一次项系数是两数之和，常数项是这两数之积，二次项系数是1，具有这种特点的二次三项式可利用进行因式分解．
根据上述阅读，解决下列问题：
(1)已知关于x的二次三项式有一个因式是，求另一个因式和k的值；
(2)甲，乙两人在对二次三项式进行因式分解时，甲看错了一次项系数，分解的结果为，乙看错了常数项，分解的结果为，求这个二次三项式，并将其进行正确的因式分解．
22．如图，△ABC中，，，点O在BC边上运动（O不与B，C重合），点D在线段AB上，连接AO，OD．点O运动时，始终满足．
(1)当时，判断△AOB的形状并说明理由；
(2)当AO的最小值为4时，此时_____________；
(3)在点O的运动过程中，△AOD的形状是等腰三角形，请求出此时∠BDO的度数．
23．如图①，，，，相交于点M，连接．

(1)求证：；
(2)用含的式子表示的度数；
(3)当时，的中点分别为点P，Q，连接，如图②，判断的形状，并证明．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A D A C D C B A B
1．C
【分析】本题考查的是轴对称图形的概念，确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两个部分折叠后可以重合．
试分析各图形中是否有这样的一条对称轴，即可作出判断．
【详解】
解：A．图形不是轴对称图形，不符合题意；
B．图形不是轴对称图形，不符合题意；
C．图形是轴对称图形，符合题意；
D．图形不是轴对称图形，不符合题意．
故选：C．
2．A
【分析】根据三角形三边不等关系可确定第三边的范围，根据范围即可确定．
【详解】设第三边的长为，则由三角形三边关系得：，即，
四个选项中只有A选项中的木条满足要求．
故选：A．
【点睛】本题考查了构成三角形的条件，确定第三边的范围是关键．
3．D
【分析】根据同类项定义、同底数幂的乘法、乘方、除法法则逐项分析解答．
【详解】解：A. 不能合并，故A错误；
B. ，故B错误；
C. ，故C错误；
D. ，故D正确，
故选：D．
【点睛】本题考查同底数幂的乘法、乘方、除法等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
4．A
【分析】本题考查了角平分线的判定定理，过两把直尺的交点作，，由题意得出，从而得出平分，即可得解，熟练掌握角平分线的判定定理是解此题的关键．
【详解】解：如图所示：过两把直尺的交点作，，
∵两把完全相同的长方形直尺，
∴，
∴平分（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），
故选：A．
5．C
【分析】多边形的外角和是360度，即可得到外角的个数，即多边形的边数．根据多边形的内角和定理即可求解．
【详解】解：多边形的边数是：360÷45＝8．
则内角和是：（8﹣2）×180°＝1080°．
故选：C．
【点睛】本题考查正多边形的外角和、内角和，熟知公式是关键，利用外角和解决正多边形边数问题是常用思路
6．D
【分析】根据等腰三角形的性质，可求得的度数，又由题意可得为的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得，则可求得的度数，据此即可解题．
【详解】解：，，
，
由题知，直线为的垂直平分线，
，
，
，
，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理．熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．
7．C
【分析】解答此题首先找到△ABC的对称轴，EH、GC、AD，BF等都可以是它的对称轴，然后依据对称找出相应的三角形即可．
【详解】解：如图所示：
与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形有△ABG、△CDF、△AEF、△DBH，△BCG共5个，
故选C．
【点睛】本题主要考查轴对称的性质；找着对称轴后画图是正确解答本题的关键．
8．B
【分析】设两个连续奇数分别为2n+1，2n+3，表示出两数的平方差，化简后即可求出k的值．
【详解】设两个连续奇数为2n+1，2n+3，
根据题意得：（2n+3）2-（2n+1）2=（2n+3+2n+1）（2n+3-2n-1）=8（n+1），
则k的值为8．
故选B．
【点睛】此题考查了因式分解的应用，弄清题意是解本题的关键．
9．A
【分析】根据题意先求得快马的速度和慢马的速度，根据快马的速度是慢马的2倍列分式方程即可．
【详解】解：设规定时间为x天，
根据题意得慢马的速度为，快马的速度为，
∵快马的速度是慢马的2倍，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系列出方程是解题的关键．
10．B
【分析】本题考查了整式运算在图形面积中的应用，由图形得，，即可求解；能根据图形表示出，是解题的关键．
【详解】解：由题意得
，
，
，
，
整理得：；
故选：B．
11．
【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于零可得答案．
【详解】由题意得：，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．
12．7
【分析】根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数解答．
【详解】∵点与点关于x轴对称，
∴，，
∴．
故答案为7．
【点睛】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
13．AB=DC(答案不唯一)
【分析】本题中有公共边BC=CB，利用SSS来判定全等则只需要添加条件AB=DC即可．
【详解】解：由题意可知：AC=DB，BC=CB，
∴利用SSS来判定全等则只需要添加条件AB=DC，
故答案为：AB=DC(答案不唯一)．
【点睛】本题考查三角形全等的判定，掌握判定定理是本题的解题关键．
14．26
【分析】由三角形内角和180°解得，由折叠的性质得到，最后由三角形外角的性质解答即可．
【详解】解：，，
，
折叠，
，
，
故答案为：26．
【点睛】本题考查折叠的性质、三角形外角的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
15．
【分析】作点M关于BD的对称点，连接P=PM，BM=B=1，当N，P，在同一直线上，且时，的值最小，等于垂线段的长，据此解答
【详解】解：作点M关于BD的对称点，连接P=PM，BM=B=1，
，
当N，P，在同一直线上，且时，的值最小，等于垂线段的长，
，
的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查最短路线问题，涉及垂线段最短、含30°角直角三角形的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
16．（1）8x2-6x-10；（2）x=-1
【分析】（1）原式先根据平方差公式和完全平方公式把括号展开，再进行合并即可；
（2）按照解分式方程的步骤进行计算即可．
【详解】解：（1）（3x+1）（3x-1）-（x+3）2
=9x2-1-（x2+6x+9）
=9x2-1-x2-6x-9
=8x2-6x-10；
（2），
x-（2-x）=x-3，
x-2+x=x-3，
2x-x=-3+2，
x=-1，
检验：当x=-1时，x-3≠0，
∴x=-1是原方程的根．
【点睛】本题考查了完全平方公式，平方差公式，解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．
17．，
【分析】本题考查分式的化简求值，掌握分式混合运算的运算顺序和计算法则是解题关键．
先算括号里面的，再算括号外面的，最后代入求值．
【详解】解：原式
．
当，原式．
18．见解析
【分析】根据线段垂直平分线和角平分线的性质，分别作线段AB的垂直平分线，∠EOD的平分线，两直线的交点即为货运站．
【详解】解：如图所示：
作线段AB的垂直平分线，
作∠EOD的平分线，
两直线相交于点P即为货运站．
【点睛】本题考查的是应用与设计作图，角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
19．(1)见解析
(2)55°
【分析】（1）根据边角边证明三角形全等即可；
（2）根据全等的性质，，进而根据三角形的外角性质求解即可．
【详解】（1）解：△ABE≌△CDF，理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠DCF，
∵AF＝CE，
∴AF﹣EF＝CE﹣EF，
即AE＝CF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）由（1）知，△ABE≌△CDF，
∴∠AEB＝∠CFD，
∵∠CFD＝80°，
∴∠AEB＝80°，
，
∴∠CBE＝∠BCE＝80°﹣25°＝55°．
【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，三角形的外角性质，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．
20．汽车行驶中每千米用电费用是0.2元，甲、乙两地的距离是150千米．
【分析】设汽车行驶中每千米用电费用是x元，则每千米用油费用为(x+0.3)元，根据完全用油做动力行驶，则费用为75元；若完全用电做动力行驶，则费用为30元，列出方程求解即可．
【详解】解：设汽车行驶中每千米用电费用是x元，则每千米用油费用为(x+0.3)元，
根据题意可得：，
解得：x＝0.2，
经检验得：x＝0.2是原方程的解，
∴汽车行驶中每千米用电费用是0.2元；
∴千米，
∴甲、乙两地的距离是150千米，
答：汽车行驶中每千米用电费用是0.2元，甲、乙两地的距离是150千米．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键在于能够根据题意列出方程求解．
21．(1)另一个因式为；k的值为
(2)；
【分析】（1）设，根据定义对应系数相等即可解得．
（2）把，，依次展开，分别取正确的常数项和一次项系数．
【详解】（1）设
∴，，
∴，
∴另一个因式为，k的值是．
（2），
，
由题意得：，，
∴这个二次三项式是．
【点睛】此题考查了多项式乘以多项式的法则、因式分解，解题的关键是读懂题意，熟悉运算规则．
22．(1)△AOB为直角三角形，理由见解析；
(2)6；
(3)的度数是60°或105°．
【分析】（1）证明即可解答；
（2）根据垂线段最短可知时，的值最小，求出AB，AD的值即可解答；
（3）分三种情况，由等腰三角形的性质分别求出∠BDO的度数即可．
【详解】（1）解：△AOB为直角三角形，理由如下，
∵，，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴△AOB为直角三角形．
（2）当时，OA的值最小，如图，
在中，，，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：6；
（3）的形状可以是等腰三角形，理由如下，
分三种情况：
①时，，
∴；
②时，，
∴；
③时，，
∴，点O与C重合，不合题意，
综上所述，的度数是60°或105°．
【点睛】本题考查三角形综合题，涉及等腰三角形的判定与性质、直角三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
23．(1)证明见解析
(2)
(3)为等腰直角三角形．证明见解析
【分析】（1）利用证明，即可得；
（2）根据得出，再利用三角形内角和定理，进一步即可得出的度数；
（3）先证明，再根据全等三角形的性质，得出，然后得，进而得到结论．
【详解】（1）证明：如图1，，
，
在和中，
，
，
．
（2）解：如图1，∵，
，
在中，，
=
，
在中，
．
（3）解：为等腰直角三角形．
证明：如图2，由（1）得，
的中点分别为点P、Q，
，
∵，
，
在与中，
，
，
，
又，
，
，
∴为等腰直角三角形．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定以及三角形内角和定理等知识，准确找到全等三角形是解决此题的关键．
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